用二分法求方程近似解的两个注意点

用二分法求方程近似解的两个注意点
用二分法求方程近似解需要注意以下两个点:
1.用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε； 第二步：求区间[a,b]的中点c ；
第三步：计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c 就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b ＝c （此时零点x 0∈(a ，c)）；
(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a ＝c （此时零点x 0∈(c ，b)）．
根据这个步骤，各次区间的取舍根据的就是函数零点的存在性定理，即舍去区间端点函数值同号的区间，取区间端点函数值异号的区间．
2.精确度与计算次数的关系：精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是（a,b ），那么经过n 次取中点后，区间的长度是n b a 2|
|-，只要这个区间的长度小于精确度ε,那么这
个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系n b a 2|
|-＜ε，即n ＞]||[log 2εb a -，其中[ ]表示取整数，
如[2.5]=2，][π＝3等．
【例1】用二分法求方程x x 1
ln =在（1,2）上的近似解，取中点
c=1.5,则下一个有根区间是 .
【分析】由区间端点处函数值的符号，根据函数零点的存在性定理解决．
【解析】令f(x)=x x 1ln
-, 则f(1)=-1<0,f(2)=,01ln 2ln 212ln =>=-e )25.1(ln 31
32
5.1ln )5.1(2
-=-=f <0， 所以f(1.5)·f(2)<0,故下一个有根区间是（1.5,2）故填（1.5,2）.
【点评】用二分法求方程的近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零,则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零．则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间．
【例2】在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是（1，5），精确度要求是0.001，则需要计算的次数是 ．
【解析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系确定.设需计算n 次，则n 满足n 24
＜0.001，即2n >4000.由于211=2048，212=4096,
故计算12次就可以满足精确度要求．故填12.
【点评】在用二分法求方程的近似解时，精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系,可以根据其中两个量求得另一个.当然,在实际求解过程中也可能用不到12次,也许11次,甚至10次即可解决问题，但前提是到结束时,区间的两个端点精确到与所要求的精确度的近似值相同.。