四川省达州市高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

达州市2014年普通高中二年级秋季期末检测
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（每小题5分，共50分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）
1．已知γβα、、是三个不同的平面，α∥β，β∥γ，则α与γ的位置关系是 A ．α∥γ
B ．γα⊥
C ．γα、与β的距离相等
D ．α与γ有一个公共点 2．已知，如图，三棱锥的三视图如图所示， 其中俯视图是直角三角形，则这个三棱锥的 体积是
A ．18cm 3
B ．12cm 3
C ．20cm 3
D ．15cm 3
3．已知点)0,10()0,10(21F F 、-，P 是双曲线164
3622=-y x 上的一点，则=-21PF PF
A ．12
B ．12-
C ．12-或12
D ．16或12
4．抛物线x y 82
=的焦点坐标是 A ．)0,4(
B ．)0,2(
C ．)2,0(
D ．)4,0(
5．某校高二（22）班班委成员有3男2女，现从中随机确定一男一女参加学校学生会干部竞选，其中学习委员章玥(章玥是女生)被确定为参加竞选的概率是
A ．51
B ．31
C ．
6
1
D ．
2
1
6．如图，输出的y 是
A ．100
B ．2
C ．
21
D ．1-
7．为了解市民生活与环境情况，某学术团体在我市随机抽查了甲乙两个加
油站2014年11月的加油量，得到的具体数据如下表：
这两个加油站一个位于车流量变化不大的学区，另一个位于车流量有一定波动的新兴工业园区，下列四个结论正确的是
A ．该学术团体对甲站采用的是系统抽样，乙站位于新兴工业园区
B ．该学术团体对乙站采用的是系统抽样，甲站位于学区
C ．该学术团体对甲站采用的是简单随机抽样，乙站位于学区
D ．该学术团体对乙站采用的是简单随机抽样，甲站位于新兴工业园区 8．已知如图，ABCDEF 是边长为2的正六边形，A 、D 为椭圆
122
22=+b
y a x 长轴的两个端点，EF BC 、分别过椭圆两个短 轴的端点，则椭圆的方程是
A ．1342
2=+y x B ．14322=+y x C ．1422
=+y x D ．13
22
=+y x 9．在三棱锥BCD A -中，已知CD AB ⊥，AD BC ⊥，如图
所示，则点A 在平面BCD 内的射影O 是BCD ∆
A ．三条中线的交点
B ．三角平分线的交点
C ．三条高线的交点
D ．三垂直平分线的交点
10．将一根长为16的铁丝折成平行四边形ABCD ，点D B 、在以
C A 、为焦点的椭圆上．则椭圆的离心率在区间]8
5
81[，上的概率是
A ．81
B ．83
C ．21
D ．4
3
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡上相应位置）
11．到两点)0,3()0,3(21F F 、-的距离之和为10的点的轨迹方程是 (写成标准形式)．
12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，出现两个正面朝上的概率是 ． 13．在如图所示的正方体
1111D C B A ABCD -的12条棱所在直线中，与直线AB 异面的直线有 条．
14．已知点B A 、是抛物线x y 42
=上，O 是坐标原点，
0=⋅，直线AB 交x 轴于点C = ．
15．已知函数)(x f y =的图象与方程19
25
=⋅-
⋅y y x x 的曲线重合，则
下列四个结论：
①)(x f 是增函数．
②函数)(x f 的图象是中心对称图形． ③函数)(x f 的图象是轴对称图形． ④函数)(x f 有且只有一个零点.
其中正确的是 （多填、少填、错填均得零分）．
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分12分)
已知，如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是线段AB 的中点， O BD AC = ，点P 是平面ABCD 外一点，PC PA =，
PD PB =，EO BD ⊥． 求证：（Ⅰ）EO ∥平面PBC ． （Ⅱ）⊥BC 平面PBD ．
17．(本题满分12分)
已知直线4+=kx y l ：，椭圆15
2
2=+y x C ：．
（Ⅰ）若直线l 过C 的左焦点，求实数k 值．
（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 有公共点，求实数k 的取值范围． 18．(本题满分12分)
桂花树的花是对人体有多种功效和疗效的香型花，也是 难得的工业原料．现从某桂花园随机抽样得到80个金 桂花产量(金桂是桂花树的一种，花产量指一株树的花
产量，单位：克)，并绘制出样本频率分布直方图，如图所示．已知这个桂花园有30000株金桂．
（Ⅰ）估计这个桂花园花产量在区间)700,600[的金桂株数．
（Ⅱ）科研发现样本里花产量在区间)400,300[的金桂中出现了2株有害变异金桂．从该样本里花产量在这个区间上的金桂中随机抽取两株，求这两株中至少有一株是有害变异金桂的概率．
19．(本题满分12分)
已知，如图，抛物线)0(22
>=p px y C ：经过点)4,2(P ，
直线323-=x y l ：交C 于B A 、两点，与x 轴相交于点F ． （Ⅰ）求抛物线方程和及其准线方程．
（Ⅱ）已知点)5,2(-M ，直线MB MF MA 、、的斜率分别为
321k k k 、、，
求证：321k k k 、、成等差数列．
20．(本题满分13分)
已知，四边形ABCD 是棱形，O BD AC = ，P 是平面
ABCD 外一点，32==AP AC ，2=BD ，24=PC ，BD PC ⊥，E 是线段PC 的中
点，如图所示．
（Ⅰ）求直线AP 和直线DE 的夹角． （Ⅱ）求点C 到平面DEO 的距离． 21．(本题满分14分)
已知椭圆
)40(1162
2
2<<=+b b y x ，点)0,8(C ，直线AC 和椭 圆相交于不重合的两点B A 、(直线AC 不与x 轴重合),从A 点出发的光线经x 轴反射后过点B ，设),(n m A ，如图所
示．
（Ⅰ）写出直线AC 的方程．
（Ⅱ）求证点B 的坐标是)5
3,5165(
----m n
m m ．
(III)求x 轴上光线反射点D 的坐标.
达州市201４年高中二年级秋季期末检测
数学（文）参考答案及评分细则
一、选择题（每小题5分，共50分）
1A 2B 3C 4B 5D 6B 7A 8A 9C 10C 二、填空题（每小题5分，共25分）
11．
1162522=+y x 12．4
1 13．4 14．4 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分12分)
证：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是线段AC 和BD 的中点．…………1分 ∵点E 是线段AB 中点，
∴EO ∥BC .………………2分 ∵⊄EO 平面PBC ，
∴EO ∥平面PBC ．………………4分
（Ⅱ）∵EO BD ⊥，EO ∥BC ， ∴BD BC ⊥．………5分
∵PC PA =，PD PB =，O 是线段AC 和BD 的中点， ∴AC PO ⊥，BD PO ⊥．……………………7分
又O AC BD = ，⊂BD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ， ∴⊥PO 平面ABCD ．……………………9分 ∵⊂BC 平面ABCD ，
∴BC PO ⊥．……………………10分
∵O BD PO =⊥，⊂BD 平面PBD ，⊂PO 平面PBD ， ∴⊥BC 平面PBD ．……………………12分
17．(本题满分12分)
已知直线4+=kx y l ：，椭圆15
2
2=+y x C ：．
（Ⅰ）若直线l 过C 的左焦点，求实数k 值．
（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 有公共点，求实数k 的取值范围．
解：（Ⅰ）∵椭圆C 的方程是15
22
=+y x ， ∴椭圆C 的左焦点是)0,2(-……………………………3分 ∵直线4+=kx y l ：过C 的左焦点，
∴042=+-k ，解得 2=k ．……………………………5分
（Ⅱ）由方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=15
42
2y x kx y ，得07540)51(22=+++kx x k ，……………………………7分
∴)3(100)51(754)40(222-=+⨯-=∆k k k ．…………………………………………9分 解不等式0≥∆得，3-≤k 或3≥k ．…………………………………………11分
所以实数k 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ ．…………………………………………12分 18．(本题满分12分)
解：（Ⅰ） 由频率分布直方图可知，桂花产量分别在区间)400,300[、)500,400[、)600,500[、
]800,700[上的频率分别是0.05、0.10、0.15、0.40，…………………………2分
∴花产量在区间)700,600[的频率是1－0.05－0.10－0.15－0.40＝0.30，…………………………3分
∴这个桂花园花产量在区间)700,600[的金桂株数约为900030.030000=⨯．………………………5分
答：这个桂花园花产量在区间)700,600[的金桂株数约为9000．…………………………6分 （Ⅱ）(方法1) 由（Ⅰ）知，样本80株金桂中花产量在区间)400,300[上株数是4．将这些树分别标记为1，2，3，4．“一次抽取两株且抽取的序号是j i 、”记为事件),(j i ，不妨假定有害变异的两株金桂是1，2．设“一次抽取2株树均无有害变异金桂”为事件A ，…………………………7分
则),(j i 包含事件)4,3(),4,2(),3,2(),4,1(),3,1(),2,1(共6个．…………………………8分 )4,3(=A ，…………………………9分
∴6
1
)(=
A P ．…………………………10分 ∴6
5
611)(1)(=-=-=A P A P ．…………………………11分
答：一次抽取的两株中至少有一株有害变异金桂的概率为
6
5
．…………………………12分 （Ⅱ）(方法2) 由（Ⅰ）知，样本80株金桂中单株花产量在区间)400,300[上株数是4．将这些树分别标记为1，2，3，4．“一次抽取两株且抽取的序号是j i 、”记为事件),(j i ，不妨假定有害变异的两株金桂是1，2．设“一次抽取两株中，只有一株为有害变异金桂”为事件A ，“一次抽取两株，两株全为有害变异金桂”为事件B ，“一次抽取两株，两株中至少有一株是有害变异金桂”为事件C ．则B A 、互斥，且B A C +=．…………………………7分 其中),(j i 包含事件)4,3(),4,2(),3,2(),4,1(),3,1(),2,1(共6个．…………………………8分
A 包含事件(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，共四个．…………………………9分
)2,1(=B ．…………………………10分
∴6
5
6164)()()()(=+=+=+=B P A P B A P C P .…………………………11分 答：一次抽取的两株中至少有一株有害变异金桂的概率为6
5
．…………………………12分
20．(本题满分12分)
解：（Ⅰ）∵抛物线)0(22
>=p px y C ：经过点)4,2(P ，∴2242⨯=p ，∴4=p ， (2)
分
所以抛物线的方程是x y 82=，…………………………………………3分 ∴抛物线准线方程是2-=x ．…………………………………………4分
（Ⅱ）∵直线323-=x y l ：与x 轴相交于点F ，∴)0,2(F . …………………………5分 ∵)5,2(-M ，∴4
5
22052-=---=
k .……………………………6分
设),(),(2211y x B y x A 、，由方程组⎩
⎨⎧=-=x y x y 43
232
，得 (方法1)0122032=+-x x ，……………………………………7分 ∴3
20
21=+x x ，421=x x ．………………8分 ∴253232511111+--=+-=
x x x y k ，2
5
3232522223+--=
+-=x x x y k ，…………………9分 ∴)
2)(2()
5323)(2()5323)(2(21211231++--++--+=
+x x x x x x k k
4
)(220
38)(53221212121+++--+-=
x x x x x x x x
4
3
2420385320
432+⨯+--⨯-⨯=
2
5
-=，…………………………………………11分
∴2312k k k =+，
∴321k k k 、、成等差数列．………………………………………………………12分
(方法2)⎩⎨⎧==34611y x ，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-
==3343
222y x ，……………………………………8分
即
)3
3
4,32()34,6(-B A 、，……………………………………9分
∴8
5
3425111-=
+-=
x y k ，8153423
25
33
425223+-
=+--
=+-=x y k ，………………10分 ∴2
5
31-
=+k k ，……………………………………11分 ∴2312k k k =+，
∴321k k k 、、成等差数列．……………………………12分 21．(本题满分13分)
解（Ⅰ）∵四边形ABCD 是棱形，O BD AC = ，
∴O 是线段BD AC 、的中点，且BD AC ⊥．……………………1分 ∵E 是线段PC 的中点，
∴OE ∥
AP 2
1
.…………………………………2分 ∴DEO ∠就是直线AP 和直线DE 的夹角．……………………3分 ∵BD PC ⊥，PC AC 、是平面PAC 内两相交直线， ∴⊥BD 平面PAC ．…………………………………4分 ∵⊂OE 平面PAC ，
∴OE BD ⊥，即OE DO ⊥.…………………………………5分
∵32=AP ，2=BD ，
∴3=OE ，1=OD ，…………………………………6分
∴6
π
=
∠DEO ，即直线AP 和直线DE 的夹角为
6
π
．…………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，ODE ∆的面积2
3
21=
⋅=∆OE OD S ODE ．…………………………………8分
∵E 是线段PC 的中点，24=PC ，32=AC ，
∴22=EC ，3=OC ．…………………………………9分
在等腰OCE ∆中，底边CE 边上的高为1)2()3()2
1
(2
222
=-=-CE OC ，…………10分
∴OCE ∆的面积21222
1
=⨯⨯=
∆OCE S .…………………………………11分 设点C 到平面DEO 的距离为d ，由ODE C OCE D V V --=得
OCE OD E S OD S d ∆∆⋅=⋅…………………………………12分
∴36
22
3
21=
⨯=⋅=
∆∆ODE OCE S S OD d ， 即点C 到平面DEO 的距离为3
6
2.…………………………………13分 21．(本题满分14分)
（Ⅰ）解:因点)0,8(C 在椭圆外，∴直线AC 斜率存在．……………………………………1分 ∵),(n m A ，∴直线AC 斜率为8
-m n
，………………………………………………………2分 ∴直线设AC 的方程是)8(8
--=x m n
y ．………………………………………………………3分
（Ⅱ）证：由方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+--=116)8(822
2b y x x m n y ，得 0)8(16641616)166416(22222222222=--⨯+-++-m b n x n x n b m b m b ， (4)
分
∵),(n m A 在椭圆
116222=+b y x 上，∴11622
2=+b
n m ，即22221616b n m b =+，………………5分
∴0)8(16641616)1680(22222222=--⨯+--m b n x n x m b b ．………………6分
设),(00y x B ，则有m
b b n m x 222
20168016-=+，………………7分
∴
5
16
55516168080)16(161680162
22222222222220--=--=--+=--=m m m b b m b b m b b m b m b n m m b b n x ，………………8分
∴5
3)85165(8)8(800--=----=--=
m n
m m m n x m n y ，………………………………9分 ∴点B 的坐标是)5
3,5165(----m n
m m ．………………………………10分
(III)解：由椭圆的对称性知，点A 关于x 轴的对称点),(n m A -'也在椭圆上．根据光学知识，直线B A '与x 轴的交点就是光线反射点D ，如图所示．
∵B A 、两点不重合，
∴直线B A '的斜率为25
16553--=---+--
m n m m m n
m n
，………11分
∴直线B A '的方程是)(2
m x m n
n y ---
=+，………………12分 ∵直线AC 不与x 轴重合,∴0≠n ，∴在直线B A '的方程中令0=y ，得2=x ，………………13分
∴x 轴上光线反射点D 的坐标为)0,2(．………………14分。