理论力学(I)第七版答案
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（4）研究 m ） 2
FN = (m+ m + m2 )g +α(−m r + m2r2 ) 1 11 （3） 研究 m ） 1
F 2 − m2 g = m2a2 = m2r2α T F 2 = m2 (g + r2α) T
3．动量矩守恒定律 ． 常矢量； 若 ∑MO(F(e) ) ≡ 0，则 LO =常矢量； 常量。 若 ∑Mz (F (e) ) ≡ 0，则 Lz =常量。
J。
6. 查表法 物体 的形 状 细直 杆
均质物体的转动惯量 简 图 转动惯量 惯性半 径
m 2 JzC = l 12 m Jz = l 2 3
体积
ρz =
C
l 2 3
l ρz = 3
薄壁 圆筒
Jz = mR2
ρz = R
2R π lh
圆柱
1 JZ = mR2 2 Jx = Jy =
ρz =
R 2
2
（2） 均质细直杆对一端的 ） ml2 转动惯量
3
（3） 均质细直杆对中心轴 ） ml2 的转动惯量
12
4．组合法 ． 例10：已知杆长为 质量为1 ，圆盘半径为 ： l m d 质量为 m 。 2 求： JO。
解： JO = JO杆 + JO盘
1 2 JO杆 = ml 3
1 d 2 d 2 JO盘 = m ( ) + m (l + ) 2 2 2 2 2 3 2 2 = m2 ( d + l + ld) 8 1 2 3 2 2 JO = ml + m2 ( d +l +ld) 1 3 8
J z = J zC + md2
例11-9：均质细直杆，已知 ：均质细直杆， 求：对过质心且垂直于杆的 解：对一端的 z 轴，有
1 2 Jz = ml 3
m, l 。
zC 轴的转动惯量。 轴的转动惯量。
则
J zC
l 2 m2 l = Jz − m ) = ( 2 12
要求记住三个转动惯量 （1） 均质圆盘对盘心轴的 ） mR2 转动惯量
（2）由质心运动定理 ）
& ∑m & i −m a1 + m2a2 α(−m r + m2r2 ) iy 1 11 & aCy = & C = y = = ∑m m+ m + m2 m+ m + m2 i 1 1
FN −(m+ m + m2 )g = (m+ m + m2 )aCy 1 1
m g − F1 = m a1 = m rα 1 T 1 11 F 1 = m (g − rα) T 1 1
2 ρz = R 5
3 3 πR 4
圆锥 体
3 JZ = mr2 10 Jx = Jy = 3 m(4r2 +l 2) 80
ρz =
3 r 10 3 (4r2 +l2 ) 80
ρx = ρy
=
π
3
r2l
圆环
3 2 ρz = R2 + 3 r2 JZ = m(R + r ) 4 4
2
2π 2r2R
椭圆 形薄 板
LO = MO(mvC ) ，Lz = Mz (mvC )
（2） 刚体绕定轴转动 ）
Lz = ∑Mz (mi vi ) = ∑mi vi ri
= ∑miωri ri = ω ∑m r
转动惯量
2 i i
J z = ∑m r Lz = Jzω
2 i i
§11-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理 ． 为定点， 设O为定点，有 为定点
d d MO(mv) = (r ×mv) dt dt dr d = ×mv + r × (mv) dt dt 其中： 其中： d (m ) = F v dt dr = v （O为定点） 为定点） 为定点 dt
v ×m = 0 v
因此
d MO(mv) = MO(F) dt
称为质点的动量矩定理： 称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对 质点的动量矩定理 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 投影式： 投影式： d Mx (mv) = Mx (F) dt d My (mv) = My (F) dt
求：剪断绳后，θ 角时的 ω。 剪断绳后，
例11-4：两小球质量皆为 m 初始角速度 ω0。 ： ，
解： θ = 0 时，
Lz1 = 2maω0a = 2ma2ω0 θ ≠ 0 时， 2 Lz2 = 2m(a + l sin θ) ω
由
Lz1 = Lz2 ，得
a2ω0 ω= (a +l sin θ)2
dL O = ∑MO(F(e) ) i dt 称为质点系的动量矩定理 质点系对某定点O 质点系的动量矩定理： 称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点
得 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的 的动量矩对时间的导数， 外力对于同一点的矩的矢量和。 外力对于同一点的矩的矢量和。
投影式： 投影式：
d Lx = ∑Mx (F(e) ) i dt
∑mr′ = 0 r′ =
i i C
m
）
有 LC = ∑ri′×mvir i
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或 质点系相对质心的动量矩， 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。 对任一点O的动量矩： 对任一点 的动量矩： 的动量矩
例11-7：已知 JO,ω0, FN , R ，动滑动摩擦系数 f ， ： 求制动所需时间 t 。
解： J dω = FR = fF R o N dt
∫ ω J dω = ∫
− o
o
0
t
0
fF R t N d
Joωo t= fFN R
§11-4 刚体对轴的转动惯量
J z = ∑m r
1 i− n 2 i i
单位： 单位：kg·m2 1. 简单形状物体的转动惯量计算 1） （1）均质细直杆对一端的转动惯量
Jz = ∫ ρl x dx =
2 0 l
ρll3
3
由 m = ρl l ，得
1 2 JLeabharlann = ml 3（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量 ）
J z = ∑mi R2 = R2 ∑mi = mR2
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量 ）
2 2 证明： 证明：JzC = ∑mi (x1 + y1 )
Jz = ∑mi r2 = ∑mi (x2 + y2)
2 = ∑m[x1 +( y1 + d)2 ] i
2 = ∑mi (x1 + y1 ) + 2d ∑mi y1 + d 2 ∑mi 2
因为
∑mi y1 yC = =0 ∑mi
有 ∑mi y1 = 0 ，得
m = 2π ri dri ⋅ ρA i
m 式中： 式中：ρA = 2 πR
R4 JO = ∫ (2π rρAdr ⋅ r ) = 2π ρA 0 4 1 2 或 JO = mR 2
R 2
2. 回转半径（惯性半径） 回转半径（惯性半径）
Jz ρz = m
或
2 Jz = mρz
3．平行轴定理 ． J z = J zC + md2 d 轴平行的轴， 式中 zC 轴为过质心且与 z 轴平行的轴， 为 z 轴之间的距离。 与 zC 轴之间的距离。 即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 刚体对于任一轴的转动惯量， 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量， 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩 111．质点的动量矩 ． 对点O的动量矩 对点 的动量矩
MO(mv) = r ×mv
对 z 轴的动量矩 Mz (mv) 等于 [m ]xy 对点O的矩。 v 对点 的矩。 的矩
Mz (mv)是代数量，从 是代数量，
z 轴正向看，逆时针为正，顺 轴正向看，逆时针为正，
d Mz (mv) = Mz (F) dt
2. 质点系的动量矩定理
d MO(mvi ) = MO(F(i) ) + MO(F(e) ) i i i dt d ∑ MO(mivi ) = ∑MO(F(i) ) + ∑MO(F(e) ) i i dt
由于 ∑MO(F (i) ) = 0 i
d LO d d ∑ MO(mivi ) = ∑MO(mivi ) = dt dt dt
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
F L 主动力： 主动力： 1, F2 ,L , Fn
约束力：FN1 , FN2
d (Jzω) = ∑Mz (F ) + ∑Mz (FNi ) i dt = ∑Mz (F ) i
dω 即： z J = ∑Mz (F ) i dt
或 Jzα = ∑Mz (F)
d2ϕ 或 Jz 2 = ∑Mz (F) dt
abc
矩形 薄板
abh
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩 ．
LC = ∑MC (mvi ) = ∑r′×mvi i i i
由于 vi = vC +vir
得 LC = ∑ri′×mivC +∑ri′×mivir
其中 ∑ri′×mivC = (∑mivi′)×vC = 0 （因
O
( MOe) = M − mgsin θ ⋅ R
d [Jω + mvR = M −mgsin θ ⋅ R ] dt
dv v 由 ω= ， =a ， 得 dt R
M − mgR2 sin θ R a= 2 J + mR
例11-3：已知 m JO， 1 m，1，2 ，不计摩擦。 ： ， m 2 r r 不计摩擦。 ， 求（1） α ） （2）O处约束力 F ） 处约束力 N （3）绳索张力 F ， T ） T F
ρx = ρy
πR2l
m (3R2 +l2 ) = 1 (3R2 +l 2 ) 12 12
空心 圆柱
m 2 2 ρ = 1 (R2 + r2) Jz = (R + r ) z 2 2
πl(R2 −r2)
薄壁 空心 球
2 Jz = mR2 3
2 ρz = R 3
3 πRh 2
实心 球
2 JZ = mR2 5
JZ =
m 2 2 (a +b ) ρz = 1 a2 +b2 4 2 m a ρx = Jy = a2 2 4 b m ρy = Jy = b2 2 4
πabh
长方 体
m 2 2 ρz = 1 (a2 +b2 ) JZ = (a +b ) 12 12 m 2 2 ρx = 1 (a2 +c2) Jy = (a +c ) 12 12 1 2 2 (b +c ) m 2 2 ρy = Jy = (b +c ) 12 12 m 2 2 (a +b ) ρ = 1 (a2 +b2) z 12 12 m 2 ρx = 0.289a Jy = a 12 ρy = 0.289b m Jy = b2 12 JZ =
2 ρπ l(R2 − R2 ) = m ，得 由 1
1 2 J z = m(R2 + R2 ) 1 2
5．实验法 ． 轴的转动惯量。 例：求对 O 轴的转动惯量。 作微幅摆动。 解： 将曲柄悬挂在轴 O 上，作微幅摆动。 由
T = 2π J mgl
其中 m,l已知， 可测得，从而求得 已知， 可测得， T
m 例11-11：已知： , R , R2 ， 求 Jz。 ：已知： 1
解：Jz = J1 − J2
1 1 2 2 = m R − m2 R2 1 1 2 2
2 其中 m = ρπR2l m2 = ρπ R2l 1 1
1 4 Jz = ρπ l(R4 − R2 ) 1 2 1 2 2 = ρπ l(R2 − R2 )(R2 + R2 ) 1 1 2
d Ly dt dt = ∑My (F(e) ) i
d Lz (e) = ∑Mz (F ) i dt
内力不能改变质点系的动量矩。 内力不能改变质点系的动量矩。
已知： 例11-1 已知： , J, M,θ, 小车 m 不计摩擦。 ，不计摩擦。 R 求小车的加速度 a。 解： = Jω + mv R L
时针为负。 时针为负。
[MO (mv)]z = Mz (mv)
单位： 单位：kg·m2/s 2．质点系的动量矩 ． 对点的动量矩
LO = ∑MO(mvi ) i
n
对轴的动量矩
i=1
Lz = ∑Mz (mi vi )
i=1
n
[LO]z = Lz
即
LO = Lxi + Ly j + Lzk （1） 刚体平移。可将全部质量集中于质心， ） 刚体平移。可将全部质量集中于质心， 作为一个质点来计算。 作为一个质点来计算。
1 2
解： 1） L = JOω + mv r + m v2r （ ） O 1 11 2 2
=ω(JO + m r + m r )
2 11 2 2 2
∑MO(F ) = (m r − m2r2 )g 11
(e)
dLO = ∑MO(F(e) ) ，得 由 dt dω (m r −m2r2 )g 11 α= = dt JO + m r2 + m2r22 11
FN = (m+ m + m2 )g +α(−m r + m2r2 ) 1 11 （3） 研究 m ） 1
F 2 − m2 g = m2a2 = m2r2α T F 2 = m2 (g + r2α) T
3．动量矩守恒定律 ． 常矢量； 若 ∑MO(F(e) ) ≡ 0，则 LO =常矢量； 常量。 若 ∑Mz (F (e) ) ≡ 0，则 Lz =常量。
J。
6. 查表法 物体 的形 状 细直 杆
均质物体的转动惯量 简 图 转动惯量 惯性半 径
m 2 JzC = l 12 m Jz = l 2 3
体积
ρz =
C
l 2 3
l ρz = 3
薄壁 圆筒
Jz = mR2
ρz = R
2R π lh
圆柱
1 JZ = mR2 2 Jx = Jy =
ρz =
R 2
2
（2） 均质细直杆对一端的 ） ml2 转动惯量
3
（3） 均质细直杆对中心轴 ） ml2 的转动惯量
12
4．组合法 ． 例10：已知杆长为 质量为1 ，圆盘半径为 ： l m d 质量为 m 。 2 求： JO。
解： JO = JO杆 + JO盘
1 2 JO杆 = ml 3
1 d 2 d 2 JO盘 = m ( ) + m (l + ) 2 2 2 2 2 3 2 2 = m2 ( d + l + ld) 8 1 2 3 2 2 JO = ml + m2 ( d +l +ld) 1 3 8
J z = J zC + md2
例11-9：均质细直杆，已知 ：均质细直杆， 求：对过质心且垂直于杆的 解：对一端的 z 轴，有
1 2 Jz = ml 3
m, l 。
zC 轴的转动惯量。 轴的转动惯量。
则
J zC
l 2 m2 l = Jz − m ) = ( 2 12
要求记住三个转动惯量 （1） 均质圆盘对盘心轴的 ） mR2 转动惯量
（2）由质心运动定理 ）
& ∑m & i −m a1 + m2a2 α(−m r + m2r2 ) iy 1 11 & aCy = & C = y = = ∑m m+ m + m2 m+ m + m2 i 1 1
FN −(m+ m + m2 )g = (m+ m + m2 )aCy 1 1
m g − F1 = m a1 = m rα 1 T 1 11 F 1 = m (g − rα) T 1 1
2 ρz = R 5
3 3 πR 4
圆锥 体
3 JZ = mr2 10 Jx = Jy = 3 m(4r2 +l 2) 80
ρz =
3 r 10 3 (4r2 +l2 ) 80
ρx = ρy
=
π
3
r2l
圆环
3 2 ρz = R2 + 3 r2 JZ = m(R + r ) 4 4
2
2π 2r2R
椭圆 形薄 板
LO = MO(mvC ) ，Lz = Mz (mvC )
（2） 刚体绕定轴转动 ）
Lz = ∑Mz (mi vi ) = ∑mi vi ri
= ∑miωri ri = ω ∑m r
转动惯量
2 i i
J z = ∑m r Lz = Jzω
2 i i
§11-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理 ． 为定点， 设O为定点，有 为定点
d d MO(mv) = (r ×mv) dt dt dr d = ×mv + r × (mv) dt dt 其中： 其中： d (m ) = F v dt dr = v （O为定点） 为定点） 为定点 dt
v ×m = 0 v
因此
d MO(mv) = MO(F) dt
称为质点的动量矩定理： 称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对 质点的动量矩定理 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 投影式： 投影式： d Mx (mv) = Mx (F) dt d My (mv) = My (F) dt
求：剪断绳后，θ 角时的 ω。 剪断绳后，
例11-4：两小球质量皆为 m 初始角速度 ω0。 ： ，
解： θ = 0 时，
Lz1 = 2maω0a = 2ma2ω0 θ ≠ 0 时， 2 Lz2 = 2m(a + l sin θ) ω
由
Lz1 = Lz2 ，得
a2ω0 ω= (a +l sin θ)2
dL O = ∑MO(F(e) ) i dt 称为质点系的动量矩定理 质点系对某定点O 质点系的动量矩定理： 称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点
得 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的 的动量矩对时间的导数， 外力对于同一点的矩的矢量和。 外力对于同一点的矩的矢量和。
投影式： 投影式：
d Lx = ∑Mx (F(e) ) i dt
∑mr′ = 0 r′ =
i i C
m
）
有 LC = ∑ri′×mvir i
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或 质点系相对质心的动量矩， 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。 对任一点O的动量矩： 对任一点 的动量矩： 的动量矩
例11-7：已知 JO,ω0, FN , R ，动滑动摩擦系数 f ， ： 求制动所需时间 t 。
解： J dω = FR = fF R o N dt
∫ ω J dω = ∫
− o
o
0
t
0
fF R t N d
Joωo t= fFN R
§11-4 刚体对轴的转动惯量
J z = ∑m r
1 i− n 2 i i
单位： 单位：kg·m2 1. 简单形状物体的转动惯量计算 1） （1）均质细直杆对一端的转动惯量
Jz = ∫ ρl x dx =
2 0 l
ρll3
3
由 m = ρl l ，得
1 2 JLeabharlann = ml 3（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量 ）
J z = ∑mi R2 = R2 ∑mi = mR2
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量 ）
2 2 证明： 证明：JzC = ∑mi (x1 + y1 )
Jz = ∑mi r2 = ∑mi (x2 + y2)
2 = ∑m[x1 +( y1 + d)2 ] i
2 = ∑mi (x1 + y1 ) + 2d ∑mi y1 + d 2 ∑mi 2
因为
∑mi y1 yC = =0 ∑mi
有 ∑mi y1 = 0 ，得
m = 2π ri dri ⋅ ρA i
m 式中： 式中：ρA = 2 πR
R4 JO = ∫ (2π rρAdr ⋅ r ) = 2π ρA 0 4 1 2 或 JO = mR 2
R 2
2. 回转半径（惯性半径） 回转半径（惯性半径）
Jz ρz = m
或
2 Jz = mρz
3．平行轴定理 ． J z = J zC + md2 d 轴平行的轴， 式中 zC 轴为过质心且与 z 轴平行的轴， 为 z 轴之间的距离。 与 zC 轴之间的距离。 即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 刚体对于任一轴的转动惯量， 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量， 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。
第十一章 动量矩定理
§11-1 质点和质点系的动量矩 111．质点的动量矩 ． 对点O的动量矩 对点 的动量矩
MO(mv) = r ×mv
对 z 轴的动量矩 Mz (mv) 等于 [m ]xy 对点O的矩。 v 对点 的矩。 的矩
Mz (mv)是代数量，从 是代数量，
z 轴正向看，逆时针为正，顺 轴正向看，逆时针为正，
d Mz (mv) = Mz (F) dt
2. 质点系的动量矩定理
d MO(mvi ) = MO(F(i) ) + MO(F(e) ) i i i dt d ∑ MO(mivi ) = ∑MO(F(i) ) + ∑MO(F(e) ) i i dt
由于 ∑MO(F (i) ) = 0 i
d LO d d ∑ MO(mivi ) = ∑MO(mivi ) = dt dt dt
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
F L 主动力： 主动力： 1, F2 ,L , Fn
约束力：FN1 , FN2
d (Jzω) = ∑Mz (F ) + ∑Mz (FNi ) i dt = ∑Mz (F ) i
dω 即： z J = ∑Mz (F ) i dt
或 Jzα = ∑Mz (F)
d2ϕ 或 Jz 2 = ∑Mz (F) dt
abc
矩形 薄板
abh
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩 ．
LC = ∑MC (mvi ) = ∑r′×mvi i i i
由于 vi = vC +vir
得 LC = ∑ri′×mivC +∑ri′×mivir
其中 ∑ri′×mivC = (∑mivi′)×vC = 0 （因
O
( MOe) = M − mgsin θ ⋅ R
d [Jω + mvR = M −mgsin θ ⋅ R ] dt
dv v 由 ω= ， =a ， 得 dt R
M − mgR2 sin θ R a= 2 J + mR
例11-3：已知 m JO， 1 m，1，2 ，不计摩擦。 ： ， m 2 r r 不计摩擦。 ， 求（1） α ） （2）O处约束力 F ） 处约束力 N （3）绳索张力 F ， T ） T F
ρx = ρy
πR2l
m (3R2 +l2 ) = 1 (3R2 +l 2 ) 12 12
空心 圆柱
m 2 2 ρ = 1 (R2 + r2) Jz = (R + r ) z 2 2
πl(R2 −r2)
薄壁 空心 球
2 Jz = mR2 3
2 ρz = R 3
3 πRh 2
实心 球
2 JZ = mR2 5
JZ =
m 2 2 (a +b ) ρz = 1 a2 +b2 4 2 m a ρx = Jy = a2 2 4 b m ρy = Jy = b2 2 4
πabh
长方 体
m 2 2 ρz = 1 (a2 +b2 ) JZ = (a +b ) 12 12 m 2 2 ρx = 1 (a2 +c2) Jy = (a +c ) 12 12 1 2 2 (b +c ) m 2 2 ρy = Jy = (b +c ) 12 12 m 2 2 (a +b ) ρ = 1 (a2 +b2) z 12 12 m 2 ρx = 0.289a Jy = a 12 ρy = 0.289b m Jy = b2 12 JZ =
2 ρπ l(R2 − R2 ) = m ，得 由 1
1 2 J z = m(R2 + R2 ) 1 2
5．实验法 ． 轴的转动惯量。 例：求对 O 轴的转动惯量。 作微幅摆动。 解： 将曲柄悬挂在轴 O 上，作微幅摆动。 由
T = 2π J mgl
其中 m,l已知， 可测得，从而求得 已知， 可测得， T
m 例11-11：已知： , R , R2 ， 求 Jz。 ：已知： 1
解：Jz = J1 − J2
1 1 2 2 = m R − m2 R2 1 1 2 2
2 其中 m = ρπR2l m2 = ρπ R2l 1 1
1 4 Jz = ρπ l(R4 − R2 ) 1 2 1 2 2 = ρπ l(R2 − R2 )(R2 + R2 ) 1 1 2
d Ly dt dt = ∑My (F(e) ) i
d Lz (e) = ∑Mz (F ) i dt
内力不能改变质点系的动量矩。 内力不能改变质点系的动量矩。
已知： 例11-1 已知： , J, M,θ, 小车 m 不计摩擦。 ，不计摩擦。 R 求小车的加速度 a。 解： = Jω + mv R L
时针为负。 时针为负。
[MO (mv)]z = Mz (mv)
单位： 单位：kg·m2/s 2．质点系的动量矩 ． 对点的动量矩
LO = ∑MO(mvi ) i
n
对轴的动量矩
i=1
Lz = ∑Mz (mi vi )
i=1
n
[LO]z = Lz
即
LO = Lxi + Ly j + Lzk （1） 刚体平移。可将全部质量集中于质心， ） 刚体平移。可将全部质量集中于质心， 作为一个质点来计算。 作为一个质点来计算。
1 2
解： 1） L = JOω + mv r + m v2r （ ） O 1 11 2 2
=ω(JO + m r + m r )
2 11 2 2 2
∑MO(F ) = (m r − m2r2 )g 11
(e)
dLO = ∑MO(F(e) ) ，得 由 dt dω (m r −m2r2 )g 11 α= = dt JO + m r2 + m2r22 11