2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中
数学试题
一、单选题
1．已知两个向量()()1,2,1,2,,2a b m ==，若a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．8
【答案】B
【分析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.
【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即2220m ++=，解得2m =-. 故选：B
2．已知直线l 过点()2,4P ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y -=
B ．280x y +-=
C ．20x y -=或2100x y +-=
D ．20x y -=或280x y +-=
【答案】D
【分析】对直线l 是否经过原点分类，结合条件，求出l 的方程．
【详解】解：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为2y x =，即20x y -=； 若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为12x y
a a
+=()0a ≠， 把点()2,4P 代入可得24
12a a
+=，解得4a =， ∴直线l 的方程为
148
x y
+=，即280x y +-=， 综上可得直线l 的方程为20x y -=或280x y +-=； 故选：D ．
3．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则
()()
55lim
x f x f x x
∆→+∆--∆=∆（ ）
A ．12
-
B ．2
C ．1-
D ．2-
【答案】D
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到()51f '=-，利用导数的概念解出即可. 【详解】依题意可知切点()5,3P ，
函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，
∴ ()51f '=-，即()()
55lim 1x f x f x
∆→+∆-=-∆
∴()()
()()
5555lim
2lim
2x x f x f x f x f x x x
∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆
又
()()
()()
5555lim
lim
12x x f x f x f x f x x ∆→∆→+∆--∆+∆-==-∆∆ ∴()()
()()
5555lim
2lim
22x x f x f x f x f x x
x
∆→∆→+∆--∆+∆--∆==-∆∆
即()()
55lim
2x f x f x x
∆→+∆--∆=-∆
故选：D.
4．已知动圆圆心在抛物线24x y =上，且动圆恒与直线1y =-相切，则此动圆必过定点（ ） A ．()2,0 B ．()1,0 C ．()0,1 D ．()0,1-
【答案】C
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义判断即可.
【详解】解：抛物线2
4x y =的焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，
依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点()0,1F ； 故选：C
5．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而
上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ） A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440
【答案】A
【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.
【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4
道菜，共有4
4A 24=种方法，
4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有2
5A 20=种方法，
所以由分步计数原理可知共有2420480⨯=种不同的上菜顺序， 故选：A
6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且
4813
S S =，则816S
S 等于（ ）
A ．18
B ．19
C ．1
3
D ．
310
【答案】D
【分析】由题设及等差数列前n 项和公式可得11461
8283
a d a d +=+，求1,a d 的数量关系，进而
求
8
16
S S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题设，
41814618283S a d S a d +==+，可得152
a d =， ∴
8116182831612010
S a d S a d +==+. 故选：D.
7．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为()0p p ≠，考试次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值可能是（ ） A ．1
2 B ．
512
C ．
712 D ．34
【答案】B
【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X 的分布列，根据数学期望的公式即可计算p 的范围.
【详解】考试次数X 的所有可能取值为1，2，3，
()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()2
31P X p ==-，
∴()()()2
2131 1.75E X p p p p =+-+->， 即241250p p -+>，解得2p 1
<或52
p >， 又01p <<，故102
p <<． 故选：B.
8．已知双曲线22
221x y a b -=，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记垂足为P ，点Q 在双
曲线上，且满足FQ QP =，则双曲线的离心率为（ ） A
1 B
C
D ．2
【答案】C
【分析】设P 在渐近线b y x a
=-
上，直线FP 的方程为()a
y x c b =+，联立求得
2,a ab P c c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，由FQ QP =，求得2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程化简即可得出答案.
【详解】设P 在渐近线b y x a
=-
上，直线FP 的方程为()a
y x c b =+，
由()b y x a a y x c b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2,a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由FQ QP =，得Q 为FP 的中点，又因为(),0F c -
所以2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
因为Q 在双曲线上，所以
222222
2()1,44c a a a c c
+-=化简得：22
2,c a =
c
e a
=
故选：C
二、多选题
9．某同学投篮1次，投中的概率是0.8，他连续投篮4次，且他每次投篮互不影响，则下列四个选项中，正确的（ ） A ．他第3次投中的概率是0.8 B ．他恰投中3次的概率是30.80.2⨯
C ．他至少投中1次的概率是410.2-
D ．他恰好有连续2次投中的概率为330.80.2⨯⨯ 【答案】AC
【分析】利用相互独立事件的概率和独立重复试验的概率公式判断即可.
【详解】A 选项：投篮1次，投中的概率为0.8，所以第3次投中的概率为0.8，故A 正确；
B 选项：恰投中3次的概率为333
40.80.240.80.2⨯⨯=⨯⨯C ，故B 错；
C 选项：至少投中1次对立事件为都没有投中，所以至少投中1次的概率为
044
410.210.2-⨯=-C ，故C 正确；
D 选项：恰好有连续2次投中的概率为22220.80.20.80.2⨯⨯+⨯，故D 错. 故选：AC.
10．已知直线():12330l m x my m -+-+=，m R ∈和圆()()2
2
:214C x y -+-=，下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,0
B ．圆
C 被x 轴截得的弦长为
C ．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为
D ．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为【答案】ABD
【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A ；求出圆C 被x 轴截得的弦长判断B ；当直线过圆心时可判断C ，当直线l PC ⊥时算出弦长可判断D. 【详解】对于A ，由()12330m x my m -+-+=，得()2330m x y x +--+=，
联立23030x y x +-=⎧⎨-+=⎩，得30x y =⎧⎨=⎩，无论m 为何值，直线l 恒过定点()3,0，故A 正确；
对于B ，在22(2)(1)4x y -+-=中，令0y =，得2=x C 被x 轴截得的弦长
为2(2=B 正确；
对于C ，当直线l 过圆心C (2,1)时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆C 直径4，故C 错误；
对于D ，由于直线l 恒过的定点()3,0，易知此点在圆内，设此定点为P ，当直线l 与直
径垂直时，直线l 被圆截得的弦长最小，且最小值为=D
正确. 故选：ABD
11．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且11a >，565612a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项中不正确的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．101T > D ．111T >
【答案】BD
【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，可得56(1)(1)0a a --<，
因此51a >，61a <，01q <<．进而判断出结论．
【详解】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，
56(1)(1)0a a ∴--<，
11a >，若51a <，则一定有61a <，不符合不等式，
故51a >，61a <，01q ∴<<．
5612a a +>，561a a ∴>，
0565101231()1T a a a a a a =⋯=>，11
1161T a =<，
综上可知，AC 正确，BD 错误． 故选：BD ．
12．若三次函数()321
27
f x ax x cx =+++有三个相异且成等差的零点，则a 的可能取值为（ ） A ．3 B ．1
C ．13
D ．19
-
【答案】CD
【分析】利用三次函数有三个相异的零点，得到()2
32f x ax x c '=++有两个相异的根，由
根的判别式求出13
ac <，根据三次函数的三个零点，利用加减消元法得到21
3x a =-，利
用()2103f x f a ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭求出()()1,00,1a ∈-⋃，得到正确答案.
【详解】()321
27
f x ax x cx =+++
定义域为R ，且0a ≠， ()232f x ax x c '=++，
因为三次函数有三个相异的零点，
所以()2
32f x ax x c '=++有两个相异的根，
所以4120ac ∆=->，解得：1
3
ac <，
设三次函数三个相异的零点分别为()123123,,x x x x x x <<，则1322x x x += 则321111027ax x cx +++
=①，322221027ax x cx +++=②，323331027
ax x cx +++=③，①－②得：()()()33221212120a x x x x c x x -+-+-=，
即()()()()()22
1211221212120a x x x x x x x x x x c x x -+++-++-=，
因为120x x -≠，
所以()()22
1122120a x x x x x x c +++++=④，
同理②－③得：()()22
3322320a x x x x x x c +++++=⑤，
④-⑤得：()()()()1313132130a x x x x x x x x x ⎡-++-⎤+-=⎣⎦， 因为130x x -≠，
所以()13210a x x x ⎡++⎤+=⎣⎦， 因为1322x x x +=，所以2310x a +=， 解得：21
3x a
=-
， 则()3
2
211111
0333327
f x f a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
解得：22
9a c a
+=，代入13ac <得：22193a a a +⋅
<， 解得：21a <，又0a ≠， 所以()()1,00,1a ∈-⋃，
从而a 的可能取值为1
3，19
-
故选：CD
【点睛】处理三次函数零点问题，可通过消元法将三次问题转化为一次问题，再结合题目特征求出参数的取值范围.
三、填空题
13．北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________
种.（用数字作答） 【答案】30
【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；
【详解】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有12
34C C =18种； 若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有21
34C C =12种； 综上可得一共有181230+=种； 故答案为：30
14．已知()6
2601262x a a x a x a x -=++++，则0126a a a a ++++=________（用数字
作答） 【答案】729
【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为()6
012345621a a a a a a a ⎡⎤-+-+-+=--⎣⎦，即可求值
【详解】由二项式定理可知，0246a a a a 、、、均为正数，135a a a 、、均为负数， 可得()6
6
01260123456213729a a a a a a a a a a a ⎡⎤++++=-+-+-+=--==⎣⎦.
故答案为：729
15．若对1x ∀，()2,∈+∞x m ，且12x x <，都有12
12
ln ln 1x x x x -<-，则m 的最小值是________.
【答案】1
【分析】根据题意整理可得：1122ln ln x x x x ->-，理解可得：()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，即()0f x '≤在(),m +∞上恒成立，结合参变分离运算求解. 【详解】∵12x x <，则120x x -<
由题意可得：1212ln ln x x x x ->-，即1122ln ln x x x x ->- ∴()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，则()1
10f x x
'=
-≤在(),m +∞上恒成立 即1≥x 在(),m +∞上恒成立，则m 1≥，即m 的最小值是1 故答案为：1.
16．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4. 若M 是平面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为________.
【答案】
51
2
+ 【分析】先由AM MC ⊥判断出M 点轨迹，再求出1A M 与平面11BCC B 所成角为11A MB ，要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，结合M 点轨迹求出1B M 最小值即可. 【详解】连接1,BM B M ，如图，
易知AB ⊥平面11BCC B ，CM ⊂平面11BCC B ，所以AB CM ⊥，又AM MC ⊥，
AB AM A =，故CM ⊥平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，所以⊥CM BM ，
即M 点在平面11BCC B 内的轨迹为以BC 为直径的圆（除去点C ）， 又11A B ⊥平面11BCC B ，故1A M 与平面11BCC B 所成角即为11A MB ， 又1111114
tan A B A MB B M B M
∠=
=，故要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，将平面11BCC B 及M 点轨迹画出如下图：
设O 为BC 中点，连接1OB ，
则2212425OB +=1B M 最小为52， 此时1151
tan 252
A M
B +∠=-51
+.
四、解答题
17．已知函数()ln f x x =，()tan g x x =. (1)求曲线()y g x =在π
π,44g ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处切线的方程；
(2)若直线l 过坐标原点且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)210
2
x y
(2)e 0x y -=
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）根据()ln f x x =设切点坐标()00,ln x x ，然后利用导数的几何意义得到斜率0
1
k x =，再利用点斜式写切线方程，将()0,0代入切线方程得到0e x =即可得到切线方程.
【详解】(1)()sin tan cos x g x x x ==，所以()2222
cos sin 1cos cos x x g x x x
+'==，所以24g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，14g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以切线方程为：124y x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得2102x y .
(2)()ln f x x =，所以()1
f x x
'=，设切点坐标为()00,ln x x ，所以切线斜率为01k x =，
则切线方程为：()000
1
ln y x x x x -=-，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程
得()0001
ln x x x -=
⋅-，解得0e x =，所以切线方程为：()11e e
y x -=-，整理得e 0x y -=. 18．甲、乙两班进行多场趣味比赛，若每场比赛相互独立，且均能分出胜负.已知每场比赛甲、乙两班胜出的概率相同，都是1
2.
(1)若比赛采用五局三胜制（在不超过五场的比赛中，先赢得三场者胜），设比赛的局数为X ，写出X 的分布列；
(2)若比赛规定某班率先赢得四场比赛则为胜出，假定比赛已进行了5场，请问此时甲胜出的概率.
【答案】(1)见解析；
(2)1
8.
【分析】（1）分别求出3,4,5X =时的概率，然后写分布列即可； （2）此时甲胜出意味着乙只在前4场胜出1场，然后表示概率即可. 【详解】(1)由题意知X 可取3，4，5，
()312
11324P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C ，()4112313428P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C C ，()5
122413528
P X ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭C C ， 所以X 的分布列为：
(2)设此时甲胜出为事件B ，则()5
1
4
1128
P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭C ，所以此时甲胜出的概率为18. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
16n n S a n +=∈N .
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)令n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(1)4
12-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
n n a
(2)4
27,19,241,3
22n n n T n n n n -⎧⎪
=⎪⎪
==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
【分析】（1）当1n =时，可得1a ；2n ≥时，由2n n S a +=，可得112n n S a --+=，两式作差可得数列{}n a 是等比数列，进而可得通项公式； （2）利用分类讨论求解即可．
【详解】(1)由题意知，当1n =时，1116S a +=，即18a =，
2n ≥时，由1116,16n n n n S a S a --+=+=得110n n n n S S a a ---+-=即12n n a a -=，
所以数列{}n a 是首项为8，公比为1
2的等比数列.
所以1
4
11822n n n a --⎛⎫
⎛⎫=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
.
(2)由题意知，4
4
1,1221,32n n n n n n b a n n n --⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭
=-=⎨⎛⎫
⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以127,2b b ==，所以112127,729T b T b b ===+=+=， 当3n ≥时，
201
4
4135119[3][4][5]112222n n n T T b b b b n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪=++++
+=+-+-+-+
+ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
1
4
11119345[]2222n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
+
++
+
2
12[1]
329(2)1212
n n n -⎛⎫- ⎪
+⎝⎭=+⨯--
-
2
21214422n n n -++⎛⎫=-+⨯ ⎪
⎝⎭
4
24122n n n -++⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
.
所以4
27,19,2
41,3
22n n n T n n n n -⎧⎪
=⎪⎪
==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
. 20．如图，把以AC 为底边的等腰ACD △绕着它的一条腰AD 旋转到ABD △的位置，使得BCD △为正三角形，且30ACD ∠=︒，2BC =，E 、F 为线段AB 、CD 上的点，且
3AE EB =，3CF FD =.
(1)求证：EF ⊥平面ACD ； (2)求二面角A CD B --的正弦值. 【答案】(1)证明如下
(2)22
3
【分析】（1）通过作辅助线，构造平面BCM ，使得AD ⊥平面BCM ，再在平面BCM 内作直线E F ''与EF 平行，即AM E F ''⊥，并通过勾股定理求证E F MC ''⊥，从而证明出EF ⊥平面ACD ；
（2）因为BCD △为等边三角形，所以BN CD ⊥，并在平面ACD 作辅助线QN CD ⊥，构造出二面角A CD B --所对应的平面角，通过求出各边长，从而求出二面角
A CD
B --的正弦值
【详解】(1)
过点C 作CM AD ⊥，连接BM 过点E 作//EE AC '交BC 于点E '
过点F 作//FF AC '交CM 于点F '，连接E F ''
//EE AC '，3AE EB =，∴1
4
EE AC '=
CM AD ⊥，ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒
∴ 30DCM ∠=︒，且2222cos 12AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴3AC =∴3EE '=
//FF AC '，30ACD ∠=︒，∴30CFF '∠=︒
∴CFF '△为等腰三角形
又
3CF FD =，2CD =，∴3
2
CF =
∴22232cos 4F F CF F C CF F C DCM '''=+-⋅⋅∠=，即3
FF CF ''==
∴//FF EE ''且FF EE ''=
∴四边形FF E E ''为平行四边形，∴//EF E F ''
CM AD ⊥，ACD △全等于ABD △
∴3CF BM ==BM AD ⊥，∴3cos MCB ∠= 3
2CE '=∴22232cos 2
EE CF E C CF E C BCM '''''=+-⋅⋅∠=
∴222E F F C E C ''''+=∴E F MC ''⊥
BM AD ⊥，CM AD ⊥，BM CM M ⋂=，BM ⊂平面BCM ，CM ⊂平面BCM
∴AM ⊥平面BCM
E F ''⊂平面BCM ，∴AM E F ''⊥
E F MC ''⊥，AM CM M ⋂=，AM ⊂平面ACD ，CM ⊂平面ACD
∴E F ''⊥平面ACD
//EF E F ''∴EF ⊥平面ACD
(2)
过点A 作AP CD ⊥，取CD 的中点N ，连接BN 过点N 作//QN AP 交AC 于点Q ，连接BQ
BCD △为等边三角形，N 为CD 的中点，∴BN CD ⊥
AP CD ⊥，//QN AP ，∴QN CD ⊥
∴二面角A CD B --的平面角为BNQ ∠
2CD =，BN CD ⊥
∴3BN =1CN =
由（1）得3AC =又
ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒，AP CD ⊥
∴3AP =1DP =，∴
1
3
CN CP = 又
//QN AP ，∴
1
3
CQ QN AC AP == ∴3QN =，23CQ =3cos
ACB ∠=
∴2222cos 4BQ BC CQ BC CQ ACB =+-⋅∠=，即2BQ =
∴在BNQ 中，2221
cos 23BN QN BQ BNQ BN BQ +-∠==-⋅
∴二面角A CD B --22
21．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点()
22,2P ，A 、B 为左右顶点，且8AB =.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点A 作椭圆内的圆()222
:0O x y r r +=>的两条切线，交椭圆于C 、D 两点，若直
线CD 与圆O 相切，求圆O 的方程；
(3)过点P 作（2）中圆O 的两条切线，分别交椭圆于两点Q 、R ，求证：直线QR 与圆O 相切.
【答案】(1)22
1164
x y +
= (2)22169
x y +=
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的基本量可得4a =，代入()
22,2P 即可得椭圆的方程； （2）根据对称性可得直线CD 与x 轴垂直，再根据相切的性质，结合三角函数的关系列式求解半径r 即可；
（3）设圆O 的切线方程为()
222y k x -=-，根据切线到圆心的距离可得k 的二次方程，进而得到,PQ PR 的斜率12,k k ，再联立,PQ PR 的方程与椭圆方程可得,Q R 的横坐标，进而表达出QR 的方程，求解圆心到QR 的距离表达式，代入数据求解得4
3
d =即可证明. 【详解】(1)依题意，8AB =则4a =，代入()
22,2P 可得282
116b
+=，解得24b =，故椭圆方程为22
1164
x y +
= (2)由椭圆与圆的对称性可得，直线,AC AD 关于x 轴对称，故直线CD 与x 轴垂直. 代入x r =到22
1164x y +
=，不妨设21,162C r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，设E 为AC 与圆O 的切点，F 为CD 与圆O 的切点.
则由切线的性质，21
162
CE CF r ==
-OE OF r ==，故22216AE AO OE r =--
故AC AE EC =+=故1sin 34CF OE r CAF AC OA ∠=
===，故4
3
r =. 故圆O 的方程为22
169
x y +=
. (3)设圆O
的切线方程为(y k x =-
，即0kx y -=.
43=，故()2
212819
k k -=+，化简得2283610k k -+=. 则该方程两根分别为,PQ PR 的斜率12,k k
，则1k =
，2k =
联立(221164
y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，则(
)()()
222
141284410k x k x k k ++-+--=.
设()()1122,,,Q x y R x y ，
则()211121
844114k k k
--=
+，
即
)21112
1
44114k k x k
--=
=
+，
同理
)2
2222
2
44114k k x k --==
+
故11k x =
，22k x =
(
(121122y y k x k x -=--
-)112212k x k x k k =--
-=又1212
QR y y k x x -=-，故直线QR 的方程为()12
1
112y y y y x x x x --=--，即 ()()121212210y y x x x y x y x y ---+-=，
故O 到直线QR 的距离
d
=
代入数据可得4
3
d =
，故直线QR 与圆O 相切.
【点睛】本题主要考查了根据直线与圆和直线与椭圆的位置关系问题，需要根据题意设直线方程，联立椭圆方程得出对应的点坐标，从而得出直线方程，根据点到直线的距离公式化简求解.计算量较大，属于难题.
22．已知()e cos x
f x x =⋅.
(1)求()f x 的极大值点；
(2)若0a >，当2x ≥-时，()()()2
e 2cos 242x
f x x x a x x ≤⋅++-++恒成立，求a 的取值范
围.
【答案】(1)π
2π,Z 4
k k +∈；
(2)2
e ,1-⎡⎤⎣⎦.
【分析】（1）由题可得()πcos 4
x
f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝
⎭
，根据函数的导数与函数的极值点的关系
即得；
（2）由题可得()()2
e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，构造函数
()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，利用导数求函数的最值即得.
【详解】(1)因为()e cos x
f x x =⋅，
所以()()πe cos sin cos 4
x x
f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝
⎭
，
由()0f x '>可得，πππ2π2π,Z 242k x k k -<+<+∈，即3ππ
2π2π,Z 44
k x k k -<<+∈， 由()0f x '<可得，π
π3π
2π2π,Z 242
k x k k +<+<+
∈，即π5π2π2π,Z 44k x k k +<<+∈，
所以()f x 的极大值点为π2π,Z 4
k k +∈；
(2)由()()()2
e 2cos 242x
f x x x a x x ≤⋅++-++，
可得()()2
e 22420x x a x x ⋅+-++≥，
当2x ≥-时，()()2
e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，
令()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，则()()()24e x
h x x a '=+-，
由()()()24e 0x
h x x a '=+-=，可得2x =-或ln x a =，
因为2x ≥-，240x +≥，
所以当ln 2a ≤-，即20e a -<≤时，()0h x '≥，()h x 在[)2,-+∞上单调递增， ∴()()2
222e h x h a -≥-=-，则222e 0a --≥，即2e a -≥，
所以2e -=a ；
当ln 2>-a ，即2e a ->时，当()2,ln x a ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减， 当()ln ,x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，
所以()()()()2
ln 2ln 2ln 4ln 2h x h a a a a a a ≥=+-++，
则()()2
2ln 2ln 4ln 20a a a a a +-++≥，
∴2ln 0a -≤≤，即2e 1a -≤≤， 所以2e 1a -<≤；
综上，a 的取值范围为2
e ,1-⎡⎤⎣⎦.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则
（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。