6.1菱形的性质和判定
6.1菱形的性质与判定(2)
交AB于E，DF∥BA交AC于点F，连接AD，要使四
边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A.AD⊥BC B.∠BAD＝∠CAD
A
C.BD=DC D.AD=BC
E
F
B
D
C
课本第7页 第2题
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.
证明：
∵EF是AC的垂直平分线 ∴AE=CE,AO=CO
∵AD∥BC
1
∴∠1=∠2
在△AOE和△COF中
4
∠1=∠2
AO=CO ∠3=∠4 ∴△AOE≌△COF（ASA） ∴AE=CF
又∵AE∥CF ∴四边形AFCE是平行四边形 又∵AE=CE
∴四边形AFCE是菱形
五、对应训练 1.下列四边形不是菱形的是（ ）
A
D
B
C
归纳
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
菱形常用的判定方法：
① 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱 形
+一组邻边相等 =
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③ 有四条边相等的四边形是菱形。
有一组邻边相等的平行四边形 叫菱形．
平行四边形
一组邻边相等
菱形
想一想
• 一个四边形是平行四边形，那么添加什 么条件能使它成为一个菱形？
定义法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
D
AB AD ABCD是菱形.
B
C
还可以添加什么条件使它成为一个菱形？
鲁教版(五四制)数学八年级下册6.1.3菱形的性质与判定教学设计
5.小组合作：布置一道小组合作的探究题，要求学生通过讨论、分析，共同探究以下问题：如何利用菱形的性质设计一幅美丽的图案？并在下一节课上分享探究成果，培养学生的团队协作能力和创造力。
此外，学生在之前的学习中，已经积累了观察、猜想、验证等探究方法的经验，具备了一定的自主学习能力。但在团队合作、交流讨论方面，部分学生仍显得不够积极主动。因此，在本章节的教学中，教师应注重引导学生积极参与课堂活动，培养他们的团队协作能力和表达能力。
此外，考虑到学生的年龄特点，他们对新奇、有趣的事物充满好奇心，教师可以通过设置有趣的情境和问题，激发学生的学习兴趣，使他们更加投入到菱形性质与判定的学习中。总之，教师要充分了解学生的实际情况，有的放矢地进行教学设计，使学生在轻松愉快的氛围中掌握本章节的知识。
（3）邻边法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
4.例题讲解：教师通过例题，讲解如何运用菱形的性质和判定方法解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：学生分小组，讨论以下问题：
（1）菱形与矩形、正方形有什么关系？
（2）如何利用菱形的性质解决实际问题？
（3）如何判定一个四边形是菱形？
2.小组代表分享：各小组代表分享讨论成果，其他同学补充。
（2）探究性质：组织学生观察、猜想、验证菱形的性质，总结出菱形的特征；
（3）学习判定：引导学生运用已知的几何知识，探讨菱形的判定方法，并举例说明；
（4）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生独立或合作完成，巩固所学知识；
（5）拓展应用：将菱形的性质和判定方法运用到实际问题中，提高学生解决问题的能力；
菱形的性质是什么有哪些判定定理
菱形的性质是什么有哪些判定定理菱形是一种具有特殊性质的几何图形。
它是由四条相等且对角线相交的直线组成的四边形。
菱形在数学和几何学中具有一些重要的性质和判定定理，下面我们将详细介绍。
首先，菱形的性质之一是它的对角线相等。
菱形的两条对角线是相等的，即两对角线的长度相同。
这意味着如果我们知道菱形的一个对角线的长度，就可以确定另一条对角线的长度。
第二，菱形的对角线互相垂直。
这意味着菱形的对角线之间的夹角是直角。
所以，如果我们找到了一个菱形的两条对角线，我们可以通过检查它们是否互相垂直来确定它是否是一个菱形。
第三，菱形的所有边都是相等的。
这意味着菱形的四条边的长度相等。
如果我们知道一个边的长度，我们就可以确定所有边的长度。
第四，菱形的内角和为360度。
菱形的每个内角都是锐角，而且四个内角的和为360度。
这与其他四边形如矩形或平行四边形不同，它们的内角和为360度。
第五，菱形的一个重要定理是角平分线定理。
这个定理指出，菱形的对角线互相平分了它们所夹的两个角。
这意味着如果我们知道菱形的一条对角线，我们可以通过它来确定菱形的两个内角。
第六，菱形的高与宽相等。
菱形的高是指连接菱形两边中心的线段，即菱形的垂直中线。
菱形的宽是从一个顶点到另一个顶点的线段。
由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的高与宽相等。
第七，菱形的外接圆定理。
这个定理指出，菱形的四个顶点都在一个圆上。
这个圆被称为菱形的外接圆。
由于菱形的对角线相等，所以菱形的外接圆的半径等于对角线的一半。
最后，菱形的判定定理有两个常用的定理。
首先是菱形的判定定理一：如果一个四边形的四个角都是直角，则它是一个菱形。
其次是菱形的判定定理二：如果一个四边形的两对对边相等且相交于直角，则它是一个菱形。
总结起来，菱形的性质包括对角线相等、对角线互相垂直、边相等、内角和为360度、角平分线定理、高与宽相等、外接圆定理等。
菱形的判定定理让我们能够通过已知条件来判断一个四边形是否为菱形。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
菱形的判定及知识点归纳
菱形的判定及知识点归纳
菱形怎么判定，定理是什么，相关知识点考生又知晓吗？尚不了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“菱形的判定及知识点归纳”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
菱形的判定
① 四条边都相等的四边形是菱形。
② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。
③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、菱形的判定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab(a、b 为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。
希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。
初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
菱形的定义和性质
菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定;会用菱形的性质和判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形;它具有平行四边形的所有性质;•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补;对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形;也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高;等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直;其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理..菱形是在平行四边形的前提下定义的;首先她是平行四边形;但它是特殊的平行四边形;特殊之处就是“有一组邻边相等”;因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法..菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续;又是以后要学习的正方形的基重、难点知识点睛中考要求础..难点是菱形性质的灵活应用..由于菱形是特殊的平行四边形;所以它不但具有平行四边形的性质;同时还具有自己独特的性质..如果得到一个平行四边形是菱形;就可以得到许多关于边、角、对角线的条件;在实际解题中;应该应用哪些条件;怎样应用这些条件;常常让许多学生手足无措;教师在教学过程 中应给予足够重视..板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上;一个菱形绕它的中心旋转;使它和原来的菱形重合;那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2;一活动菱形衣架中;菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==;则1∠= 度．图21CBA⑵如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=︒;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD相交于点O ;H 为AD 边中点;菱形ABCD 的周长为24;则OH 的长等于 ．E F DBC A例题精讲图1HO DC B【巩固】 ☆如图;已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ;则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ;两邻角度数之比为2:1;则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2;在菱形ABCD 中;6AC =;8BD =;则菱形的边长为A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3;在菱形ABCD 中;110A ∠=︒;E 、F 分别是边AB 和BC 的中点;EP CD ⊥于点P ;则FPC ∠=A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图;把一个长方形的纸片对折两次;然后剪下一个角;为了得到一个锐角为60︒的菱形;剪口与折痕所成的角α的度数应为A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 的中点;且AE BC ⊥;AF CD ⊥;那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图;将一个长为10cm ;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA的大小是【例8】 如图;菱形花坛ABCD 的周长为20m ;60ABC ∠=︒;•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD;求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;若AE AF EF AB ===;求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图;如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形;需要添加一个条件;那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图;在ABC ∆中;BD 平分ABC ∠;BD 的中垂线交AB 于点E ;交BC 于点F ;求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图;平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图;在梯形纸片ABCD 中;//AD BC ;AD CD >;将纸片沿过点D 的直线折叠;使点C 落在AD 上的点C 处;折痕DE 交BC 于点E ;连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图;在平行四边形ABCD 中;AE 是BC 边上的高;将ABE ∆沿BC 方向平移;使点E 与点C重合;得GFC ∆．若60B ∠=︒;当AB 与BC 满足什么数量关系时;四边形ABFG 是菱形 证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图;在ABC ∆中;AB AC =;M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ;ME AC ⊥于E ;DF AC ⊥于F ;EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图;ABC ∆中;90ACB ∠=︒;AD 是BAC ∠的平分线;交BC 于D ;CH 是AB 边上的高;交AD 于F ;DE AB ⊥于E ;求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图;M 是矩形ABCD 内的任意一点;将MAB ∆沿AD 方向平移;使AB 与DC 重合;点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，;试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直;且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时;在上述变换下;四边形'MDM C 是菱形 为什么M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中;AB AC =;AD 平分BAC ∠交BC 于D 点;在线段AD 上任取一点P A 点除外;过P 点作EF AB ∥;分别交AC 、BC 于E 、F 点;作PM AC ∥;交AB 于M 点;连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时;菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ;一条对角线长为10cm ;则其面积为 ．2.如图;在菱形ABCD 中;4AB a E =，在BC 上;2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上;则PE PC +的最小值为EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒;一条对角线的长为23;则另一条对角线的长为________．4.已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且60B EAF ∠=∠=︒;18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图;在ABC ∆中;AB AC =;D 是BC 的中点;连结AD ;在AD 的延长线上取一点E ;连结BE ;CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时;四边形ABEC 是菱形 并说明理由．课后练习EDCB A6.如图;ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类 直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时;四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图;已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线;AM BE ⊥于M ;AN CF ⊥于N ;求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
菱形性质和判定
菱形性质和判定
菱形是一种多边形，其特征是其连线两两相交，四个顶点均有四条边，形状非常规整，因而极受欢迎。
菱形性质及其判定是用于识别多边形类型的最常用工具，在几何中也有很
多应用。
菱形的特征有：
1．四边形。
菱形是四边形，具有四条边，每条边两两之间都相交。
2．正方形。
每条边都是相等的，也就是说四条边的长度都是相等的，也就是菱形是
正方形的一种。
3．对称。
由于菱形是正方形，所以它具有对称特性，即对称轴对称，对称中心对称。
4．角相等。
四条边不仅长度相等，而且角度也是一样的，都是90°。
因此，通过菱形的特征来判定它是菱形，只需满足以上四个条件即可完成菱形判定：
2．正方形：检查每个边的长度，如果都是相等的，即为正方形。
3．对称：检查菱形是否具有对称特性，垂直方向上两条边完全相等，水平方向上也
完全相等。
综上所述，菱形性质主要是指具有以上四类属性：四边形、正方形、对称性和角相等，如果多边形满足这四个条件，则可以判定其是菱形。
菱形定义、性质及判定
菱形
1.
2.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，
还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且四边相等
②角的性质：邻角互补，对角相等
③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分组对角
④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形。
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半。
【点评】:只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.
3.
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③ 四边相等的四边形是菱形。
鲁教版(五四制)数学八年级下册6.1菱形的性质与判定说课稿
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
鲁教版（五四制）数学八年级下册6.1菱形的性质与判定说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自鲁教版（五四制）数学八年级下册6.1节，主题为“菱形的性质与判定”。在整个课程体系中，本节课起到了承上启下的作用。前面章节学习了平行四边形及其性质，为本节课菱形的学习奠定了基础；而后续章节将进一步研究特殊四边形，如矩形、正方形等。本节课的主要知识点包括：菱形的定义、性质、判定方法以及应用。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：通过展示美丽的菱形图案、实际生活中的菱形应用等，激发学生对菱形学习的兴趣；
2.操作实践：让学生动手画菱形，观察菱形的性质，增强学生的直观感受和动手能力；
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中碰撞出思维的火花，提高解决问题的能力；
4.竞赛游戏：设计菱形知识竞赛或游戏，激发学生的竞争意识和合作精神，提高课堂的活跃度和学生的参与度。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将以生活中的菱形为例进行导入。首先，我会向学生展示一些美丽的菱形图案，如珠宝、建筑、艺术作品等，让学生直观地感受到菱形的美。接着，我会提出问题：“你们在生活中还见过哪些菱形？它们有什么特别之处？”通过这个问题，引导学生思考菱形的特点和应用。此外，我还会让学生尝试用手指在空中比划出菱形，通过亲身体验，激发学生对菱形学习的兴趣。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。
菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。
菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。
还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。
菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。
比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质菱形是一个非常基本的几何形状，它有着很多重要的性质。
在本文中，我们将学习如何判定一个四边形是否为菱形，并探讨菱形的一些重要性质。
判定四边形是否为菱形在几何中，一个四边形是菱形的充分必要条件是它的四条边长度相等。
也就是说，如果一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d，那么这个四边形是菱形当且仅当a=b=c=d。
除此之外，我们还可以通过判定四边形的对角线是否相等来确定一个四边形是否为菱形。
具体来说，如果一个四边形的对角线长度分别为e,f，那么这个四边形是菱形当且仅当e=f。
为了方便起见，在接下来的部分中，我们将使用第二种方法来判定四边形是否为菱形。
菱形的性质性质1：菱形的两条对角线相互垂直一个菱形的两条对角线相互垂直。
我们可以通过使用勾股定理来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据勾股定理，我们有：$$ \\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\\\ BD^2 &= AB^2 + AD^2\\end{aligned} $$注意到菱形的两个对角线相等，因此有AC=BD。
将它代入上面的式子中，得到：AB2+BC2=AB2+AD2化简上式可得：BC2=AD2这说明了菱形的对角线是相互垂直的。
性质2：菱形的对角线平分内角一个菱形的两条对角线平分它内部的角。
我们可以使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明这一点。
具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，交于点O，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。
根据性质1，菱形的对角线相互垂直，因此角$\\angle AOB$是一个直角。
又因为线段AC和BD是直线，所以它们平分了角$\\angle AOB$。
同理，它们也平分了菱形内部的所有角。
性质3：菱形的四个角相等一个菱形的四个角相等。
这可以通过使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明。
菱形定义、性质及判定
菱形定义、性质及判定
菱形
1.
2.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，
还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且四边相等
②角的性质：邻角互补，对角相等
③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分组对角
④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形。
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半。
【点评】:只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.
3.
① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；
② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③ 四边相等的四边形是菱形。
菱形的性质及知识点归纳
菱形的性质及知识点归纳1500字菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
下面是关于菱形的性质及相关知识点的归纳。
1. 边长性质：菱形的四条边边长相等。
2. 角度性质：菱形的内角都是直角，即90度。
3. 对角线性质：菱形的两条对角线相等且互相垂直。
4. 对称性质：菱形具有对称性，可以通过对角线进行对称。
5. 直角菱形：若菱形的一对对角线垂直，那么该菱形就是直角菱形。
6. 正菱形：若菱形的四个内角均为直角，则该菱形称为正菱形。
7. 等边菱形：菱形的四条边均相等，则称之为等边菱形。
8. 面积性质：菱形的面积可以通过对角线的乘积除以2来计算。
设菱形的对角线长为d1和d2，则菱形的面积S = (d1 × d2) / 2。
9. 周长性质：菱形的周长可以通过边长的四倍来计算。
设菱形的边长为a，则菱形的周长L = 4a。
10. 利用菱形的角平分线性质：菱形的角平分线上的长度都相等，并且菱形的左右两对角线划分出的小菱形相似，并且边长与菱形相比为1/2。
11. 利用菱形的内切圆性质：菱形的四条边都切内切圆的话，内切圆的直径等于菱形的对角线长度。
12. 利用菱形的封闭性质：菱形的内部由四个直角三角形组成。
可以通过计算这四个直角三角形的面积来计算菱形的面积。
13. 特殊菱形性质：如果一个四边形的对角线相等并且互相垂直，那么它就是一个菱形。
14. 利用菱形的边长性质：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。
15. 利用菱形的角度性质：如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它就是一个菱形。
16. 利用菱形的对称性质：如果一个四边形可以通过对角线进行对称，那么它就是一个菱形。
菱形是几何学中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
在解决几何问题和计算菱形的面积和周长时，以上这些性质和知识点都非常有用。
高中几何知识解析菱形的性质与判定
高中几何知识解析菱形的性质与判定菱形是几何学中的一种特殊四边形，它具有独特的性质和判定条件。
本文将从菱形的定义、性质和判定方法三个方面对菱形进行详细的解析。
一、菱形的定义菱形是指具有以下两个特点的四边形：1. 所有边长相等。
即菱形的四条边的长度相等，记作AB = BC =CD = DA。
2. 对角线互相垂直。
即菱形的对角线AC和BD相交于点O，且AO ⊥ BO，CO ⊥ DO。
根据以上定义，菱形可以看作是一个既是矩形又是等边三角形的四边形。
二、菱形的性质1. 对角线互相平分。
菱形的对角线AC和BD互相平分，即AO = OC，BO = OD。
2. 对角线长度相等。
菱形的对角线AC和BD的长度相等，即AC = BD。
3. 内角和性质。
菱形的内角和为360度，即∠ABC + ∠BCD +∠CDA + ∠DAB = 360°。
4. 对角线角性质。
菱形的任一内角与其对角线之间的夹角均为直角，即∠AOC = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°。
三、菱形的判定方法根据菱形的定义和性质，我们可以通过以下几种方法来判定一个四边形是否为菱形：1. 两组对边相等法。
若一个四边形的两组对边相等，则它是一个菱形。
即若AB = CD，并且BC = DA，则四边形ABCD是一个菱形。
2. 对角线相等法。
若一个四边形的对角线相等，则它是一个菱形。
即若AC = BD，则四边形ABCD是一个菱形。
3. 边长和角度法。
若一个四边形的边长相等，并且有一个内角为直角，则它是一个菱形。
即若AB = BC = CD = DA，并且∠ABC = 90°，则四边形ABCD是一个菱形。
以上是判定一个四边形是否为菱形的常用方法。
当满足其中一种判定条件时，可以确信该四边形是一个菱形。
综上所述，菱形是一种特殊的四边形，它具有所有边长相等和对角线互相垂直的性质。
根据菱形的定义和性质，我们可以使用两组对边相等法、对角线相等法和边长和角度法来进行菱形的判定。
6.1菱形的性质与判定3(3.13)
(2)菱形ABCD的面积.
图3
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,即∠AED=90°，
DE= BD×10=5（cm）
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
效果：学生对于第一个问题解决比较顺畅，书写较例3规范多了，但对于第二问仍然有疑问，教学时注意引导。
3.方法启迪：
同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？
目的：学生完成典型例题后及时总结经验是帮助学生形成解题思路的好办法，教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个好的学习机会。
教学设计
3.53月13日
课题
6.1菱形的性质与判定3
课时
1
课型
新授
教学
目标
(一)知识目标：
在观察和分析过程中探究菱形的常用的判别条件。巩固菱形的性质与判定。
(二)能力训练目标：
能运用菱形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
(三)情感与价值观目标：
1.在操作活动过程中，加深师生的情感.培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣.
4.已知：如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，
求证：(1)△ADE≌CDF；(2)∠DEF=∠DFE.
图9
知者加速2：已知：如图10，在Rt△ABC=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
2.在学习过程中，来体会菱形的图形美和内在美.
6.1菱形的性质与判定(2)预习案
6.1菱形的性质与判定（2）班级：________ 姓名：________【学习目标】1、理解并掌握菱形的定义及两个判定定理。
2、掌握菱形的定义及两个判定定理并能解决问题。
预习案1、菱形的定义：2、菱形的性质边：___________________________________________________角：___________________________________________________对角线：_______________________________________________对称性：_______________________________________________【自学提示】一、自学书本5-6页回答下列问题：1、如图，四边形是菱形吗？为什么？2、用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？3、李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？4、已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。
AC⊥BD，求证：ABCD是菱形DCBA【问题积累】菱形的判断方法1、 是菱形 2、 是菱形3、 是菱形【共同释疑】例2 已知：如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O 。
AB= ,OA=2，OB=1 ,求证：ABCD 是菱形达标案1.判断题，对的画“√”错的画“×”(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）(4).对角线相等的四边形是菱形（ ）2、如图，ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ，添加一个条件，能使ABCD 成为菱形．你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）3、所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 ．4、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．O D C B A 5。
6.1菱形的性质与判断(3)
东平县初中数学
课堂巩固
4.已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F 分别是BC、CD上的一点，∠B=∠EAF＝ 60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．
5：菱形的一个内角为60°，一条对角线的 长是2 cm，求另一条对角线的长。
东平县初中数学
当堂达标
1、已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC， 点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的 中点. 求证：四边形EGFH是菱形
东平县初中数学
课堂巩固
1. 菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长 为 ，周长为 .
2. 已知菱形两邻角的比是1：2，周长为 40cm，则较短对角线的长是 .
3. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱
形的邻角度数分别为 ( )
A. 45°，135°
B. 60°，120°
C. 90°，90°
D. 30°，150°
东平县初中数学
6、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同一 侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE， △ACF．回答下列问题，并说明理由． （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？
东平县初中数学
4、四个点A,B,C,D在同一平面内,从① AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;
⑤AD∥BC,这五个条件中任选三个,能使四边 形ABCD是菱形的选法有( )
A. 1种
B. 2种
C. 3种
D. 4种
东平县初中数学
5、如图,已知平行四边形ABCD,AC、BD相交 于点E,添加一个条件使平行四边形为菱形, 添加的条件为___.(只写出符合要求的一个 即可)
八年级下册第六章 特殊平行四边形
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.1菱形的性质与判定
知识点
概念：有一组邻边相等的平行四边形
性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质.
（2）四条边都相等.
（3）对角线互相垂直.
（4）是轴对称图形，它有两条对称轴
判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（3）四条边都相等的四边形是菱形.
拓展延伸：（1）菱形的每条对角巷都平分一组对角.
（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半。
（3）任何对角线互相垂直的四边形的面积都可以用对角线乘积的一半来计算. 基础闯关
菱形的性质
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2.在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，则下列说法中正确的有（）
①AB//CD；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AC，BD互相垂直；⑤对角线AC，BD所在的直线
是菱形的两条对称轴.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．
A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm
4.菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）．
1
A．2 B．3C．1 D．
2
5.菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（）
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.23 cm
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为
H，则点0到边AD的距离为_______．
（6题图）（7题图）
7.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0），则C、D两点的坐标分别
是.
8.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.
9.如图，已知E为菱形ABCD的边AD的中点，EM⊥AC交CB的延长线于点F.
（1）试说明M为AB的中点．（2）若FB=2，求菱形ABCD的周长.
10.如图，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°.
求∠CEF的度数．
菱形的判定
11.下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.一组邻边相等
D.对角线互相垂直且平分
12.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是（）
A.AB=BC
B.AC=BC
C.∠B=600
D.∠ACB=600
13.AD 是ABC 的角平分线，DE//AC ，DF//AB 。
求证：四边形AEDF 是菱形。
14.□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？
15.如图，ABC 中，AB=AC ，AD 是A 的平分线，E 为AD 延长线上一点，CF//BE 且交AD 于F ，连接BF 、CE 。
求证：四边形BECF 是菱形。
16.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分别是△ABC 两个外角的平分线．
（1）求证：AC=AD ；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．
菱形的面积问题
17.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）
A.43
B.83
C.103
D.123
18.若菱形两条对角线的比为3:4，且周长为20cm，则它的面积是.
19.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积
为cm2．
（19题图）（20题图）（21题图）
20.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5 ，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（）
A.22
B.24
C.48
D.44
21.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6 和8时，阴影部分的面积为.
22.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.
（22题图）（23题图）（24题图）
技能提升
23.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
24.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=800，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于（）
A.800
B.700
C.650
D.600
25. 如图所示，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，且∠A=∠EDF=600，有下列结论：①AE=BE ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF ，其中结论正确的个数是（ ）
A.3
B.4
C.1
D.2
26.一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和52，则它的面积 为.
27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（-3,0），（2,0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是.
（27题图） （28题图） （29题图）
28. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是，最大值是。
29. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠B=120°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 _________ ．
30.将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．
1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；
2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论
A D
F D ′
31.如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。
（1）求证：APD EBC ∠=∠;(2)若60DAB ∠=︒,试问：P 点运动到什么位置时，ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14
？为什么？
32.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、 BC 、 CD 、
DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．
33.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F. 求证：四边形AEFG 是菱形.
34.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE=DF ．连接BF 与DE 相
交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．
求证：（1）求∠BGD 的度数。
（2） 求证：DG+BG=CG
35.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC边相交于点E，∠ABC的平分线BF 与AD边相交于点F，AE与BF相交于点O，试说明四边形ABEF是菱形.
36.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=600，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F.
（1）求证：△ADE≌△COF；
（2）若∠EOD=300，求CE的长.
37.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕
点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形
并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．。