配套K122018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(三十三) 基本不等式 W

课时达标检测（三十三） 基本不等式
[小题对点练——点点落实]
对点练(一) 利用基本不等式求最值
1．(2018·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4
D ．2
解析：选C 由a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1
b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a
b
＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.
2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 解
析
：
选
D
∵
1
＝
2x
＋
2y ≥2
2x ·2y
＝
2
2x ＋y
⎝⎛⎭⎫当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14
，得x ＋y ≤－2.
3．(2018·江西九校联考)若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)·(y －2)，则x ＋1
2y 的最大
值为( )
A ．－1＋32
2
B ．1
C ．1＋33
2
D ．
32
2
解析：选A 由(2xy －1)2＝(5y ＋2)·(y －2)，可得(2xy －1)2＝9y 2－(2y ＋2)2，即(2xy －1)2
＋(2y ＋2)2＝9y 2，得⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭⎫2＋2y 2＝9，又⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭
⎫2＋2
y 2≥⎝
⎛⎭⎫2x －1y ＋2＋2y 2
2
＝
⎝⎛⎭
⎫2x ＋1y ＋22
2
，当且仅当2x －1y ＝2＋2y 时等号成立，所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＋22≤18，得2x ＋1
y
≤32－2，所以x ＋12y ≤32－22，所以x ＋12y 的最大值为－1＋32
2
.故选A.
4．(2018·邯郸模拟)设x >0，y >0，且⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1
y 2＝________.
解析：∵x >0，y >0，∴当x ＋1
y 取最小值时，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2取得最小值， ∵⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y
2＋2x
y ， 又⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x
≥2 4x y ·16y
x ＝16，
∴x ＋1
y ≥4，当且仅当4x y ＝16y x ， 即x ＝2y 时取等号，
∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x
y ＝16，
∴x 2＋1y 2＋2×2y
y ＝16，
∴x 2＋1
y 2＝16－4＝12.
答案：12
5．(2018·天津模拟)已知x ，y 为正实数，则2x
x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为________．
解析：∵x ，y 为正实数，则2x
x ＋2y
＋x ＋y
x
＝
2x
x ＋2y ＋y x ＋1＝2
1＋2y x ＋y x ＋1，
令t ＝y x ，则t >0，∴2x x ＋2y ＋x ＋y x ＝2
1＋2t ＋t ＋1
＝
1
12＋t ＋t ＋12＋1
2≥2112
＋t ·⎝⎛⎭⎫t ＋12＋12＝52， 当且仅当t ＝1
2时取等号．
∴2x x ＋2y ＋x ＋y x 的最小值为5
2.
答案：5
2
对点练(二) 基本不等式的综合问题
1．(2018·辽宁师大附中模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2
n 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
解析：选C ∵当x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1， ∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，
且a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)． ∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∵m >0，n >0，
∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n
n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m n ＝8， 当且仅当m ＝14，n ＝1
2
时取等号．故选C.
2．(2018·海淀期末)当0<m <12时，若1m ＋2
1－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围
为( )
A ．[－2,0)∪(0,4]
B ．[－4,0)∪(0,2]
C ．[－4,2]
D ．[－2,4]
解析：选D 因为0<m <12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋(1－2m )22＝1
8，当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8，又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒
成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.
3．(2018·湘潭模拟)设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2] C.⎝⎛⎭⎫
12，72
D ．⎝⎛⎭⎫
12，3
解析：选A 对任意的正实数x ，y ，由于a ＝
x 2－xy ＋y 2≥
2xy －xy ＝xy ，当且仅
当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的
任意两边之和大于第三边，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
xy ＋2xy >p xy ，p xy ＋xy >2xy ，p xy ＋2xy >
xy ，
解得1<p <3，故实数p 的取值范围是(1,3)，故选A.
4．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，且ac ≤4，则a c 2
＋4＋c
a 2＋4
的最小值为( ) A ．0 B ．12
C.14
D ．1
解析：选B 因为函数f (x )＝1
3
ax 3－2x 2＋cx 在R 上单调递增，所以f ′(x )＝ax 2－4x ＋c ≥0
在R 上恒成立．所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝16－4ac ≤0，所以ac ≥4，又ac ≤4，所以ac ＝4，又a >0，所以
c >0，则
a
c 2＋4＋c a 2＋4＝a c 2＋ac ＋c a 2＋ac ＝a c (c ＋a )＋c a (c ＋a )＝1c －1c ＋a ＋1a －1c ＋a ＝1a ＋1c －2
c ＋a ≥2
1ac －22ac ＝1－12＝12
，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，故选B. 5．(2018·江西八校联考)已知点P (x ，y )到点A (0,4)和到点B (－2,0)的距离相等，则2x
＋4y 的最小值为________．
解析：由题意得，x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，整理得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝2
2x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝3
2时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.
答案：4 2
6．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2017＝4 034，则1a 9＋9a 2 009
的最小值为________． 解析：由等差数列的前n 项和公式， 得S 2 017＝2 017(a 1＋a 2 017)
2＝4 034，
则a 1＋a 2 017＝4.
由等差数列的性质得a 9＋a 2 009＝4，
所以1a 9＋9a 2 009＝14⎝⎛⎭⎫4a 9＋9×4a 2 009
＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 9＋a 2 009a 9＋9(a 9＋a 2 009)a 2 009 ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫
a 2 009a 9＋9a 9a 2 009＋10 ≥1
4⎣
⎡⎭
⎫2a 2 009a 9×9a 9a 2 009＋10＝4， 当且仅当a 2 009＝3a 9时等号成立． 答案：4
7.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角
为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的
腰长为x 米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y 米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.
解析：设横断面的高为h ，
由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝3
2
x ，
∴93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·3
2
x ，故
BC ＝18x －x
2，由⎩⎨⎧
h ＝3
2x ≥ 3，BC ＝18x －x
2>0，
得
2≤x <6，
∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x
2(2≤x <6)，
从而y ＝18x ＋3x
2
≥2
18x ·3x
2
＝63， 当且仅当18x ＝3x
2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．
答案：2 3
[大题综合练——迁移贯通]
1．设a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝2，求
1a 2
＋1＋4
b 2＋1
的最小值． 解：由题意知a 2＋b 2＝2，a 2＋1＋b 2＋1＝4，
∴1a 2＋1＋4b 2＋1
＝14(a 2＋1＋b 2
＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＋1＋4b 2＋1 ＝14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5＋b 2＋1a 2＋1＋4(a 2
＋1)b 2＋1
≥94， 当且仅当b 2＋1a 2＋1＝4(a 2＋1)b 2＋1，
即a 2＝13，b 2＝5
3时等号成立，
∴1a 2＋1＋4b 2＋1
的最小值为9
4.
2．(2018·河北唐山模拟)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1
y 的最小值．
(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．
解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2
xy ≥2xy
xy
＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，
所以1x ＋1
y 的最小值为2. (2)不存在．理由如下： 因为x 2＋y 2≥2xy ，
所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.
从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22
≤4，
因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.
3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．
(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．
解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)． (2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200
x ≥2
2x ·7 200
x ＝240，
当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。