2017-2018学年四川省宜宾市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{5}B．{2，3}C．{2，5}D．{2，3，5} 2．（5分）若角α的终边与单位圆的交点为P（，﹣），则tanα＝（）A．B．﹣C．D．﹣
3．（5分）函数y＝ln（3﹣x）+的定义域是（）
A．[2，3）B．[2，+∞）C．（﹣∞，3）D．（2，3）
4．（5分）若f（x）＝x2﹣2x，则f（f（f（1）））＝（）
A．1B．2C．3D．4
5．（5分）函数f（x）＝的零点所在的区间是（）
A．（8，9）B．（7，8）C．（9，10）D．（10，11）6．（5分）函数y＝1+cos x+||，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）
A．B．
C．D．
7．（5分）下列各式中，其值为﹣的是（）
A．sin75°cos75°
B．cos2﹣sin2
C．
D．
8．（5分）函数f（x）＝sin（x+）+3cos（x﹣）的最大值为（）A．3B．4C．5D．6
9．（5分）已知a＝log0.32，b＝20.1，c＝sin789°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 10．（5分）已知a∈[﹣1，1]，不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则x的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）∪（3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1）时，f（x）＝2x﹣1，则下列结论正确的是（）
A．f（x）的图象关于x＝1对称
B．f（x）的最大值与最小值之和为2
C．方程f（x）﹣lg|x|＝0有10个实数根
D．当x∈[2，3]时，f（x）＝2x+2﹣1
12．（5分）在△ABC中，tan A＝2，AC边上的高等于AC，则tan2B＝（）A．B．8C．﹣8D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若f（x）＝a x（a＞0）的图象过点（2，4），则f（）＝．
14．（5分）若tanα＝3，则sin2α＝．
15．（5分）衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小，若它的体积V随时间t的变
化规律是V＝V0（e为自然对数的底），其中V0为初始值．若V＝，则t的值约为．（运算结果保留整数，参考数据：lg3≈0.4771，lge≈0.4343）
16．（5分）设函数f（x）＝x2﹣，则使f（2x）≤f（4﹣x）成立的x的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本卷为必考题．17．（10分）（1）计算：（）+（lg25）0+lg25+lg4；
（2）已知α，β都是锐角，sinα＝，cos（α+β）＝﹣，求β的值．
18．（12分）已知0＜α＜π，sin cos+sin2﹣＝m．
（1）当m＝时，求α；
（2）当m＝时，求tanα的值．
19．（12分）已知函数
（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[﹣7，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）log a x是对数函数．
（1）若函数g（x）＝log a（x+1）+log a（3﹣x），讨论g（x）的单调性；
（2）若x∈[，2]，不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数的图象与直线y＝2两相邻交点之间的距离为π，且图象关于对称．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）先将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上所有横坐标伸长到原来的2
倍，得到函数g（x）的图象．求g（x）的单调递增区间以及的x取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+1，f（1）＝0，且f（x）≥0在R上恒成立，g（x）＝1﹣1nx．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）若有f（m）＝g（n），求实数n的取值范围；
（3）求证：y＝f（x）与y＝g（x）图象在区间[1，e]有唯一公共点．
2017-2018学年四川省宜宾市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，4}，
∴∁U B＝{2，3，5}，
∴A∩（∁U B）＝{2，3}．
故选：B．
2．【解答】解：角α的终边与单位圆的交点为P（，﹣），
则tanα＝＝＝﹣．
故选：D．
3．【解答】解：由，解得：2≤x＜3，
故选：A．
4．【解答】解：f（x）＝x2﹣2x，
则f（f（f（1）））＝f（f（﹣1））＝f（1+2）＝f（3）＝9﹣6＝3，
故选：C．
5．【解答】解：易知函数f（x）＝在定义域上是减函数，
f（9）＝1﹣lg9＞0，
f（10）＝0.9﹣1＝﹣0.1＜0，
∴f（9）f（10）＜0
故函数f（x）＝在的零点所在的区间为（9，10）；
故选：C．
6．【解答】解：函数y＝1+cos x+||，
可知函数y时偶函数，排除C，D；
当x＝π时，y＝1+cosπ+＞0，
图象在x轴上方
当x＝﹣π时，y＝1+cos（﹣π）+||＞0
图象在x轴上方
故选：A．
7．【解答】解：sin75°cos75°＝，
cos2﹣sin2＝＝，
＝，
＝﹣＝＝．∴值为﹣的是．
故选：D．
8．【解答】解：f（x）＝sin（x+）+3cos（x﹣）＝sin x+cos x+3（cos x+sin x）＝2sin x+2cos x＝4sin（x+）≤4，
所以函数的最大值为4．
故选：B．
9．【解答】解：a＝log0.32＜0，b＝20.1＞1，c＝sin789°＝sin（360°×2+69°）＝sin69°∈（0，1）．
则a＜c＜b，
故选：B．
10．【解答】解：令f（a）＝（x﹣2）a+x2﹣4x+4，
则不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立转化为f（a）＞0恒成立（a∈[﹣1，1]）．∴有，即，
整理得：，
解得：x＜1或x＞3．
∴x的取值范围为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．
故选：C．
11．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，
对任意的x∈R，均有f（x+2）＝f（x），
可得f（x）为周期为2的奇函数，
可得f（﹣x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），即有f（x）的图象
关于点（1，0）对称，故A错误；
当x∈[0，1）时，f（x）＝2x﹣1，
由x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]时，
可得f（x﹣2）＝f（x）＝2x﹣2﹣1，故D错误；
当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1）时，f（﹣x）＝2﹣x﹣1＝﹣f（x），
即f（x）＝1﹣2﹣x，可得f（x）无最小值和最大值，故B错误；
画出函数y＝f（x）与y＝lg|x|的图象，如图所示，
结合图象可得函数f（x）无对称轴，f（x）的最大值与最小值之和为0，
当x＞0时，y＝f（x）与y＝lg|x|有个交点，当x＜0y＝f（x）与y＝lg|x|有5个交点，故方程f（x）﹣lg|x|＝0有10个实数根，故C正确．
故选：C．
12．【解答】解：如图，
∵BD＝，tan A＝＝2，∴BD＝2AD，
则CD＝3AD，
∴tan∠ABD＝，tan∠CBD＝，
∴tan B＝＝＝8．
∴tan2B＝＝．
故选：D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．【解答】解：∵f（x）＝a x（a＞0）的图象过点（2，4），
∴4＝a2，
解得a＝2，
∴f（x）＝2x，
∴f（）＝，
故答案为：；
14．【解答】解：∵tanα＝3，
∴sin2α＝2sinαcosα＝＝＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：若V＝，
则＝V0，
e t＝310，
故t＝ln310＝10•≈11，
故答案为：11．
16．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣，有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣＝x2﹣＝f（x），
则函数f（x）为偶函数，
当x≥0时，f（x）＝x2﹣＝x2﹣，其导数f′（x）＝2x+＞0，
则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
若f（2x）≤f（4﹣x），必有|2x|≤|4﹣x|，
即4x2≤x2﹣8x+16，
变形可得：3x2+8x﹣16≤0，
解可得：﹣4≤x≤，
即x的取值范围为；
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本卷为必考题．17．【解答】解：（1）原式＝
＝5+1+2
＝8；……（4分）
（2）α、β都是锐角，sinα＝，cos（α+β）＝﹣，
∴cosα＝＝，
sin（α+β）＝＝；……（6分）
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]
＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
＝（﹣）×+×
＝，……（8分）
∵β是锐角，∴β＝．……（10分）
18．【解答】解：（1）由已知得：，sinα﹣cosα＝2m…………………
（2分）
当时，sinα﹣cosα＝1，
所以1﹣2sinαcosα＝1，∴sinαcosα＝0，…………………（4分）
又0＜α＜π，∴cosα＝0，∴．…………………（6分）
（2）当时，．①
，∴，…………………（8分）∴，∵，
∴．②…………………（10分）
由①②可得，，∴tanα＝2．……………（12分）19．【解答】解：（1）若a＝1，则
当x＞1时，由得，x＝2；…………………（2分）当x≤1时，由x2+2x＝0得，x＝0或x＝﹣2…………………（4分）
所以，f（x）的零点为﹣2，0，2…………………（6分）
（2）显然，函数在[1，+∞）上递增，且g（1）＝﹣2；
函数h（x）＝x2+2ax﹣3a+3在[﹣a，1]上递增，且h（1）＝4﹣a．
故若函数f（x）在[﹣7，+∞）上为增函数，
则，，
∴a≥7．…………………（10分）
故a的取值范围为[7，+∞）．……………（12分）20．【解答】解：（1）由题中可知：，解得：a＝3，
所以函数f（x）的解析式：f（x）＝log3x
∵g（x）＝log3（x+1）+log3（3﹣x），
∴，
∴﹣1＜x＜3，
即g（x）的定义域为（﹣1，3），
由于g（x）＝log3（x+1）+log3（3﹣x）＝log3（﹣x2+2x+3），
令u（x）＝﹣x2+2x+3，（﹣1＜x＜3）则：由对称轴x＝1可知，
u（x）在（﹣1，1）单调递增，在（1，3）单调递减；
又因为y＝log3在（0，+∞）单调递增，
故g（x）单调递增区间（﹣1，1），单调递减区间为（1，3）．
（2）不等式g（x）﹣m+3≤0的解集非空，
所以，
由（1）知，当时，函数g（x）单调递增区间，单调递减区间为[1，2]，
，
所以g（x）min＝1，
所以m﹣3≥1，m≥4，
所以实数m的取值范围[4，+∞）
21．【解答】解：（1）由已知可得T＝π，，∴ω＝2………（2分）又f（x）的图象关于对称，
∴，∴，k∈Z
∵，∴．…………（4分）
所以，………（6分）
（2）由（1）可得，∴，
由得，，g（x）的单调递增区间为，k∈Z．………（9分）
∵，∴，∴，∴，．………（12分）
22．【解答】解：（1）由题意可得，，，
解得，，f（x）＝x2﹣2x+1…………………（3分）
（2）f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，
若有f（m）＝g（n），则g（n）≥0，
1﹣lnn≥0，lnn≤1，0＜n≤e…………………（7分）
（3）证明：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）2﹣1+lnx，
∵y＝h（x）在[1，e]上单调递增，
又∵h（1）＝﹣1＜0，h（e）＝（e﹣1）2＞0，
∴y＝h（x）在[1，e]上有唯一实数根，…………………（10分）
∴f（x）﹣g（x）＝0在[1，e]上有唯一实数根，f（x）＝g（x）在[1，e]上有唯一实数根，所以，y＝f（x）与y＝g（x）图象在区间[1，e]有唯一公共点…………（12分）
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