四川省资阳市2015-2016学年高二下学期期末质量检测数学文试题(word版)

资阳市2015—2016学年度高中二年级第二学期期末质量检测
数 学（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．双曲线22
143
x y -=的渐近线方程为
(A)y = (B)2y x =± (C)1
2
y x =±
(D)y = 2．复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于
(A)23i -- (B)23i -+ (C)23i -
(D)23i +
3．椭圆22
143x y +=与
14
52
2=+x y 有相同的 (A) 离心率 (B) 焦距 (C) 长轴长
(D) 焦点
4．观察下列式子：2132+=，21353++=，213574+++=，2135795++++=，…，据此你可以归纳猜想出的一般结论为 (A)2135(21)(1)()n n n *++++-=-∈N (B)2135(21)(1)()n n n *++++-=+∈N (C)2135(21)(1)()n n n *+++++=+∈N (D)2135(21)()n n n *+++++=∈N
5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(30)F ，
，离心率为3
2
，则C 的方程是 (A)22145
x y -=
(B)22
14x -
= (C)22
125
x y -=
(D)22
12x -
= 6．已知x y ，的取值如右表所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ6y
bx =+，则ˆb 的值为 (A)1
10
(B)
1
2 (C)110
-
(D)12-
7．函数3()32f x x x =-+的极大值点是
(A)1x =-
(B)0x = (C)1x = (D)1x =± 8．函数cos ()e
x x
f x =（其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）的导函数()f x '为
(A)sin cos ()e x x x f x +'= (B)sin cos ()e x
x x
f x +'=-
(C)sin cos ()e x x x f x -'= (D)cos sin ()e x
x x
f x -'=
9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，()0f x '>（其中()f x '为()
f x 的导函数），则()0f x >的解集为 (A)()()22-∞-+∞ ，， (B)()()202-+∞ ，， (C)()()202-∞- ，，
(D)()()2002- ，，
10．已知椭圆22184
x y +=的左、右焦点分别为12F F ，
，点P 在椭圆上，若2PF ，则12cos F PF ∠=
(A)
34 (B)23 (C)12 (D)13
11．若函数()2ln f x x ax =-在区间[)2+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围是
(A) [)0+∞， (B) (]0-∞， (C) (]1-∞，
(D) [)1+∞，
12．已知P 为抛物线24y x =上的一个动点，则点P 到直线l ：230x y -+=和y 轴的距离之和的最小值为
(B)2
1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系中，曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，（θ为参数）的普通方程为_______．
14．函数ln y kx x =+在点(1)k ，处的切线平行于x 轴，则实数k ＝_______．
15．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1(0)F c -，，右焦点2(0)F c ，，若椭圆上存在一点P
使12PF c =，1260F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率e 为_______．
16．若存在正实数0x 使00e ()2x x a -<（其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）成立，则
实数a 的取值范围是____________．
三、解答题：本大题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）在平面直角坐标xOy 中，已知直线l
的参数方程为124x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩，（t
为参数），圆O 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，
（θ为参数），直线l 与圆O 相交于A B ，两点，
求||AB ．
18.（本小题满分12分）已知函数3211
()232
f x x ax =-+（a ∈R ）在3x =时取得极小值．
(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 当[24]x ∈-，
时，求()f x 的最大值．
19.（本小题满分12分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．(Ⅰ) 当2PF =时，求点P 的坐标；(Ⅱ) 求点P 到直线10y x =-的距离的最小值．
20.（本小题满分12分）已知函数3
()ln 32
f x a x x =-+（a ∈R ），曲线()y f x =在点(1(1))
f ，处的切线方程为1
2
y x b =+（b ∈R ）．(Ⅰ) 求a b ，的值；(Ⅱ) 求()f x 的极值．
21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e ，焦距为.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过椭圆C 的左顶点B 且互相垂直的两直线12l l ，分别交椭圆C 于
点M N ，（点M N ，均异于点B ），试问直线MN 是否过定点，若过定点？求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．
22.（本小题满分12分）已知函数211
()ln 22
f x a x x =+- (a ∈R )．(Ⅰ) 若4a =-，求()
f x 的单调区间；(Ⅱ) 若()0f x ≥在区间[1)+∞，
上恒成立，求a 的最小值．
资阳市2015—2016学年度高中二年级第二学期期末质量检测
数学参考答案及评分意见（文史类）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B 9. B 10.D 11.B
12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 221x y +=
14. －1
15.
12
16.(2,)-+∞
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

17．（本小题满分10分）
解析：把直线l 的参数方程代入圆O 的普通方程2216x y +=，得20t +=，
解得10t =，2t =-
所以弦长12AB t t =-=·····································································10分
（注：也可都化为普通方程，求得圆心O 到l 距离为2，再求出AB = 18．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由题有2()f x x ax '=-，
因为3x =时，()f x 取得极小值，所以(3)930f a '=-=，解得3a =， ··············· 4分
此时3213
()232
f x x x =-+，2()3f x x x '=-，
则当0x <或3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以()f x 在3x =时取得极小值，
所以3a =满足条件． ·············································································· 6分 （注：3a =时，若未检验()f x 在3x =处取得极小值，不扣分） （Ⅱ）由（Ⅰ），知()f x 在[)2,0-递增，在[)0,3递减，在[]3,4递增.
又2
(0)2(4)3
f f =>=-，
所以当[]2,4x ∈-时，()f x 的最大值为max ()(0)2f x f ==. ································12分 19．（本小题满分12分）
解析：设P 2
(,)4
x x ，其中0>x ，
（Ⅰ）焦点(0,1)F ，由2PF =
2=，
化简得428480x x +-=，解得2x =±．
又0>x ，所以点P 的坐标为(21)，. ·····························································6分
（Ⅱ）设点P 到直线10y x =-的距离为d ，
则d
=
21(2)36
4x -+=（当且仅当2x =时等号成立），
所以点P 到直线10y x =-
，此时点P 为(21)，. ···············12分
20．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由3()2a f x x '=
-，则31
(1)22
f a '=-=，得2a =， 所以3()2ln 32f x x x =-+，3
(1)2
f =，
把切点3(1,)2代入切线方程有31
22
b =+，解得1b =，
综上：2a =，1b =. ················································································6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有2343()22x
f x x x
-'=-=
， 当3
40<
<x 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当4
3x >时，()0f x '<，()f x 单调递减．
所以()f x 在43
x =
时取得极大值44
()2ln 133f =+，()f x 无极小值. ·····················12分
21．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由题3=c ，2
3
=
=
a c e ，则22221a
b a
c ==-=，， 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ································································4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆C 的左顶点(2,0)B -．
① 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 方程为y kx n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，
联立22
44y kx n x y =+⎧⎨+=⎩
，，整理得222
(41)8440k x knx n +++-=， 则122841kn x x k -+=+，21224441
n x x k -⋅=+， ·························································6分
判别式2222Δ644(41)(44)k n k n =-+-226416160k n =-+>， 即2241n k <+，()*
因为12,l l 互相垂直，所以0BM BN ⋅=
，即1212(2)(2)0x x y y +++⋅=， ···············8分
整理得221212(1)(2)()40k x x kn x x n +⋅+++++=，
代入韦达定理得22222(1)(44)8(2)(4)(41)041
k n kn kn n k k +--++++=+，
即22516120n kn k -+=，解得2n k =或6
5
n k =.
当2n k =时，直线MN 方程为2y kx k =+过点(2,0)B -，不合题意应舍去，
当65n k =时，满足不等式()*，直线MN 方程为65y kx k =+，过定点6
(,0)5-. ······10分
②当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 方程为x n =，
则M 坐标为(,2)n n +，代入椭圆方程得22(2)14
n n ++=，解得6
5n =-，2n =-（舍去）.
此时直线MN 过点6
(,0)5-. ········································································11分
综上所述：直线MN 过定点6
(,0)5-. ····························································12分
22．（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ) 当4a =-时，211
()4ln 22
f x x x =-+-(0x >)，
则244
()x f x x x x
-'=-=，令()0f x '=，可得2x =-（舍去），或2x =，
当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 递减区间是(02)，；递增区间是(2)+∞，． ········································4分
(Ⅱ) 2()a x a
f x x x x
+'=+=(0x >)，
（1）当0a ≥时，在[1
)+∞，上()0f x '>，此时()f x 单调递增，
所以()(1)0f x f ≥=，故0a ≥满足条件． ·····················································6分
（2）当0a <时，2()x a f x x
+'=2()x a x --=
，
令()0f x '=，可得x =舍去)，或x =
当0x <时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当x ()0f x '>，
此时()f x 单调递增． ···············································································8分
1，即10a -≤<时， 函数()f x 在[1
)+∞，上单调递增， 所以()(1)0f x f ≥=，故10a -≤<满足条件． ···············································10分
1，即1a <-时，
函数()f x 在上单调递减；在)+∞上单调递增，
不妨取0x ∈，则0()(1)0f x f <=，所以1a <-不满足条件． 综上所述，函数()0f x ≥在区间[1
)+∞，上恒成立时，1a ≥-， 所以()0f x ≥在区间[1)+∞，上恒成立时，a 的最小值为－1． ··························12分。