新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 2022新高考一轮复习课件

设角 α 终边上的任一点为 P(-4a,3a),
r=|OP|=|5a|(a≠0)(O 为坐标原点).
3
α= ,cos
5
4
3
α=- ,tan α=- ,
5
4
当 a>0 时,r=5a,sin
5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4;
3
α=-5,cos
4
3
α=5,tan α=-4,
当 a<0 时,r=-5a,sin
∵在区间(0,2π)内终边在直线 y=
π
= + π,∈Z
3
;
π 4π
3x 上的角是 , ,
3 3
π 4π
与角 , 终边相同的角分别为
3 3
π
4π
π
2kπ+3(k∈Z),2kπ+ 3 =(2k+1)π+3(k∈Z),
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
π
+
π,∈Z
3
.
6π
方法二(象限等分法):

如图,求 所在的象限,需将每个象限两等分,再逆时针循环标
2
1,2,3,4.

因为 α 是第三象限角,所以图中标记为数字 3 的象限就是2所在的

象限,所以 是第二或第四象限角.
2
能力形成点2 利用三角函数定义求三角函数值
例 2 (1)如图,在平面直角坐标系 Oxy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,
与整数个周角的和.
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位
用符号rad表示.
(2)公式
角 α 的弧度数公式
角度与弧度的换算
l
|α|=r (弧长用 l 表示)

180
①1°=180 rad,②1 rad=
弧长公式
l=|α|r
扇形面积公式
1
1
S= lr= |α|r2
例3 (1)已知扇形的半径为10 cm,圆心角为120°,则扇形的弧长
100
cm ,面积为 3 π cm2.
2π
20
圆心角 α= 3 ,弧长 l=αr= 3 π(cm);
1 2 100
面积 S= r =
π(cm2).
2
3
20
为 3 π
(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角α=
2
最大,最大面积是
7
3
7
7
即 k=0,1,2,

2π 20π 34π
即在区间[0,2π)内终边与 角终边相同的角为 ,
,
.
3
7 21 21
(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边在 第一或第二象限或y轴的非负半轴
.
3π
由α是第三象限角,得 π+2kπ<α< 2 +2kπ(k∈Z),
则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
×)
(2)若sin α>0,则α是第一、第二象限的角.( × )
(3)相等的角的终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( × )
(4)锐角是第一象限角,反之亦然.( × )
(5)三角形的内角必是第一、二象限角.( × )
2.下列各角与 60°角终边相同的角是( D )
4π
A. 3
5π
B. 3
4π
C.- 3
5.若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ的终边一定落在第
四 象限.
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴
重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只
能位于第四象限.
能力形成点1
角的表示及象限的判定
例 1 (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合为
2.利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数:设点Q(x,y)是角α终边上
任一点,则 r=|OQ|=
2
+ 2 ,sin



α= ,cos α=,tan α=(x≠0).
1.象限角
2.轴线角
π
3.若 α∈(0, ),则 tan α>α>sin α.
2
4.特殊角的三角函数值
角α
角α的
故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴.
拓展延伸
例1(1)改为求“终边在射线 y= 3x(x≤0)”上的角α的集合.
解 由题意知角的终边在第三象限,在区间(0,2π)内满足条件的角为
4π
4π
4π
,与 终边相同的角为 2kπ+ (k∈Z),故角 α 的集合为{
3
3
3
4π
,k∈Z}.
3
= 2π +
= 4,
2 + = 10,
= 1,
则 1 2
解得
(舍去)或
1
= 2,
= 4,
=8
2
1
故扇形圆心角的弧度数为 .
2
4.已知角θ的终边经过点P(12,-5),则cos θ的值为
因为 x=12,y=-5,所以 r=
2
+
2 =13,所以
12
13

cos θ=
.
=
12
.
13
的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
备考指导
本节内容是三角函数的基础,复习时要熟记三角函数的定义、各象限符号
值特点以及特殊角的三角函数值,注意角度与弧度的互化.特别地,理解并
掌握终边相同的角的集合对于记忆后面三角函数的性质大有好处.
【知识筛查】
1.任意角
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.



即 l=2时,等号成立,此时 r=4,α==2.
=
2
,当且仅当
16
c-l=l,
(方法三)c=2r+l=2r+rα,

1 2 1
2
1
2
故 r=
,S= r = ·
= ·4
2
2+
2
2
2
(2+)
+4+
4
当且仅当=α,即 α=2 时,等号成立.
≤
1 2
·
2 8
=
2
,
16
解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积
sin(cos)
(2)若 θ 是第二象限角,则
cos(sin)
-8
<
0.(填“>”“<”或“=”)
∵θ 是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1,
∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0,∴
sin(cos)
<0.
cos(sin)
能力形成点3
扇形弧长、面积公式的应用
2
2
°
3.任意角的三角函数
三角函数
定义
定义域
函数值 一
在各象 二
限的符 三
号
四
正弦函数
余弦函数
设 α 是一个任意
角,α∈R,它的终边
OP 与单位圆相交
于点 P(x,y)
正切函数
把点 P 的纵坐标 y 把点 P 的横坐标 x 把点 P 的纵坐标与横坐

叫做 α 的正弦函 叫做 α 的余弦函 标的比值 叫做 α 的正
π
π
∵60°=3,与3终边相同的角可以写成
5π
∴当 k=-1 时,β=- 3 .
5π
D.- 3
π
β=3+k·
2π(k∈Z),
3.已知扇形的周长为 10 cm,面积是 4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( B )
1
B.2
A.8
1
C.8 或2
D.8 或 4
设圆心角的弧度数是 θ(0<θ<2π),半径是 r cm,
数,记作 sin α
数,记作 cos α
切函数,记作 tan α
π
≠ + π,∈Z
R
R
2
+
+
+
+函数值符号的记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、
四余弦.即第一象限正弦函数值、余弦函数值和正切函数值均为正,第二象
限正弦函数值为正,第三象限正切函数值为正,第四象限余弦函数值为正.
4
点 A 的纵坐标为5,则 cos α 的值为( D )
4
A.5
因为点
所以点
4
B.-5
3
C.5
4
A 的纵坐标为 ,且点
5
3
A 的横坐标为-5.
由三角函数的定义可得 cos
3
D.-5
A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,
3
α=-5.
(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan α= -2或-4 .
弧度数
sin α
cos α
tan α
0°
30° 45°
0

6
0
1
2
1
0

4
3
3
2
2
1
90°
120°
135°
150°
180°

3

2
2
3
3
4
5
6
π
1
3
2
2
2
1
2
0
0
1
-2
3
2
2
2
3
2
60°
1
2
3
- 3
-
2
2
-1
-
3
2
-1
-
3
3
0
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)小于90°的角是锐角.(
5sin α+5cos α+4tan α=-3+4-3=-2.
综上,可知 5sin α+5cos α+4tan α 的值为-4 或-2.
解题心得用定义法求三角函数值的两种情况:
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求三角函数值;
(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意角α的终边位置有两个,对应的三
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所
在的象限即可.

3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出



角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或
二次函数求最值.
对点训练3
(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的
圆心角是
π-2
弧度,扇形的面积是
1
(π-2)r2
2
设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+rθ.
依题意,2r+rθ=πr,所以θ=π-2.
4
2
π
π
此时 α 表示的范围与4 ≤ ≤ 2表示的范围一样.
π
π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+ ≤ ≤2nπ+π+ ,
4
2
π
π
此时 α 表示的范围与 π+4 ≤ ≤π+2表示的范围一样.

(3)已知 α 是第三象限角,则2是第二或第四象限角.
方法一(角的集合表示):
3π
因为 2kπ+π<α<2kπ+ (k∈Z),
4
3
3
3
是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命
题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题.
π
π
(2)集合 π + ≤ ≤ π + ,∈Z 中的角的终边所表示的范围(阴影
4
2
部分)是( C )
π
π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+ ≤ ≤2nπ+ ,
(2)分类:我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正
角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,
就称它形成了一个零角.
这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集
合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α


的终边所在位置.
对点训练 1
3π
4π
(1)给出下列四个命题:①- 4 是第二象限角;② 3 是第三象限角;③-400°是
第四象限角;④-315°是第一象限角.其中真命题有( C )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
3π
4π
π
4π
- 是第三象限角,故①是假命题; =π+ ,从而 是第三象限角,故②
2
π

3π
所以 kπ+2 < 2<kπ+ 4 (k∈Z).
π

3π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+2 < 2<2nπ+ 4 , 2是第二象限角;
3π

7π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 , 2是第四象限角.

综上可知,当 α 是第三象限角时,2是第二或第四象限角.
1 2 1
故扇形的面积 S= r θ= (π-2)r2.

16
2
弧度时,其面积
.
设扇形的半径为 r,弧长为 l,面积为 S.
-
(方法一)∵c=2r+l,∴r= 2 (l<c),
1
1 -
1
2
2
∴S=2rl=2 × 2 ×l=-4 - 2 + 16,

2

∴当 l=2时,Smax=16,此时 α==2.
2
1
1
1 -+
(方法二)S=2rl=4 ×(c-l)×l≤ 4 2
角函数值有两组.
对点训练 2
4
(1)已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α=- ,则 m 的值为( B )
5
1
1
3
3
A.B.
C.D.
2
2
2
2
∵r= 642 + 9,