2021秋高一数学人教A版必修第一册 第一课时周期性与奇偶性(课件)
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二、填空题 6.函数 f(x)是周期函数,10 是 f(x)的一个周期,且 f(2)= 2,则 f(22)=____2____.
解析 f(22)=f(22-20)=f(2)= 2.
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B.y=sin 2x
C.y=sin
x 2
D.y=|sin 2x|
解析 y=sin x2的周期为 T=21π=4π;y=sin 2x 的周期为 T=22π=π;y=sin x2的
2
周期为 T=2π;y=|sin 2x|的周期为 T=π2.
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y=cos32π-2x=-sin 2x 是奇函数,根据公式得其最小正周期 T=π.
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(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 π,
且当 x∈0,π2时,f(x)=sin x,则 f53π等于( D )
A.-12
B.21
C.-
3 2
D.
3 2
解析
f53π=f53π-π=f23π=f23π-π=f-π3=fπ3=sinπ3=
A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
B.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
解析 f(x)的定义域为R,且f(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=f(x), 所以f(x)是偶函数.
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4.函数f(x)=sin(2x)的最小正周期是___π_____.
解析 由f(x+π)=sin[2(x+π)]=sin(2x+2π)=sin(2x)=f(x)得f(x)的最小 正周期为π.
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(2)y=1-2cosπ2x,x∈R;(3)y=|sin x|,x∈R. 解 (2)∵1-2cosπ2(x+4)=1-2cosπ2x+2π=1-2cosπ2x, ∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x+4,函数 y=1-2cosπ2x,x∈R 的值才能 重复出现, ∴函数 y=1-2cosπ2x,x∈R 的周期是 4. (3)作图如下:
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(2)y=cos2x+π6. 解 ∵函数 y=cos2x+π6的最小正周期为 π,而函数 y=|cos2x+π6|的图象是将 函数 y=cos2x+π6的图象在 x 轴下方的部分对折到 x 轴上方,并且保留在 x 轴上 方图象而得到的,由此可知所求函数的最小正周期为 T=π2.
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题型二 三角函数的奇偶性
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题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
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【例3】 (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( D )
A.y=cos|2x|
B.y=|sin x|
C.y=sinπ2+2x
D.y=cos32π-2x
解析 y=cos|2x|是偶函数,y=|sin x|是偶函数,y=sinπ2+2x=cos 2x 是偶函数,
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4.定义在 R 上的函数 f(x)周期为 π,且是奇函数,fπ4=1,则 f34π的值为( B )
A.1
B.-1
C.0
D.2
解析 f34π=fπ-π4=f-π4=-fπ4=-1.
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2
课堂互动
题型剖析
题型一 三角函数的周期
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【例1】 求下列函数的周期: (1)y=2sin12x+π6,x∈R; 解 ∵2sin12(x+4π)+π6=2sin21x+π6+2π=2sin12x+π6, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+4π,
函数 y=2sin12x+π6,x∈R 的值才能重复出现, ∴函数 y=2sin12x+π6,x∈R 的周期是 4π.
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思维升华
当函数值的出现具有一定的周期性时,可以首先研究它在一个周期内的函数值 的变化情况,再给予推广求值.
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【训练3】 设f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=sin x+x,则1<x<2时, f(x)=____si_n_(_x_-__2_)+__x_-__2___. 解析 当1<x<2时,-2<-x<-1,则0<2-x<1, 因为当0<x<1时,f(x)=sin x+x, 所以f(2-x)=sin(2-x)+2-x. 因为f(x)是周期为2的奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=-f(2-x)=-sin(2-x)+x-2=sin(x-2)+x-2.
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时 周期性与奇偶性
课标要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x的周期. 3.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
素养要求
利用y=sin x,y=cos x的图象,探索y=sin x,y=cos x的周期性、奇 偶性,重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
2.判断函数的奇偶性,必须坚持“定义域优先”的原则,准确求函数定义域和将 式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称,再看 f(-x) 与 f(x)的关系,从而判断奇偶性.
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3
分层训练
素养提升
基础达标
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一、选择题
1.下列函数中,周期为2π的是( C )
A.y=sin
x 2
【例2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin-21x+π2; 解 显然 x∈R,f(x)=cos 12x, f(-x)=cos-12x=cos 12x=f(x), ∴f(x)是偶函数.
///////
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(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x); 解 由11-+ssiinn xx>>00,得-1<sin x<1.解得定义域为xx∈R且x≠kπ+π2,k∈Z. ∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x) ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
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【训练2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sin x|+cos x; (2)f(x)= 1-cos x+ cos x-1. 解 (1)函数的定义域为R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)由1-cos x≥0且cos x-1≥0,得cos x=1,从而x=2kπ,k∈Z, 此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
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2.(多选题)下列关于x的函数f(x)=sin(x+φ)的说法正确的是( BC)
A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数 B.存在φ,使f(x)是偶函数 C.存在φ,使f(x)是奇函数 D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数
解析 当 φ=0 时,f(x)=sin x 是奇函数,故 A 错误,C 正确;
函数 周期 最小正周期 奇偶性
y=sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
__2_π___ _奇__函__数___
y=cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π _____________ __偶__函__数__
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自主检验
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1.思考辨析,判断正误 (1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).( × ) 提示 周期函数的定义域一定为无限集,且无上下界. (2)函数f(x)=sin 2x是奇函数.( √ ) (3)函数 f(x)=sin2x+π2是偶函数.( √ ) (4)y=sin x与y=cos x既是中心对称图形又是轴对称图形.( √ )
3 2.
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【迁移1】 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果 如何?
解
f53π=f53π-π=f23π=f23π-π=f-π3=-fπ3=-sinπ3=-
3 2.
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【迁移 2】 若将例 3(2)题条件不变,求 f2 0320π+f2 0321π的值. 解 f2 0320π=f673π+π3=fπ3=sinπ3= 23, f2 0321π=f673π+23π=f23π=f-π3=fπ3=sinπ3= 23, 所以 f2 0320π+f2 0321π= 23+ 23= 3.
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5.设
f(x)是定义域为
R,最小正周期为32π的函数,若
f(x)=cos sin
x,-π2≤x≤0,则 x,0<x≤π,
f-154π的值等于( B )
A.1
2
B. 2
C.0D.-ຫໍສະໝຸດ 2 2解析f-154π=f32π×(-3)+34π=f34π=sin34π=
2 2.
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观察图象可知最小正周期为π.
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思维升华
求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解. (2)公式法,对形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A≠0, ω≠0)的函数,T=|2ωπ|. (3)观察法,即通过观察函数图象求其周期.
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【训练1】 求下列函数的最小正周期: (1)y=sin3x+π3; 解 ∵sin3x+23π+π3=sin3x+π3+2π=sin3x+π3. ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x+23π,函数 y=sin3x+π3,x∈R 的值才能 重复出现,∴函数 y=sin3x+π3,x∈R 的周期是23π.
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课堂小结
1.求函数的最小正周期的常用方法: (1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推 出使 f(x+T)=f(x)成立的 T. (2)图象法,即作出 y=f(x)的图象,观察图象可求出 T,如 y=|sin x|. (3)结论法,一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A,ω,φ 为常数,A≠0,ω>0, x∈R)的周期 T=2ωπ.
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2.(多选题)下列函数中是周期为2π的偶函数的是( BC)
A.y=sin x
B.y=cos x
C.y=sinx+π2
D.y=cosπ2+x
解析 由于 y=cosπ2+x=-sin x,所以 A,D 中的函数都是奇函数;y=sinx+π2 =cos x 符合题意,故选 BC.
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3.函数f(x)=|sin x|是( B )
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(3)f(x)=1+s1in+xs-incxos2
x .
解 ∵1+sin x≠0,∴sin x≠-1, ∴x∈R 且 x≠2kπ-π2,k∈Z. ∵定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数.
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思维升华
判断函数奇偶性的两个关键点 (1)看函数的定义域是否关于原点对称; (2)看f(-x)与f(x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
内
课前预习
容 索
课堂互动
引
分层训练
1
课前预习
知识探究
1.周期函数
条件
①对于函数f(x),存在一个_非__零___常数T(T>0) ②当x取定义域内的每一个值时,都有__f_(_x_+__T_)_=f(x)
结论 函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期
2.最小正周期 条件 如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正__数__ 结论 这个最小__正__数__叫做f(x)的最小正周期
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点睛
(1)周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期,则kT(k∈Z,k≠0) 也是函数f(x)的周期. (2)并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如f(x)=C(C为常数,x∈R), 所有的非零实数T都是它的周期,而最小的正数是不存在的,故常数函数 没有最小正周期.
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3.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
当φ=π2时,f(x)=cos x 是偶函数,D 错误,B 正确,故选 BC.
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3.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象可能是
( B)
解析 由f(-x)=f(x), 则f(x)是偶函数,图象关于y轴对称. 由f(x+2)=f(x),则f(x)的周期为2,故选B.