2022-2023学年上海高三下学期数学开学考模拟试卷含答案

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（上海专用）
数学
一．填空题（共12小题）
1．已知集合A＝{y|y＝10x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，1≤x≤2}，则A∩B ＝．
2．已知函数f（x）＝2+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）．若y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），则a＝．3．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝．
4．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于.（用数字作答）
5．已知复数z满足z（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的值为．
6．等比数列{a n}（n∈N*）中，若，，则a8＝．
7．在（x+2）6的二项展开式中，x3项的系数为（结果用数值表示）．
8．若sinθ＝k cosθ，则sinθ•cosθ的值等于.（用k表示）
9．y＝3x+在（0，+∞）为增函数，α的取值范围是．
10．设集合S，T，S⊆N•，T⊆N•，S，T中，至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；
②对于任意x，y∈T，若x＜y，则．若S有4个元素，则S∪T有个元素．
11．设S n为正数列{a n}的前n项和，S n+1＝qS n+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有S n+1≤4a n，则q的取值为．12．已知定义在（﹣3，3）上的奇函数y＝f（x）的导函数是f'（x），当x≥0时，y＝f（x）的图像如图所示，则侧关于x的不等式的解集为．
二．选择题（共4小题）
13．已知平面α，直线m不在α上，直线n在α上，则“m∥n”是“m∥α的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要必要条件D．既不充分也不必要条件
14．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．
13595807060524031年薪（万
元）
人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为（）
A．24.5（万元）B．25.5（万元）C．26.5（万元）D．27.5（万元）
15．已知点P（4，m）是直线l：（t∈R，t是参数）和圆C：（θ∈R，θ是参数）的公共点，
过点P作圆C的切线l1，则切线l1的方程是（）
A．3x﹣4y﹣28＝0B．3x+4y﹣28＝0C．3x﹣y﹣13＝0D．x﹣3y﹣16＝0
16．已知数列{x n}满足x1＝2，（n∈N*），给出以下两个命题：命题p：对任意n∈N*，都有1＜x n+1＜x n；命题q：存在r∈（0，1），使得对任意n∈N*，都有．则（）
A．p真，q真B．p真，q假C．p假，q真D．p假，q假
三．解答题（共5小题）
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且Q为线段BP的中点．
（1）求直线CQ与PD所成角的大小；
（2）求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．
18．2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．
在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为R（x）
万元，且R（x）＝．
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：＝1（a、b为正数）的右顶点为A，右焦点F2（5，0）到渐近线的距离为4，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
（1）求双曲线的方程；
（2）当直线PQ与直线OM的斜率均存在时，设斜率分别为k1、k2，求k1k2的值；
（3）若，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
20．已知在每一项均不为0的数列{a n}中，a1＝3，且（p，t为常数，n∈N*），记数列{a n}的前n项
和为S n．
（1）当t＝0时，求S n；
（2）当p＝，t＝2时，
①求证：数列为等比数列；
②是否存在正整数m，使得不等式S n﹣2n＜m对任意n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说
明理由．
21．设函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m，其中a≥0，k、m∈R，若对任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，且对所有的函数y＝g（x）取最小值定义为（x）．（1）若a＝2，g（x）＝x，试问y＝g（x）是否为y＝f（x）的“控制函数”；
（2）若a＝0，使得直线y＝h（x）是曲线y＝f（x）在x＝处的切线，求证：函数y＝h（x）是为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值；
（3）若曲线y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，求证：当且仅当c＝x0或c ＝1时，（c）＝f（c）．
2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（上海专用）
数学参考答案
一．填空题（共12小题）
1．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{y|y＞0}，B＝{y|1≤y≤4}，
∴A∩B＝[1，4]．
故答案为：[1，4]．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，指数函数的值域，二次函数的单调性，不等式的性质，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．【分析】利用函数与反函数图象关于y＝x对称，可得函数f（x）的图象经过点（2，1），代入求解即可．
【解答】解：因为y＝f（x）的反函数的图象经过点（1，2），
由函数与反函数图象关于y＝x对称，则函数f（x）的图象经过点（2，1），
则有2+log a（2+1）＝1，解得a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数与反函数关系的应用，解题的关键是掌握函数与反函数的图象关于y＝x对称，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3．【分析】利用方程的两个根互为共轭复数，然后由韦达定理以及复数模的定义求解即可．
【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，
设α＝x+yi，则β＝x﹣yi，
所以αβ＝x2+y2＝3，
所以|α|+|β|＝2|α|＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了共轭复数的定义以及韦达定理的运用，同时考查了复数模的求解，属于基础题．
4．【分析】根据题意，由排列组合数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生互不相邻，且农场主站在中间”的站法数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77＝5040种不同的站法，
若农场主站在中间，有A66＝720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有4A22A44＝192种站法，
则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有A66﹣4A22A44＝528种站法，
则其概率P＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的实际应用，属于基础题．
5．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：∵z（2+i）＝5，
∴＝．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
6．【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等比数列{a n}（n∈N*）中，，，
所以q3＝＝8，即q＝2，
所以a8＝＝＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，属于基础题．
7．【分析】求出含x3的项，由此即可求解．
【解答】解：展开式中含x3的项为C＝20×8x3＝160x3，
所以x3项的系数为160，
故答案为：160．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8．【分析】由已知结合sinθ•cosθ＝，即可求解．
【解答】解：由sinθ＝k cosθ，得sinθ•cosθ＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系，是基础题．
9．【分析】由题意得，[（1+3x）2﹣α]≥0在（0，+∞）上恒成立，然后结合指数函数与二次函数的性质可求．
【解答】解：由题意得，[（1+3x）2﹣α]≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以（1+3x）2﹣α≥0，即α（1+3x）2在（0，+∞）恒成立，
因为x＞0，1+3x＞2，（1+3x）2≥4，
所以α≤4，
故答案为：为（﹣∞，4]．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
10．【分析】可根据题意设出S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，然后进行并集的运算求出S∪T，从而可得出S∪T中的元素个数．
【解答】解：根据题意设S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，
∴S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，
∴S∪T的元素个数为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了子集的定义，列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．11．【分析】先证出数列{a n}为等比数列，再用通项公式和求和公式化简不等式，求出q的取值即可．
【解答】解：∵S n+1＝qS n+S1，∴S n＝qS n﹣1+S1（n≥2），
∴a n+1＝qa n，＝q（n≥2），
把n＝1代入S n+1＝qS n+S1得，S2＝qa1+a1＝a1+a2，∴a2＝qa1，满足上式，
∴{a n}是首相为a1，公比为q的等比数列，
∵S n+1≤4a n，∴≤4a1q n﹣1，∵a1＞0，q＞1，
∴q n+1﹣4q n+4q n﹣1≤1，∴q n﹣1（q﹣2）2≤1，∴（q﹣2）2≤（）min，
∵当q＞1，n→+∞时，→0，∴（q﹣2）2≤0，
又∵（q﹣2）2≥0，∴（q﹣2）2＝0，即q＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，合理化简不等式是解决问题的关键，考查了转化思想，属中档题．12．【分析】根据奇函数的导数为偶函数，结合已知条件得到f（x）的单调性，进而得到f′（x）的符号规律，进而解不等式．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，结合f（x）的图象可知：
f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（﹣3，﹣1），（1，3）上单调递减，
故f′（x）＜0⇔﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；f′（x）＞0⇔﹣1＜x＜1，
故⇔或，
解得0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1．
故答案为：{x|0＜x＜1或﹣3＜x＜﹣1}．
【点评】本题考查导数与函数单调性之间的关系，以及函数的奇偶性等性质，属于中档题．
二．选择题（共4小题）
13．【分析】由直线n在平面α内，直线m不在平面α内，“m∥n”，由线面平行的判定定理，可知“m∥α”，反之不一定成立，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】解：由直线n在平面α内，直线m不在平面α内，“m∥n”，
根据线面平行的判定定理，可知“m∥α”，
反之：若“m∥α”，不一定有“m∥n”，
则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及直线与平面平行的判定定理，属于基础题．
14．【分析】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可．
【解答】解：年薪的平均数为（135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12）＝50.4万元，
所以该公司雇员年薪的方差约为[（135﹣50.4）2+（95﹣50.4）2+2×（80﹣50.4）2+（70﹣50.4）2+3×（60﹣50.4）2+4×（52﹣50.4）2+（40﹣50.4）2+12×（31﹣50.4）2]＝650.25，
所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．
故选：B．
【点评】本题考查了特征数的求解，主要考查了平均数以及方差的求解，解题的关键是掌握它们的计算公式，考查了化简运算能力，属于基础题．
15．【分析】首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用和直线的方程的求法的应用求出结果．
【解答】解：直线l：（t∈R，t是参数）转换为直角坐标方程为x﹣3y﹣16＝0．
由于点P（4，m）在直线上，
故m＝﹣3，
所以P（4，﹣4），
设圆C的切线l1的方程为y+4＝k（x﹣4），整理得kx﹣y﹣4k﹣4＝0．
由于直线与圆相切，故圆心（1，0）到直线kx﹣y﹣4k﹣4＝0的距离d，
整理得12k2﹣24k+9＝0，
解得k＝．
所以切线的方程为3x﹣4y﹣28＝0．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16．【分析】利用做差法可证明数列{x n}的单调性，结合极值特征即可判断命题p：将x n+1﹣1变形，结合不等式的放缩法，可得
，进而利用对数的运算变形化简，求得n＝，从而得知命题q的真假．
【解答】解：由题意可得x n≥0，
x n+1﹣x n＝＝＜0，
数列{x n}单调递减，所以x n+1＜x n，
而当x n→1时，x n+1→1且x n+1＞1
则1＜x n+1＜x n，所以命题P为真命题．
而x n+1﹣1＝﹣1＝，
所以，
所以x n﹣1＞，n≥2，
即，
所以，
可得n+1＞2（）n﹣1，n≥2
即存在r∈（0，1），对任意n∈N*，都有f（n）＝ln（n+1）﹣ln2+（n﹣1）lnr＞0成立，
又f（n）＝ln（n+1）﹣ln2+（n﹣1）lnr＜ln（n+1）+ln＝0，
所以n＝∈（1，+∞），即小于0有解，所以命题q为假命题．
综上可知，命题p为真命题，命题q为假命题．
故选：B．
【点评】本题考查数列的综合应用，及命题的正确性，属于中档题．
三．解答题（共5小题）
17．【分析】（1）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系．求出异面直线CQ与PD对应向量，利用空间向量的数量积求解异面直线CQ与PD所成角的大小即可．
（2）求出平面ADQ的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CQ与平面ADQ所成的角的大小即可．
【解答】解：（1）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系．
A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，1，0）
则Q（1，0，1），，，
设异面直线CQ与PD所成的角为α，则，
即异面直线CQ与PD所成角的大小为．
（2）设平面ADQ的法向量为，
由，可得，所以取＝（1，0，﹣1），
设直线CQ与平面ADQ所成的角为β，则．
即直线CQ与平面ADQ所成角的大小为．
【点评】本题考查直线与平面所成角的大小的求法，异面直线所成角的求法，是中档题．
18．【分析】（1）分0＜x≤20和x＞20两种情况，由利润＝销售收入﹣成本，知S＝xR（x）﹣（380x+150），再代入R（x）的解析式，进行化简整理即可；
（2）当0＜x≤20时，利用配方法求出S的最大值，当x＞20时，利用基本不等式求出S的最大值，比较两个最大值后，取较大者，即可．
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）
＝500x﹣2x2﹣380x﹣150＝﹣2x2+120x﹣150，
当x＞20时，S＝xR（x）﹣（380x+150）
＝370x+2140﹣﹣380x﹣150＝﹣10x﹣+1990，
∴函数S的解析式为S＝．
（2）当0＜x≤20时，S＝﹣2x2+120x﹣150＝﹣2（x﹣30）2+1650，
∴函数S在（0，20]上单调递增，
∴当x＝20时，S取得最大值，为1450，
当x＞20时，S＝﹣10x﹣+1990＝﹣（10x+）+1990
≤﹣2+1990＝﹣500+1990＝1490，
当且仅当10x＝，即x＝25时，等号成立，此时S取得最大值，为1490，
∵1490＞1450，
∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．
【点评】本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．【分析】（1）利用已知条件求出b，可求得a的值，进而可得出双曲线C的方程；
（2）设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则点，利用点差法可求得k1k2的值；
（3）分析可知，对直线PQ的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线PQ的方程，与双曲线的方程联立，
结合平面向量数量积的坐标运算，求出对应参数的值或满足的等量关系式，即可求得直线l所过定点的坐标．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线方程为，即bx±ay＝0，
所以，该双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
因为c＝5，则，
因此，双曲线C的方程为．
（2）设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则点，
所以，，，
由已知可得，两式作差可得，因此，．
（3）证明：因为，则|PQ|＝2|AM|，
又因为M为PQ的中点，故△APQ是直角三角形，且AP⊥AQ，设P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
①若直线PQ⊥x轴，设直线PQ的方程为x＝t（t≠3），则P（t，y1）、Q（t，﹣y1），
所以，，所以，，
易知点A（3，0），，，
，
因为t≠3，解得；
②若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，
联立，可得（16﹣9k2）x2﹣18km﹣（9m2+144）＝0，
所以，，
由韦达定理可得，，
，，
则
＝，
化简可得7m2+54km﹣225k2＝0，即（7m+75k）（m﹣3k）＝0．
若m＝3k，则直线l的方程为y＝k（x﹣3），此时直线l过点A，不合乎题意；
若，则直线l的方程为，此时直线l过定点．
综上所述，直线l过定点．
【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．20．【分析】（1）先由题设条件得到：a n+1＝pa n，再由a n≠0⇒p≠0，进而说明数列{a n}是首项为3，公比为p的等比数列，再求其前n项和即可；
（2）①利用等比数列的定义证明结论即可；
②先由①⇒a n＝，再利用放缩法得到：当n≥2时，a n﹣2＜﹣2）＜（a n﹣2﹣2）＜…＜
（a1﹣2）＝，进而得到：S n﹣2n≤＝＜，又由S1﹣2＝1＜m求得m的最小值．【解答】解：（1）解：当t＝0时，a n+1＝pa n，∵a n≠0，∴p≠0，∴数列{a n}是首项为3，公比为p的等比数列．当p＝1时，S n＝3n；当p≠1时，S n＝．
故S n＝；
（2）①证明：当p＝，t＝2时，a n+1＝+，∴a n+1+2＝＝，a n+1﹣2＝
＝，
若存在k≥2，k∈N*，使得a k＝2，则2＝a k﹣1＝a k﹣2＝…＝a1，这与a1＝3矛盾，
所以a n≠2，＝＞0，
所以lg＝lg＝2lg，又因为lg＝lg5≠0，
所以数列是首项为lg5，公比为2的等比数列．
②解：由①知lg＝lg5•2n﹣1，∴＝5，a n＝．
由a n﹣2＝＞0得：＝＝＝＜≤，即a n+1﹣2＜（a n﹣2），∴当n≥2时，a n﹣2＜﹣2）＜（a n﹣2﹣2）＜…＜（a1﹣2）＝，
所以S n﹣2n＝（a1﹣2）+（a2﹣2）+…+（a n﹣2）≤1+++…+（当且仅当n＝1时取“＝“），
所以S n﹣2n≤＝＜，又因为S1﹣2＝1＜m，m∈N*，所以存在m且m的最小值为2．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及不等式的放缩，难度较大．
21．【分析】（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，h′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），当x∈[0，1]时，易知h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即h（x）单调减，求得最值即可判断；
（2）根据题意得到f（x）≤h（x），即y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数“，代入即可求解；
（3）f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线为t （x），求导整理得到函数t（x）必是函数y＝f（x）的“控制函数“，又此时“控制函数“g（x）必与y＝f（x）相切于x点，t（x）与y＝f（x）在处相切，且过点（1，0），在之间的点不可能使得y＝f（x）在
切线下方，所以或c＝1，即可得证．
【解答】解：（1）f（x）＝2x3﹣3x2+x，设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，
h′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），当x∈[0，1]时，易知h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即h（x）单调减，
∴h（x）max＝h（0）＝0，即f（x）﹣g（x）≤0⇒f（x）≤g（x），
∴g（x）是f（x）的“控制函数“；
（2），
∴，
∴f（x）≤h（x），即y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数“，
又，且，∴；
证明：（3）f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，
y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），
t（x）＝f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），t（x0）＝f（x0），t（1）＝0⇒f（1）＝0，
，
，
，
，
恒成立，
函数t（x）必是函数y＝f（x）的“控制函数“，
是函数y＝f（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与y＝f（x）相切于x点，t（x）与y＝f（x）在处相切，且过点（1，0），
在之间的点不可能使得y＝f（x）在切线下方，所以或c＝1，
所以曲线y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，
当且仅当c＝x0或c＝1时，．
【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题．。