《同步学案》北师七年级(下册)4.5 利用三角形全等测距离

4.5 利用三角形全等测距离
1、掌握全等三角形的对应边相等的性质；
2、会利用全等三角形的对应边相等的性质解决一些不可直接测量的测量距离问题；
3.重难点：利用全等三角形的对应边相等的性质解决实际问题.
知识导入
一天小明不小心把篮球掉到了河里，他想用一个竹竿把篮球勾出来，可是需要测出河岸与篮球的距离.由于没有任何测量工具，小明为此绞尽脑汁，忽然他灵机一动想出了一个办法，成功的把篮球勾了上来.他面向篮球的方向站在岸边，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在篮球上；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与篮球的距离.
你知道小明的做法的原理是什么吗？
知识讲解
知识点：利用三角形全等测距离
例郑东中学初一（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下两种方案：
（a）如图①，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC．并分别延长AC 至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A、B的距离；
（b）如图②，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使CD=BC，接着过点D 作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为A、B的距离．
阅读后回答下列间题：
（1）方案（a）是否可行？说明理由；
（2）方案（b）是否可行？说明理由．
分析 （1）根据DC=AC ，∠ACB=∠DCE ，EC=BC 得出△ACB ≌△DCE 即可得出ED=AB ，即DE 的长即为A 、B 的距离；
（2）根据∠ABC=∠CDE=90°，BC=CD ，∠ACB=∠DCE 得出△ACB ≌△EDC ，即可得出DE=AB ，求出DE 的长即为A 、B 的距离. 解析 （1）可行，在△ACB 和△DCE 中
D C AC,ACB DEC,EC BC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACB ≌△DCE （SAS ）， ∴ED=AB ，
∴DE 的长即为A 、B 的距离；
（2）可行，由已知，在△ACB 和△EDC 中
ABC CDE 90,BC CD,
ACB DCE ∠=∠=︒⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACB ≌△EDC （ASA ）， ∴DE=AB ，
∴DE 的长即为A 、B 的距离．
点拨 此题主要考查了全等三角形的判定，根据已知熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键． 知识探究
1.利用三角形全等解决实际问题的步骤：
⑴先要确定用什么几何知识解决该实际问题；⑵根据实际抽象出几何图形；⑶结合图形和该实际问题的题意分析已知条件；⑷找到解决实际问题的途径，并用三角形全等的知识加以说明.
2.测量地面两点间的距离方案的设计：
⑴先确定好目标，然后调整帽檐，使视线通过帽檐望去恰好落在目标上，然后保持帽檐不动，转过一个角度在望出去，视线所落的位置即为第二目标；⑵测出第二目标与目测者的距离即为所要测的两点间的距离；⑶为了更加准确可以多测几次，然后求其平均数，以减小误差. 例1 某工地发生塌方事故，有两名工人被困在一间小密室里，为了保证小密室内空气充足，救援队决定在密室的墙壁上打个通气孔，如图所示，为了不伤到被困人员，救援人员决定在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35 cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长20 cm ，为了保证钻孔不发生偏差，救援人员在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35 cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20 cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．
分析 点A 、O 、C 三点在同一直线上，通过证明△ABO ≌△CDO ，可得D 、O 、B 三点在同一直线上.
解析 在△ABO 和△CDO 中,
O A ,90,AB CD OC OAB OCD =⎧⎪
∠=∠=⎨⎪=⎩
，∴△ABO ≌△CDO （SAS ），
∴DOC BOA ∠=∠， 又
180AOB BOC ∠+∠=,
∴180COD BOC ∠+∠=,即180.BOD ∠=
∴点D 、O 、B 三点在同一直线上，∴钻头沿着DO 方向打孔，一定从B 处打出. 点拨 本题的关键是要说明D 、O 、B 三点在同一直线上.
例2 如图，有一湖的湖岸在A 、B 之间呈一段圆弧状，A 、B 间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A 、B 间的距离吗？
分析 直接测量A 、B 间的距离比较困难，可以通过构造全等三角形的方法来间接测出AB 间的距离.
解析 要测量A 、B 间的距离，可用如下方法：
过点B 作AB 的垂线BF ，在BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，如图所示.在EDC 和△ABC 中
ACB ECD,CB CD ABC EDC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
，∴△EDC ≌△ABC （ASA ）．∴DE=BA ．答：测出DE 的长就是A 、B 之间的距离．
点拨 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明△EDC ≌△ABC 是本题的关键. 易错辨析
题 要测量两河岸相对两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上（如图所示），量得DE=50米，那么AB 的长是多少？证明你的结论．
错解 AB 的长为50米．理由如下.在△ABC 和△EDC 中.
B C CD,ACB ECD,AC CE,=⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△EDC （SAS ）
． ∴AB=DE=50米．
辨析 错解中的结论正确，但证明过程出现错误，因为题目中没有给出AC=EC 的条件，错解错误的利用了边角边证明三角形全等.
正解 AB 的长为50米．理由如下.在△ABC 和△EDC 中,
ABC EDC 90,BC CD,
ACB ECD,∠=∠=︒⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ABC≌△EDC（ASA）．∴AB=DE=50米．
1.如下图所示，要测得池塘两端AB间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，过点D作DE⊥BF,且A、C、E三点在同一直线上，若测得DE=23米，即可知道AB=23米，那么△ABC≌△EDC,那么两个三角形全等的依据是（）.
A.角角边
B.边边边
C.边角边
D.角边角
第1题图第2题图第3题图
2.如下图所示，已知∠α=∠β，∠C=∠D,AD=7cm,BC=4cm,那么AC+BD等于（）.
A.14 cm
B. 11 cm
C. 8 cm
D. 3 cm.
3.幼儿园甲乙两个小朋友在玩跷跷板游戏，如下图所示，如果跷跷板的支点（中点）O 到地面的距离OD=60cm，当甲小朋友从水平位置降到地面时，乙小朋友离地面的高度是Cm,其中的原理是，甲小朋友下降的距离和乙小朋友上升的距离间的关系是（“相等”或“不相等”）.
4.同学甲只有一根2米长的尺子，他想知道一假山两旁的两棵树间的距离，如下图所示，看用什么方法能帮助同学甲解决这个问题，并说明原因.
5.为估计一河流A、B间的宽度，现有皮尺和木桩，请设计一个方案来测量AB间的距离.
如图所示， 水池中有一荷花E ，要测的该荷花距离岸边A 和岸边D 点的距离.作法如下： ⑴任作线段AB ，取中点O ；⑵连接DO 并延长使DO=CO ；⑶连接BC ；⑷用仪器测得E 、O 在一条直线上，并交CB 于点F.要测AE 、DE ，测量BF 、CF 即可，为什么？
分析 构建的三角形中条件满足△AOD ≌△BOC, △AOE ≌△BOF, △DOE ≌△COF.
解析 在△AOD 和△BOC 中, ,AOD BOC,OD OC,OA OB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOD ≌△BOC （SAS ）． ∴∠A=∠B,AD=BC.
在△AOE 和△BOF 中, A
B,OA OB,AOE BOF,∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AOE ≌△BOF （SAS ）． ∴AE=BF, 又
AD=BC,
∴AD-AE=BC-BF,即DE=CF.
∴要测AE 、DE ，只需测量BF 、CF 即可.
点拨 利用三角形全等测量距离时，可能会利用两次或两次以上全等，另外证明三角形全等的方法可能会不只是一种，要理解题目中所给的条件，然后利用合适的条件来进行证明三角形全等.
练习：如图所示，A,B,C,D,E,F,M,N 是某公园里的8个独立景点D,E,B 三个景点之间距离相等；A 、B 、C 三个景点之间距离相等.其中D 、B 、C 在同一直线上，E 、F 、N 、C
在同一直线
上，D 、M 、F 、A 在同一直线上.游客甲从E 点出发，沿着E →F →N →C →A →B →M 游览，游客乙从D 点出发，沿着D →M →F →A →C →B →N 游览.若两人的速度相同，且在各景点游览的时间相同，试问甲、乙两人谁先游览完？并说明理由.
参考答案
课堂检测 1. D 2. B
3. 60 ；全等三角形对应边相等；相等
4.解析：假设左边两边的树分别为A 、B ，连接AB ，在的线段AB 的一侧找一点M,连接AM 、BM,分别延长至C 、D 点，使CM=AM 、DM=BM ，连接CD ，根据“SAS ”得出△AMB ≌△CMD,用尺子测出的CD 间的距离即为两树间的距离. 图例略.
5．解析：在河流AB 的一侧找一点O ，用木桩固定下，分别测出AO 的距离和BO 的距离，延长AO 到C, BO 到D ，使OC=OA,OD=OB,测出的CD 间的距离与AB 间的距离相等，即为河流AB 的距离.根据是OC=OA, ∠AOB=∠COD,OD=OB,则△AOB ≌△COD(SAS),所以AB=CD. 综合提升
练习 解析 甲乙两人同时游览完.理由如下.
在△EBC 和△DBA 中, ,EBC DBA,
BC BA,BE BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EBC ≌△DBA （SAS ）． ∴EC=DA,∠CEB=∠ADB.
又在△DBM 和△EBN 中, DBM EBN=60,DB EB,
CEB MDB,⎧∠=∠⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△DBM ≌△EBN （SAS ）． ∴
BM=BN.
所以EC+AC+AB+BM=DA+AC+BC+BN,即甲与乙所走的路程相等，而两个人所走的景点个数相同，各景点游览的时间也相同，故两个人同时游览完.。