轴对称及将军饮马问题.教师版

轴对称及“将军饮马”问题
知识点睛
轴对称图形：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称． 如下图，ABC ∆是轴对称图形．
两个图形轴对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．
对称轴的性质：
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 线段的垂直平分线：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
轴对称图形 两个图形轴对称
区别 图形的个数 1个图形 2个图形 对称轴的条数 一条或多条 只有1条
联系 二者都的关于对称轴对称的
如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB ．
线段垂直平分线的判定：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：
轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．
轴对称变换应用时有下面两种情况：
⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换； ⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．
重、难点
例题精讲
板块一、轴对称与轴对称图形的认识 【例 1】 下列”QQ 表情”中属于轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】 C
重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称
变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目
难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用
【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )
【解析】C
【例 2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【解析】Ｄ
【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )
【解析】C．
【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形__________；理由是__________．
【解析】②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．
【例 3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10
成轴对称的图形有：2，5，7，9
【例 4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【解析】D
【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．等腰三角形B．等腰梯形
C．正方形D．平行四边形
【解析】C
【例 5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
【解析】C
【例 6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( )
A．1；B．2；B．3；D．4
【解析】B
【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】⑴B；⑵Ｃ
【例 7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【解析】6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴．
【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )
【解析】D
【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形
．．．．．的是
⑵下列图形中对称轴最多的是( )
A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【解析】⑴D；⑵Ａ
【例 8】作出下图所示的图形的对称轴：
【解析】答案见右上图．
【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：
【解析】答案见右上图．
【例 9】求作线段AB的垂直平分线
B
A
【解析】略
【例10】已知：如图，ABC
∠及两点M、N．求作：点P，使得PM PN
=，且P点到ABC
∠两边所在的直线的距离相等．
C
【解析】 因为是两边所在的直线，所以有两个答案．
答案一：ABC ∠内角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点
P
N
M
C
B
A
答案二：ABC ∠外角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点
C
P
B
A
N
M
【例11】 (2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．
【解析】 108
【例12】 (2004河南)如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：①AB CD ∥ ②
AC BD ⊥ ③AO OC = ④AB BC ⊥，其中正确的结论有_______．
l
O D
C
B
A
【解析】 ①②③
【巩固】(2003安徽)如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，
如果AD BC ∥，有下列结论：①AB CD ∥ ②AB BC = ③AB BC ⊥ ④AO OC =．其中正确的结论是_________．(•把你认为正确的结论的序号都填上)
l O
D
C
B
A
【解析】 ①、②、④
【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴
蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．
【解析】 答案见右上图．
板块二、轴对称的应用
【例14】 如图，ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 对称，且90B ∠=︒，''6cm A B =，求'B ∠的度数和AB 的长．
L C'
B'
A'
C
B
A
【解析】 ∵ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 成轴对称
∴'B B ∠=∠，''AB A B =；又 ∵90B ∠=︒，''6cm A B =
∴'90B ∠=︒，6cm AB =．
【例15】 如图，有一块三角形田地，10cm AB AC ==，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量
得BDC ∆的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长．
【解析】 ∵ED 垂直平分AB ∴DA DB =，
∵17m BD DC BC ++=， ∴17m AD DC BC ++=
∵10m AC =，
∴7m BC =．
【巩固】如图，ABC ∆中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE =厘米，BCE ∆的周长是
18厘米，则BC 等于多少厘米？
E
D
C
B
A
【解析】 ∵ED 垂直平分BC ∴EB EC =，
∵BEC ∆的周长为18cm ∴8cm BC =．
【例16】 如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．
O
D
C
B
A
【解析】 ∵CD 垂直平分OA ∴CO CA = ∴O A ∠=∠ ∵40O ∠=︒ ∴40A ∠=︒
∴80ACB A O ∠=∠+∠=︒．
【例17】 (2004陕西)已知：如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，BC 平行于x 轴，点B •的坐
标是(3,1)-．
⑴画出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆；
⑵求以点A 、B 、'B 、'A 为顶点的四边形的面积．
【解析】 ⑴画图正确
⑵过A 点作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，则 18060ABD ABC ∠=︒-∠=︒， 在Rt ABD ∆中， BD ＝AB ·cos ∠ABD ＝2×
1
2
＝1
AD ＝AB ·sin ∠ABD =2×
3
2
＝3 又知点B 的坐标为(-3，1) 可得点A 的坐标为()
413-+，
∵'AA y ⊥轴，'BB y ⊥轴 ∴''AA BB ∥ ∵AB 与''A B 不平行 ∴以点''A B B A ，，，为顶点的四边形是等腰梯形 由点A 、B 的坐标可求得 '248'236AA BB =⨯==⨯=， ∴梯形''ABB A 的面积＝12(AA ′+BB ′)·AD ＝1
2
×(8+6)×3=73．
板块三、轴对称在几何最值问题中的应用
【例18】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运
动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．
【解析】 点B 与点A 重合，或者点B 是点A 关于直线l 的对称点．
【例19】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和
最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
a
B
A
【解析】 答案见右上图．
【巩固】若此题改成，在a 上找到M 、N 两点，且10MN =，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短．
a
B
A
B N
M
B''
A
a
B‘
【解析】 见右上图．
【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O
点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．
P
O
B
A
R
Q
P
O
B
A
【解析】 见右上图．
【巩固】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．
N
M
C
B
A
【解析】 见右上图．
【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正ABC ∆的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意
一点，PA PM +的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22s t -的值．
M
P
C
B
A
M'M
P
C
B
A
【解析】 作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ． 由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM =． 故''PA PM PA PM AM +=+≥
当且仅当A 、P 、'M 共线时，等号成立，故22(')7t AM ==． 另外两个临界位置在点B 和点C 处．
当点P 位于点C 处时，23PA PM AC CM +=+=+； 当点P 位于点B 处时，3PA PM AB BM +=+=． 故22(23)743s =+=+，2243s t -=．
本题也可作点A 关于BC 的对称点'A ，连接'A M 、'PA ．
【例22】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA
的边的距离和最小．
P
M'
M
O
B
A M O
B
A
【解析】 见右上图．
【例23】 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．
【解析】 见右上图．
【巩固】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．
【解析】 见右上图．
【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是
AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．
N
M
D C
B A
N M
D C
B A
【解析】 找点D 关于AC 的对称点，
由正方形的性质可知，B 就是点D 关于AC 的对称点， 连接BN 、BM ，由DN MN BN MN BM +=+≥可知，
当且仅当B 、N 、M 三点共线时，DN MN +226810+=． 当点N 在AC 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：
BM 与AC 的交点，即DN MN +取最小值时； 当点N 位于点A 时，8217DN MN AD AM +=+=+
当点N 位于点C 时，8614DN MN CD CM +=+=+=．故DN MN +的最大值为8217+
【巩固】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．
【解析】 当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处． 2DN MN DM -≤=，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2．
【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一
个动点，则DN MN +的最小值是
【解析】 连接BM 交AC 于N ，此点即为所求．所以根据勾股定理，10DN MN +=．
【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居
民小区送电，分支点为M ，已知居民小区A 、B 到主干线l 的距离分别为12AA =千米，12BB =千
米，且114A B =千米．
⑴ 居民小区A 、B 在主干线l 的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？
⑵ 如果居民小区A 、B 在主干线l 的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？此时分支点M 与1A 距离多少千米？
l (1)
A
B
A 1
B 1
l (2)
A
B
A 1
B 1
M
l A 1
A
B
B 1
M l A
B
A 1
B 1
B 2
【解析】 ⑴ 连结AB ，AB 与l 的交点就是所求的分支点M ，分支点开在此处总线路最短，
如图，因为1190BB M AA M ∠=∠=︒，11BMB AMA ∠=∠．
所以11B BM A AM ∆∆≌． 所以12A M =
．
由勾股定理，得AM BM =
=，AB AM BM =+=M 在线段11A B
上距A 点
⑵ 如图，作B 点关于直线l 的对称点2B ，连结2AB 交直线l 于点M ，此处即为分支点，由图可知，
1A M 的长度为2千米．
点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A 点的对称点A 2．
【例26】 (09山东临沂)如图，A ，B 是公路l (l 为东西走向)两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1km AC =，
B 村到公路l 的距离2km BD =，B 村在A 村的南偏东45︒方向上． ⑴ 求出A ，B 两村之间的距离；
⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．
【解析】 ⑴ 方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=︒．
∴ACO ∆和BDO ∆都是等腰直角三角形．
∴2AO =，22BO =． ∴A B ，两村的距离为()22232km AB AO BO =+=+=
方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．
在Rt AEB ∆中，由45A ∠=︒，可得3BE EA ==．
()323332km AB =+=
∴A B ，两村的距离为32km ． ⑵ 作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于1
2
AB 的长为半径作弧，
两弧交于两点M ，N ，作直线MN ； ②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．
家庭作业
【习题1】 (08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．
的是
B
A
C
D
l
N M
O
P
北
东
A
C
D
l
【解析】D
【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )
⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )
【解析】⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．
【习题3】如图，ABC
∆中，90
A
∠=︒，BD为ABC
∠的平分线，DE BC
⊥，E是BC的中点，求C
∠的度数．E
D C
B
A
【解析】∵BD平分ABC
∠
∴ABD EBD
∠=∠
∵DE垂直平分BC
∴BD CD
=，DBE C
∠=∠
∴ABD DBE C
∠=∠=∠
∵90
A
∠=︒
∴30
ABD DBE C
∠=∠=∠=︒．
【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC
∆中，3
CA CB
==，E的BC上一点，满足2
BE=，在斜边AB 上求作一点P使得PC PE
+长度之和最小．
P
E'
E
C
B
A
E P
C B
A
【解析】 见右上图．
【习题5】 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小
值．
E P
D
C B A
E‘
E P
D
C
B A
【解析】 当'E 、P 、C 三点共线时，PE PC +有最小值13．
备选
【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【解析】 C
【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼
【解析】 是轴对称图形的有：⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴．
【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC
的中点，在对角线AC 求作一点P 使得PM PN 的值最小．
P
N
M
D C
B
A
N'
A
B C
D
M
N
P
【解析】 见右上图．。