自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
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法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
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j p5
p5
p3 p3
p2
z
p1
p2
z
p1
p4 p4
如图示，从复 数极点p4，p5 处出发的根轨 迹切线角称为 出射角
1.用相角条件确定根轨
迹上的点。
(sd p1)
p1
sd Z1 sd P1 sd P2 sd P3
18002q 1
(sd p3 ) p3
2. 用幅值条件确定根轨 迹上某一点所对应的 增益k1
•注意s平面的实轴，虚轴座标比
例要一致
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K1
Sd
P1
Sd P2 Sd Sd Z1
① 实验点sd左侧实 轴上零极点提供 00相角
可见当sd右侧23 实轴上有奇数个零极自动控点制原时理 ，sd是根轨迹上的点
例.绘制开环传递函数为
GS
SS
K1
1S
2
的单位反馈
系统的根轨迹
解： ① 开环极点 0，-1，-2 为根轨迹起点。
② 开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
③ 实轴上根轨迹：(-∞,-2],[-1,0]
S
nm
1
a1
S
b1
K1
1
S1
a1
b1
nm
S
K1
1 nm
*
根据二项式定理
1
a1 b1 S
1
nm
1
a1 b1
n mS
1 1 2! n m
1 nm
1
a1 b1 S
2
S
1
a1 b1
nm S
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代入*式得
S
1
a1 b1
n mS
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自动控制原理
法则2 根轨迹的分支数和对称性：根轨迹 的分支数与开环有限零点数m和开环有限点 数n中的大者相同。即等于系统的阶数，它 们是连续的，并对称于实轴。
[证明] 闭环系统特征方程根的个数即系统的阶数。
由根轨迹的定义知，开环系统某一参数从零变到无
穷时，闭环特征方程的根在s平面上变化的轨迹即
K1
1 nm
S
a1 b1 nm
1
K1 n m
j 2q1
e nm
把s=σ+jω代入上式得
a1 b1 nm
j
1
K nm 1
cos
2q 1 nm
j sin
2q 1
nm
即
a1 b1 nm
1
K nm 1
cos 2q 1 nm
1
K nm 1
sin
2q 1
nm
a1 b1
tg 2q 1 nm
j 1 n
1 或
n
S Pi
k1
i 1 m
S Pi i 1
SZj j 1
•绘制根轨迹的相角条件为
m
n
S Z j S Pi 1800 2q 1
j 1
i 1
q=0,1,2……
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例
j (sd p2 )
p2 sd sd p2
sd z1
(sd z1) z1
sd p1 sd p3
Sd Z j Sd Pi n m 1800 2q 1
1800 2q 1
nm
（q=0,1,2……，n-m-1）
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GSHS
K1 S Z1 S Z2 S S P1S P2 S
Zm
Pn
K1
S
m
m
Zj
S
m1
m
Zj
j 1
j 1
n
依据，凡满足上述两条件的必是特征方程的根， 必在根轨迹上。
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• 开环传递函数的两种因子形式
m
k1 S Z j
GS H S
j 1 n
S Pi
i 1
m
k Z j S 1
GS H S j 1
m
pi S 1
i 1
零极点形式 时间常数形式
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m
nm
tg
2q 1 nm
a1 b1 nm
渐近线方程
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推论：
① 渐近线与实轴交点
1
a1 b1 nm
Pi Z j
nm
Pi Z j nm
② 渐近线斜率
tg
2q 1
nm
q=0,1……,n-m-1
即渐近线倾斜角 2q 1 (q=0,1……,n-m-1)
nm
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4
常数
a 2
，对应于欠阻尼情况。
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绘制根轨迹的相角条件和幅值条件
R(s)
C(s)
闭环特征方程
-
G(s)
1＋G(S)H(S)=0
即G(S)H(S)=-1
H(s)
幅值条件：|G(s)H(s)|=1
相角条件：∠G(S)H(S)=±1800(2q+1) q=1,迹的重要
系 统无开环有限零点；
（2）实轴上根轨迹区间为[-，-5]，[-1，0]； （3）渐近线的条数为3，渐近线与实轴的交点和
交角为
n
m
a
i 1
pi
zj
j 1
nm
0 1 5 2 30
30
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a
(2k 1)
3
,
3
,
5
3
（4）分离点方程为:
1 1 1 0 d d 1 d 5
解上式求得分离点 d= -0.472 闭环系统的概略根轨迹见下图
K1 Z j
显然 K j 1
n
Pi
i 1
k1：零极点形式 K：时间常数形式
1
Zj
zj
j=1,2……m
1
Pj
pi
i=1,2……n
•绘制根轨迹时利用零极点形式比较方便，因为(s-zj)(s-pi) 在S平面上可以用相量表示。
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•绘制根轨迹的幅值条件为
m
k1 S Z j
闭环传递函数是有理分式函数，所以闭环特 征方程的根只有实数和复数。如果是实数， 则位于实轴上；如果是复数，必共轭，所以s 平面上的根轨迹对称于实轴。利用这一性质， 只需要绘制实轴上部的根轨迹，而实轴下部 的根轨迹可由对称性绘出。
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法则3 根轨迹的渐近线
如果系统的有限开环零点数m少于其开环极点数n，则当根迹
自动控制原理
第四章 线性系统的根轨迹法
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性 能与闭环极点在S平面上的位置是密切 相关的，分析系统性能时往往要求确定 闭环极点位置。另一方面分析设计系 统时经常要研究一个或者多个参量在一 定范围内变化时对闭环极点位及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS（依万斯）首先提出了求解 特征方程式根的图解法─根轨迹法。
(k=0,1,2)
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例、确定下列闭环特征方程式根轨迹的分离点和会合点。
1
K1S 4 SS 2
0
解:
SS 2
K1 S 4
dk1 ds
2S
2S 4 SS S 42
2
2S 2
10S 8 S 2
S 42
2S
S 2 8S 8
S 42
0
S1,2 8
64 32 4 2 2
S
n
Pi S n1
n
Pi
i 1
i 1
K1
n
m
S
nm
Pi
Zj
S
nm1
i 1 j 1
S
K1
S nm Pi Z j S nm1
a1
b1
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可以只考虑高次项 GSHS1 0
即：
K1
S nm Pi Z j
S nm1 1 0
1、当k1=0时，s1,2=0,-a，即开环极点
2、当0
k1
a2 4
时s1,2为不相等的负实根
3、当 k1
时 a2
4
s1,2
a 2
4、当 k1
a2 4
时s1,2为共轭复根，实部为
a 2
j
规定：以“o”表示零点， “×”表示极点，箭头为k增 大时闭环极点变化方向。
(s-a)
(s-0)
p1=a
p1=0
法则1：根轨迹的起点为n个开环极点 (KI=0时)，根轨迹的终点(KI→∞时) 有m个趋向开环零点，n-m个趋向无穷 远处。
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自动控制原理
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自动控制原理
证明：根据幅值条件
n
KI=0时，只有s=Pi才能满足 幅值条件，故根轨迹起点为
开环极点Pi(i=1,2,…,n)
S Pi
K1
i 1 m
根轨迹。所以根轨迹的分支数与特征方程式根的数
目一致，由式
n
m
(s pi ) K* (s z j ) 0
i1
j 1
知，根轨迹的分支数必然等于m和n中的大者，亦即 系统的阶数
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根轨迹增益K*从零到无穷变化是连续的，说 明系统闭环特征方程的根应该是连续变化的， 那么s平面上的根轨迹也是连续的。
SZj j 1
KI→∞时，只有s=zj才能满 足幅值条件，故根轨迹有m 条终点是开环零点，另外nm条趋向无穷远处，这是因 为（幅值条件又可以表示
为）：
K1
S n a1S n1 an1S an S m b1S m1 bm1S bm
上式表明：只有当s→∞时
KI→∞，故有n-m个根轨迹分 支，趋向无穷远处。
d1
×
×
零点可能位于无穷远处）之间， -4 -3 -2 -1
0
在这两个极点或零点之间必然存 在分离点，如右图所示。
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式（4-20）除式（4-21）得：
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自动控制原理
例：求上例分离点。
解：开环极点为0、1、 2，无开环零点
则有分离点方程：1 1 1 0 s s 1 s2
s2
2s
增益K*→∞时，趋向无穷远处根轨迹的渐近线共有n-m条。这
些渐近线
n
m
与实轴上的交点坐标为 a
pj
zi
( j 1
i1 , j0)
nm
与实轴正方向的夹角为 180 (2k 1) , (k 0,1, 2,, n m 1)
nm
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自动控制原理
证明：当试验点sd离原点很远时，有限零 极点到该实险点的相角可以认为是相等 的(记为φ)，根据相角条件得：
P3
按照上述方法逐点找出根轨迹的许多点，实际上非常 麻烦，而且易产生错误。
实际上要找出根轨迹的一些特征，它们是： ① 根轨迹分支数。 ② 起点，终点。 ③ 实轴上根轨迹。 ④ 无穷远处状态。 ⑤ 分离点，汇合点。 ⑥ 离开复极点出射角，进入复零点的入射角。 ⑦ 与虚轴交点。
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自动控制原理
4-2 根轨迹绘制的基本法则
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自动控制原理
法则5 根轨迹上的分离点：两条或两条以上 根轨迹在s平面相遇又分开的点被称为根轨迹 的分离点。分离点坐标d是下式解。
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
jω
根轨迹对称于实轴，分离点要么 位于实轴，要么以共轭复数对形
式出现。如果根轨迹位于实轴上
两个极点之间或两个零点（一个
2 3
0
s1,2
1
3 3
分离点必在0，-1之间,所以s1＝-0.423为分离点。
代入得KI=0.385
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例 单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(s)
K*
s(s 1)( s 5)
试绘制闭环系统的概略根轨迹。
解：按下述步骤绘制概略根轨迹： （1）系统开环有限极点为p1=0，p2=-1，p3=-5，
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自动控制原理
z p
m
n
PK Z j Pk Pi
j 1
i 1
ik
同理可证复数极点的入射角为 Z 1800
a/2
4
自动控制原理
小结：
1、二阶系统根轨迹有两条，k1=0时分别从开环极点p1=0，
p2=-a开始。
2、K从0→ a2
4
s1,2沿相反方向向
a 2
,
j 0 移动，闭环极点均
在负实轴上，相当于过阻尼情况。
3、k a2
4
两极根轨迹在 a , j0 会合，相当于临界阻尼。
2
4、k a2 两根轨迹离开实轴，变为共轭复根其实部保持
④ 渐近线倾斜角： 2q 1 2q 1
nm
3
(q=0,1……,n-m-1)
1 600 2 1800 3 3000
⑤ 渐近线与实轴交点：
1
Pi zi nm
0 1 2 1
3
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根轨迹如图所示：
j b p1 2 p1 1 p1 0
问题： (1)根轨迹与实轴分离点。 (2)根轨迹虚轴交点。