带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线hao

带电粒子在正交匀强电磁场中运动的轨迹和摆线
陈升科
高中物理中介绍了速度选择器，速度选择器两极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，带电粒子在速度选择器中的运动实际上是在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动．带电粒子垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，且速度大小等于电场强度Ｅ跟磁感强度Ｂ之比（Ｅ／Ｂ）（称（Ｅ／Ｂ）为选择速度，用ｖ
ｅｂ
表示），将做匀速直线运动．如果带电粒子的速度大小不等于选择速度或偏离垂直匀强电场和匀强磁场方向进入速度选择器，将做什么运动，其运动轨迹怎样?
一、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动方程
设空间有正交的匀强电场和匀强磁场（下称电磁场），电场强度矢量和磁感强度矢量分别为Ｅ＝Ｅｊ，Ｂ＝Ｂｋ．
有一个电量为ｑ、质量为ｍ的带电粒子从坐标原点以初速ｖ
０
射入电磁场
中．初速度矢量为ｖ
０＝ｖ
０ｘ
ｉ＋ｖ
０ｙ
ｊ＋ｖ
０ｚ
ｋ，带电粒子射入电磁场后，在
某时刻的速度矢量为ｖ＝ｖ
ｘｉ＋ｖ
ｙ
ｊ＋ｖ
ｚ
ｋ．
带电粒子在此时刻受到的电场力矢量为Ｆ＝ｑＥ＝ｑＥｊ，受到的磁场力（洛伦兹力）矢量为
ｆ＝ｑｖ×Ｂ＝ｑｉｊｋ
ｖ
ｘｖ
ｙ
ｖ
ｚ
00Ｂ
＝ｑｖ
ｙＢｉ－ｑｖ
ｘ
Ｂｊ．
带电粒子在电磁场中的动力学方程为Ｆ＋ｆ＝ｍ．
动力学方程的三个分量式分别为
ｍ
ｘ＝ｑＢｖ
ｙ
，①
ｍ
ｙ＝ｑＥ－ｑＢｖ
ｘ
，②
ｍ
ｚ
＝0．③
令ω＝（ｑＢ）／ｍ，由方程①得ｖ
ｙ＝（1／ω）
ｘ
．④
④式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向分量
ｙ＝（1／ω）
ｘ
．
将上式代入②式，并令ｕ
ｘ＝ｖ
ｘ
－（Ｅ／Ｂ）＝ｖ
ｘ
－ｖ
ｅｂ
，
得
ｘ＋ω２ｕ
ｘ
＝0．
此微分方程的通解是
ｕ
ｘ
＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ），
它可改写为ｖ
ｘ＝－Ａｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋ｖ
ｅｂ
．⑤
⑤式对时间ｔ微分得带电粒子在电磁场中运动时的加速度的ｘ方向的分量
ｘ
＝Ａωｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑥
将⑥式代入④式得速度的ｙ方向的分量
ｖ
ｙ
＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ），⑦
⑦式对时间ｔ微分得加速度的ｙ方向的分量
ｙ
＝Ａωｃｏｓ（ωｔ＋φ），⑧
③式对时间ｔ积分得速度的ｚ方向的分量
ｖ
ｚ＝Ｃ
３
．⑨
⑤、⑦、⑨式分别对时间ｔ积分得带电粒子在电磁场中运动的运动学方程的三个分量
ｘ＝－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋ｖ
ｅｂｔ＋Ｃ
１
，⑩
ｙ＝－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ）＋Ｃ
２
，⑾
ｚ＝Ｃ
３ｔ＋Ｃ
４
．⑿
以上三式中Ａ、φ、Ｃ
１、Ｃ
２
、Ｃ
３
和Ｃ
４
均为积分常数，可用带电粒子射入电磁
场时的初始条件确定．
由①、②两式得，带电粒子初始加速度在ｘ方向和ｙ方向的分量分别为
０ｘ＝（ｑＢｖ
０ｙ
）／ｍ＝ωｖ
０ｙ
，
０ｙ＝（ｑＥ－ｑＢｖ
０ｘ
）／ｍ＝ωｖ
ｅｂ
－ωｖ
０ｘ
．
将以上两式分别代入⑥、⑧两式得Ａｓｉｎφ＝ｖ
０ｙ
，
Ａｃｏｓφ＝ｖ
ｅｂ－ｖ
０ｘ
，
解得积分常数
Ａ＝．⒀
A的大小等于带电粒子的初速度沿ｘ方向以选择速度ｖ
ｅｂ
做匀速直线运动的相对速度的大小．称（Ａ／ω）为“幅”，称积分常数φ为初相，它有三种情况
若ｖ
０ｘ＜ｖ
ｅｂ
，φ＝ｔｇ－１[ｖ０ｙ/（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）]，
若ｖ
０ｘ＝ｖ
ｅｂ
，ｖ
０ｙ
＞0，φ＝（π／2），
ｖ
０ｙ
＜0，φ＝－（π／2），
若ｖ
０ｘ＞ｖ
ｅｂ
，φ＝π＋ｔｇ－１[ｖ０ｙ／（ｖｅｂ－ｖ０ｘ）．⒁
将带电粒子初速度分量ｖ
０ｚ
代入⑨式得积分常数
Ｃ
３＝ｖ
０ｚ
．
将带电粒子射入电磁场时的初始坐标ｘ＝0，ｙ＝0，ｚ＝0．
代入⑩⑾⑿三式得积分常数
１＝ｖ
０ｙ
／ω，
２＝（Ａ／ω）ｃｏｓφ＝（1／ω）（ｖ
ｅｂ
－ｖ
０ｘ
），
Ｃ
４
＝0．
带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的运动学方程为
ｘ＝ｖ
ｅｂｔ＋（ｖ
０ｙ
／ω）－（Ａ／ω）ｓｉｎ（ωｔ＋φ），⒂
ｙ＝（1／ω）（ｖ
ｅｂ－ｖ
０ｘ
）－（Ａ／ω）ｃｏｓ（ωｔ＋φ），⒃
ｚ＝ｖ
０ｚ
ｔ．⒄
式中的A和φ由⒀、⒁两式确定．
带正电的粒子原先静止在坐标原点，在电场力和磁场力作用下开始运动，带电粒子初速度的三个分量都为零．由⒀、⒁式得
Ａ＝ｖ
ｅｂ
，φ＝0．
带电粒子运动轨迹的三个参量方程为
ｘ＝ｖ
ｅｂｔ－（ｖ
ｅｂ
／ω）ｓｉｎωｔ，
ｙ＝（ｖ
ｅｂ
／ω）（1－ｃｏｓωｔ），
ｚ＝0．
二、带电粒子在正交的匀强电磁场中的运动图象
带电粒子运动轨迹在ｘＯｙ平面内，如图1中“0”曲线．如果粒子带负电，ω＜0，参量方程ｘ不变，而参量方程ｙ的符号相反，带负电粒子的运动轨迹跟带正电粒子运动轨迹关于ｘ轴对称．
图1
带电粒子（以下只讨论带正电）由坐标原点，沿ｘ方向，以不同速度射入电
磁场．它们的入射初速度只有ｘ方向分量ｖ
０ｘ
．它们的幅（Ａ／ω）和初相φ的值如下表中所示．
初速度ｖ
ｏｘ／ｖ
ｅ
ｂ
－1 0 0．5 1 1．5 2 3
幅Ａω－１／ｖ
ｅｂ
ω－１
2 1 0．5 0 0．5 1 2 初相φ0 0 0 0 πππ
带电粒子入射初速度分量ｖ
０ｘ的大小以选择速度ｖ
ｅｂ
对称（如0．5ｖ
ｅｖ
跟1．5
ｖ
ｅｂ
对称）时，它们的幅相等，初相差为．它们的运动轨迹都在ｘＯｙ平面，依次如图1中“－1”、“0”、“0．5”、“1”、“1．5”、“2”、“3”曲线所示．带电粒子由坐标原点射入，初速度既有ｘ方向分量，又有ｙ方向分量．设ｙ
方向分量等于1倍选择速度，ｖ
０ｙ＝ｖ
ｅｂ
．它在电磁场中运动轨迹的参量方程ｘ
和ｙ如⒂、⒃两式，ｚ＝0．轨迹在ｘＯｙ平面内，如图2所示，图中“0”、“1”、
“2”分别表示ｖ０ｘ＝0、ｖ０ｘ＝ｖｅｂ、ｖ０ｘ＝2ｖｅｂ时粒子的运动轨迹．带电粒子由坐标原点射入，初速度有三个方向的分量．它在电磁场中运动轨迹的参量方程由⒂、⒃、⒄三式确定．运动轨迹在同一平面内，轨迹跟如图1和
／ｖ如图2所示轨迹相似，只是轨迹平面绕ｙ轴向纸外或纸内转过ｔｇ－１（ｖ
０z
）角度．
０ｘ
图2
三、带电粒子在正交匀强电磁场中运动轨迹的分析
⑩、⑾、⑿三式和⒂、⒃、⒄三式表明带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动是以速度做匀速直线运动和以（Ａ／ω）为半径、ω为角速度的匀速圆周运动的合成．我们知道，一轮子在水平地面匀速滚动时，轮子上各点的运动是轮心的匀速直线运动和绕轮心的匀速圆周运动的合成．轮子上各点的运动轨迹是摆线，带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中的运动轨迹也应是摆线．
现有像火车轮那样的塔轮，大轮半径是小轮半径的两倍，如图3所示．小轮
的匀速直线运动，塔轮的在水平轨道Ｏｘ上匀速滚动．塔轮轮心Ｏ′做速度为ｖ
ｅｂ
／ｒ）．
角速度ω＝（ｖ
ｅｂ
图3
图4
初时刻大轮跟轨道接触点Ａ点的初速度为零，小轮最高点B点的初速度为2
ｖ
ｅｂ
．这两点的运动轨迹如图4所示．如果将B点运动轨迹向下平移2ｒ，这两点运动轨迹就是图1中的“0”和“2”两条带电粒子在电磁场中运动轨迹．
初始时刻小轮最高点Ｃ点有3ｖ
ｅｂ水平向前的初速度，大轮最低点Ｄ点有ｖ
ｅ
ｂ
水平向后的初速度．小轮上E点和F点在同一条竖直直径上，到轮心Ｏ′的距离
都为（ｒ／2），E点有1．5ｖ
ｅｂ水平向前的初速度，F点有0．5ｖ
ｅｂ
水平向前
的初速度．这四点的运动轨迹如图5所示．如果C点轨迹向下平移3ｒ，D点轨迹向上平移ｒ，E点轨迹向下平移1．5ｒ，F点轨迹向下平移0．5ｒ，其运动轨迹就是图1中“3”、“－1”、“1．5”和“0．5”四条带电粒子在电磁场中的运动轨迹．
图5
图6中，初时刻塔轮轮心在Ｏ′．塔轮上的P点到轮心的距离ＰＯ′＝ｒ，
Ｐ到水平轨道的距离ＰＯ＝2ｒ，圆心角φ＝（3／4）π．A是塔轮瞬时转轴．
图6
可以求得P点的初速度ｖ
０＝ｖ
ｅｂ
，它的ｘ方向分量ｖ
０ｘ
＝2ｖ
ｅｂ
，ｙ方
向的分量ｖ
０ｙ＝ｖ
ｅｂ
，P点的运动轨迹如图6中曲线所示．将P点的运动轨迹向
下平移2ｒ，就是图2中曲线“2”所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹．塔轮上Ｑ点（跟坐标原点O重合）、S点的运动轨迹分别跟图2中“1”、“0”两条曲线所示的带电粒子在电磁场中的运动轨迹相对应．
如果塔轮在水平轨道上匀速滚动，轨道又在ｘＯｚ平面内沿ｚ轴匀速移动，移动过程中保持轨道跟ｘ轴平行，塔轮上的点的运动轨迹跟初速度有ｚ方向分量的带电粒子在电磁场中运动轨迹相应．带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动跟匀速滚动的塔轮上的点的运动相似，运动的轨迹为摆线．。