工程流体力学(袁恩熙)课后知识题目解析

工程流体力学练习题
第1章
1-1解：设：柴油的密度为ρ，重度为γ；40C 水的密度为ρ0，重度为γ0。

则在同一地点的相对密度和比重为：
0ρρ=
d ，0
γγ=c 30/830100083.0m kg d =⨯=⨯=ρρ
30/81348.9100083.0m N c =⨯⨯=⨯=γγ
1-2解：33
6
/126010
1026.1m kg =⨯⨯=-ρ
3/123488.91260m N g =⨯==ργ
1-3解：269/106.191096.101.0m N E V
V
V V
p p V V p p p ⨯=⨯⨯=∆-
=∆-=∆⇒∆∆-=ββ 1-4解：N m p V V p /105.210
4101000295
6
--⨯=⨯=∆∆-=β 299
/104.010
5.21
1m N E p
p ⨯=⨯=
=
-β 1-5解：1）求体积膨涨量和桶内压强
受温度增加的影响，200升汽油的体积膨涨量为：
()l T V V T T 4.2202000006.00=⨯⨯=∆=∆β
由于容器封闭，体积不变，从而因体积膨涨量使容器内压强升高，体积压缩量等于体积膨涨量。

故：
2
6400/1027.16108.9140004
.22004
.2m N E V V V V V V p p T T p
T
T ⨯=⨯⨯⨯+=∆+∆-
=∆+∆-
=∆β
2）在保证液面压强增量0.18个大气压下，求桶内最大能装的汽油质量。

设装的汽油体积为V ，那么：体积膨涨量为：
T V V T T ∆=∆β
体积压缩量为：
()()T V E p V V E p
V T p
T p p ∆+∆=∆+∆=
∆β1 因此，温度升高和压强升高联合作用的结果，应满足：
()()⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛∆-
∆+=∆-∆+=p T p T E p T V V T V V 1110ββ ()())(63.197108.9140001018.01200006.01200
1145
0l E p T V V p T =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯⨯-⨯⨯+=
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆-∆+=
β
()kg V m 34.1381063.19710007.03=⨯⨯⨯==-ρ
1-6解：石油的动力粘度：s pa .028.01.0100
28
=⨯=
μ 石油的运动粘度：s m /1011.39
.01000028.025-⨯=⨯==
ρμν 1-7解：石油的运动粘度：s m St /1044.0100
40
25-⨯===
ν 石油的动力粘度：s pa .0356.010
4100089.05
=⨯⨯⨯==-ρνμ
1-8解：2/1147001
.01
147.1m N u
=⨯
==δ
μ
τ 1-9解：()()2/5.1621196.012.02
15
.0065.021m N d D u
u
=-⨯
=-==
μ
δ
μ
τ
N L d F 54.85.16214.01196.014.3=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=τπ
第2章
2-4解：设：测压管中空气的压强为p 2，水银的密度为1ρ，水的密度为2ρ。

在水银面建立等压面1-1，在测压管与容器连接处建立等压面2-2。

根据等压面理论，有
21p gh p a +=ρ （1）
gz p z H g p 2221)(ρρ+=++（2）
由式（1）解出p 2后代入（2），整理得：
gz gh p z H g p a 2121)(ρρρ+-=++
)
(559.08
.91360018.91000105.1745.08.9136004121水银柱mm g
gH
p p h a =⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯=--=
ρρ
2-5解：设：水银的密度为1ρ，水的密度为2ρ，油的密度为3ρ；4.0=h ，6.11=h ，3.02=h ，5.03=h 。

根据等压面理论，在等压面1-1上有：
()
Pa
h h h g p gh p p gh h h h g p a a 55
321231031321201039.15.03.06.18.91000100013.15.08.913600)
()(⨯=++⨯⨯-⨯+⨯⨯=++-+=+=+++ρρρρ
在等压面2-2上有：
()
m
h
h H p gH gh gh p 5.1800
4.06.110003
212032120=-⨯=
-=++=+ρρρρρρ
2-6解：设：甘油的密度为1ρ，油的密度为2ρ，4.0=h 。

根据等压面理论，在等压面1-1上有：
m h h H p h g h H g p 26.1700
7
.012604.0)(210120=⨯+=∆+
=+∆=-+ρρρρ 2-7解：设：水银的密度为1ρ，油的密度为2ρ。

根据等压面理论，当进气关1通气时，在等压面1-1上有：
011120p h g gH p +∆=+ρρ（1）
当进气关2通气时，在等压面1-1上有：
021220
p h g gH p '+∆=+'ρρ（2） 式（1）-式（2），得：
()()
()()a
h h g H H h h g g h h g H H g 2112
121122211212∆-∆=
-∆-∆==∆-∆=-ρρργρρ
2
122212212h h a
h h g g h g H ∆-∆∆=∆=∆=
γρρρ
2-8解：设：水银的密度为1ρ，热水的密度为2ρ，锅炉内蒸汽压强为1p ，大气压强为0p 。

根据等压面理论，在等压面1-1上有：
0211p gh p +=ρ（1）
在等压面2-2上有：
012221p gz gz p +=+ρρ（2）
将式（1）代入（2），得：
01222210p gz gz gh p +=++ρρρ
2
2
1211ρρh z z h =
-= 2-9解：设：水银的密度为1ρ，水的密度为2ρ。

根据等压面理论，在等压面1-1上有：
()1212-++=++h Z g p gh gZ p A B A A ρρρ
()()()Pa
gh h g gh
gZ h Z g p p A A B A 512122107154.05
.08.91360015.08.9100011⨯-=⨯⨯--⨯⨯=--=---+=-ρρρρρ
2-10解：设：水银的密度为1ρ，油的密度为2ρ。

根据题意，有：
22p gZ p A A +=ρ（1） ()32p h Z g p A B +∆+=ρ（2）
根据等压面理论，在等压面1-1上有：
312p h g p +∆=ρ（3）
将式（3）代入（1），得：
312p h g gZ p A A +∆+=ρρ（4）
将（4）-（2），得：
()()Pa
h
g p p B A 98125.08.9920100021=⨯⨯-=∆-=-ρρ 2-11解：设：水的密度为1ρ，油的密度为2ρ。

根据题意，有：
()21p h Z g p B A +∆+=ρ 221p h g gZ p B B +∆+=ρρ
()()Pa
h
g p p B A 98125.08.9920100021=⨯⨯-=∆-=-ρρ 2-12解：设：手轮的转数为n ，则油被压缩的体积为：
nt d V 24
π
-
=∆
根据压缩性，有：
68.222.014
1075.43001025044210522
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=⇒∆=∆∆-=-ππβπβt d pV n pV
nt
d p V V P P 2-13解：设：水银的密度为1ρ，水的密度为2ρ。

根据等压面理论，在等压面1-1上有：
gz p gh p p gh gz p 201012ρρρρ-+=⇒+=+
当测压管下移z ∆时，根据压缩性，在等压面1-1上有：
()()()z
h g z g gh g
p z z g gz p gh g
p z z g p h p h g z z g p ∆+=∆+=-∆++-+=
-∆++='+'=∆++1
2121
10
220110
2012ρρρρρρρρρρρρρ
2-14解：建立坐标如图所示，根据匀加速直线运动容器中相对静止液体的等压面方程，有：
c ax gz =--ρ
设x=0时，自由界面的Z 坐标为Z 1，则自由界面方程为：
x g
a z z -
=1 设x=L 时，自由界面的Z 坐标为Z 2，即：
()2212112/633.13
.005.08.9s m L gh L z z g a L g a
z z L g a z z =⨯==-=⇒=-⇒-
= 2-15解：根据题意，容器在Z 方向作匀加速运动。

建立坐标如图所示，根据匀加速直线运动容器中相对静止液体的压强方程，有：
c Z a p dz a dp z z +=⇒=ρρ
当Z=0时，p=p 0。

则
0p Z a p z +=ρ
1）容器以6m/s 2匀加速向上运动时，8.1568.9=+=z a ，则：
Pa p 11580010118.1510005=⨯+⨯⨯=
2）容器以6m/s 2匀加速向下运动时，8.368.9=-=z a ，则：
Pa p 10380010118.310005=⨯+⨯⨯=
3）容器匀加速自由下落时，0.08.98.9=-=z a ，则：
Pa p 10000010110.010005=⨯+⨯⨯=
4）容器以15m/s 2匀加速向下运动时，2.5158.9-=-=z a ，则：
Pa p 9480010112.510005=⨯+⨯⨯-=
2-16解：建立坐标如图所示，根据匀速旋转容器中相对静止液体的液面等压面方程，有：
2
2021r g
z z ω+=
式中r=0时，自由界面的Z 坐标为Z 0。

1)求转速n 1
由于没有液体甩出，旋转前后液体体积相等，则：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⨯⨯⨯⨯=⎰422
02
/0
12
168181224D g D Z dr z r h D D ωπππ
2
201161D g
Z h ω+=
2
210161D g
h Z ω-= （1）
当式中r=R 时，自由界面的Z 坐标为H ，则：
2
2081D g
z H ω+= （2）
将式（1）代入（2），得：
()()s
rad D g h H D
g
D g h H /667.183.08
.93.05.01616811612
212
2221=⨯-⨯=-=+-=ωωω
min /25.1782667.18602601r n =⨯==
π
πω 2)求转速n 2
当转速为n 2时，自由界面的最下端与容器底部接触，z 0=0。

因此，自由界面方程为：
22
221r g
z ω=
当式中r=R 时，自由界面的Z 坐标为H ，则：
s rad gH R R g H /87.205.08.9215
.0121212222=⨯⨯==⇒=ωω
min /29.199287
.206026022r n =⨯==
π
πω m D g h 25.03.08
.987.20161161222
222===ω
2-17解：建立坐标如图所示，根据题意，闸门受到的液体总压力为：
N B H g
P 5.165375.15.12
1
8.910002122=⨯⨯⨯⨯==ρ 在不考虑闸门自重的情况下，提起闸门的力F 为：
N P F 25.115765.165377.0=⨯==μ
2-18解：建立坐标如图所示。

闸板为椭圆形，长半轴d d b 2
1
45sin 210
==
，短半轴d a 2
1
=。

根据题意，总压力P 为： N gy ab P c 1665458.98502
6.03.045sin 0=⨯⨯⨯⨯
⨯==πρπ
闸板压力中心为：
m H d H H b
H ab H ab H S y J y y C CX C P 077.745sin 56
.08145
sin 545sin 8145
sin 45sin 4145sin 45sin 445sin 0
20
20
02
003
0=+=+=+=+=+=ππ
在不考虑闸板自重的情况下，提起闸板的力F 为：
N d P d H y F P 119416
.0166546.02145sin 5077.7)2145sin (0
0=⨯⎪⎭⎫
⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
2-19解：建立坐标如图所示。

油罐端部的投影为园形，直径为D=2.54m 。

根据题意，总压力P 为：
N D gZ P c
4.5109754.24
2.0254.28.9700422=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯==ππ
ρ 压力中心为：
m
D D
D D
D D D S y J Z Z C CX C P 744.12.02
54.254.2161
2.02
54.22.0216
12.0242.02642.022
2
2
4
=+++=+++=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=ππ
2-20解：1）求液面高度：
m D V
H 9736.4164
1000
4
2
2
==
=
π
π
设下圈高度为dz ，受到的压力为：
gHDdz Ddz p T ρ+=0
2）求下圈受到的拉应力
e
gHD D p edz gHDdz Ddz p edz T
22200ρρσ+=
+==
2）求下圈壁厚e
根据强度理论，有[]σσ≤，则：
[]m gHD D p e 3
8
501063.210
176.12169736.48.9800161008.02-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+≥σρ 2-21解： 建立坐标如图示。

总压力的作用点的 z 坐标为：
H
h H
H h BH
H h BH H h BH
Z J Z Z C CX
C P 2
11212
12112
1
21
2
3
-+
-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+-=+
= 闸门能自动打开，要求
2
12
12
4.02
H h H
H h Z h P -
+
-=>- m H H H h 333.14.02
12.0314.0212.031=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-> 2-22解： 1）求上半球受到的液体总压力
根据压力体理论，上半球受到的液体总压力为：
()N P 410501321118.9100032=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⨯-⨯⨯+⨯⨯=ππ
上半球受到的液体总压力即为螺栓受到的总拉力。

2-23解：设：油面蒸汽压为p 0，油的密度为ρ。

建立坐标如图所示。

1）A-A 截面上的作用力
()N
L D D DL g DL p P Z 11008566498310358736.92.282.01.16.92.28.97206.92.2368.08.91360082.02220=+=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππρ
2）B-B 截面上的作用力
N
L
D D g DL p P X 122960319373010358736.92.22.022.28.97206.92.2368.08.9136002.020=+=⨯⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+=ρ
2-24解：根据题意，得
)(4
4
2122Z H d g
mg d gH
-=+π
ρπ
ρ
()
()
m d d g
Z
d g mg H 059.102.01.04
8.975015
.01.04
8.97508.9100.04
4
2
2222
2121=-⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=
-+=
π
π
π
ρπ
ρ
2-25解：根据题意，得
2122220
4
4
4
4
d p H d g
mg H d g
d p gV AB
π
π
ρπ
ρπ
ρ++=++
()()()
Pa
d gV
H H d g
mg p p AB 47.459371.04
1
251.0418.91000215.0348.9100085004
4
22
3
2
2120=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=
--+=
-ππππ
ρπ
ρ 真空度为：
m g p p H AB s 688.48
.9100047
.459370=⨯=-=
ρ
真空度大于4.688m ，球阀可打开。

2-26解：根据题意，得：
mg h d V g =⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
24π
ρ m d V
m h 08185.002.04
7001010700025.04
2
6
2
=⨯⨯
⨯⨯-=
-=
-π
π
ρ
ρ
2-27解：设：木头的密度为1ρ，水的密度为ρ。

根据题意，得
()mg dLn g =--41πρρ
()()39.1010
25.04
8.9800100010000
4
221=⨯⨯⨯
⨯-=-=
π
π
ρρL
d g
mg
n
取n=11
第三章
补充题：
1．在任意时刻t 流体质点的位置是2
5t x =，其迹线为双曲线25=xy 。

质点速度和加速度在x 和y 方向的分量是多少？
2．已知速度场t yz u x +=，t xz u y +=，xy u z =。

试求当t=0.5时在x=2，y=1，z=3处流体质点的加速度。

3．已加欧拉方法描述的流速为：xt u x =，y u y =。

试求t=0时，过点（100，10)的流体质点的迹线。

4．流体运动由拉格朗日变数表达式为：t
ae x =，t be y -=，c z =。

求t ＝1时，位
于(1，l ，1)的流体质点及其加速度和迹线；求t ＝1时，通过(1，l ，1)的流线。

5．给定二维流动：()j t kx i u u
αυ-+=cos 00，其中αυ、、、k u 00均为常数。

试求在t ＝0时刻通过点(0，0)的流线和迹线方程。

若0→α、k ，试比较这两条曲线。

6．已知不可压缩流场的势函数2
2
ay bxy ax -+=ϕ，试求相应的流函数及在（1,0）处的加速度。

7．已知不可压缩流场的流函数3
2
3y y x -=ψ，试求证流动为无旋流动并求相应的势函数。

8．给定拉格朗日流场：k
t ae
x /2-=，k
t be
y /=，k
t ce
z /=，其中k 为常数。

试判断：
①是否是稳态流动；②是否是不可压流场；③是否是有旋流动。

9．已知不可压缩流体的压力场为：
)/(5242223m N z yz y x p +--=
若流体的密度p ＝1000kg ／m 3，则流体质点在(3，1，-5)位置上的加速度如何？（g ＝-9.8m
／s 2）
10．理想不可压缩均质流体作无旋运动，已知速度势函数：
2
2
2
2z
y x t ++-
=ϕ
在运动过程中，点(1，1，1)上压力总是p 1＝117.7kN ／m 2。

求运动开始20s 后，点(4，4，2)的压力。

假设质量力仅有重。

11．不可压缩流体平面射流冲击在一倾斜角为θ=600的光滑平板上，如图所示。

若喷嘴出口直径d=25mm ，喷射流量s m Q /0334.03
=，试求射流沿平板两侧的分流流量1Q 和2Q ，
以及射流对平板的作用力（不计水头损失）。

补充题答案：
1．解：因流体质点的迹线25=xy ，故：2525
-==
t x
y t t x u x 10=∂∂=，1022=∂∂=t x a x ，3
10--=∂∂=t t
y u y ，42230-=∂∂=t t y a y
2．解：根据欧拉方法，空间点的加速度为：
()()zt xy xz y xy z t xz t yz z u
u y u u x u u t u dt du x z x y x x x x +++=⨯+++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=22101 ()()zt
y x yz x xy t xz z t yz z u u y u u x u u t u dt du y
z
y
y
y
x
y
y
+++=⨯+⨯++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=22101 ()()yt
xt z x z y xy x t xz y t yz z u
u y u u x u u t u dt du z z z y z x z z +++=⨯+⨯++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=2200 t=0.5时在x=2，y=1，z=3处流体质点的加速度为：
()()
5.22053132112222=⨯++⨯+=+++=zt y z x dt
du x
()()
5.155.03231112222=⨯++⨯+=+++=zt x z y dt du y
()()()
()5.1605121232222=⨯+++⨯=+++=t y x y x z dt
du y
3．解：根据欧拉方法与拉格郎日方法的转换关系，有：
221
12
2
1ln t e c x c t x xt dt dx =⇒+=⇒= t e c y c t y y dt
dy
2ln =⇒+=⇒= 当t=0时，过点（100，10)的流体质点的拉格郎日变数为：1001=c ，102=c 。

故该质点的迹线方程为：
22
1100t e
x =，t
e y 10=
4．解：1）求t ＝1时，位于(1，l ，1)的流体质点及其加速度和迹线
流体质点的拉格郎日变数为e
a 1
=
，e b =，1=c 。

该流体质点的速度和加速度为 11=⨯==∂∂=e e ae t x u t
x ，1122=⨯==∂∂=e e ae t x a t x
11-=⨯-=-=∂∂=-e e be t y u t
y ，1122=⨯==∂∂=-e e be t y a t y
0=∂∂=t
z
u z ，022=∂∂=t z a z
迹线方程为：1
-=t e x ，1
+-=t e
y ，1=z ；即1=xy 。

2）求流线
根据拉格郎日方法与欧拉方法的转换关系，得：
t x ae t x u =∂∂=
，t y be t y u --=∂∂=，0=∂∂=t
z
u z （1） t xe a -=，t ye b =，z c =（2）
将式（2）代入（1），得：
x u x =，y u y -=，0=z u
根据流线方程，有：
c xy c y x y
dy x dx =⇒+-=⇒=1ln ln t ＝1时，流线通过(1，l ，1)点，则：c=1。

即流线方程：
1=xy
5．解：1）求流线
()()c y u t kx k t kx dy u dx +=-⇒-=0000sin 1cos υααυ ()10
sin c t kx ku y +-=
αυ
当t ＝0时流线通过点(0，0)，c1=0。

流线方程：
()kx k
u y sin 00
υ=
2）求迹线
100c t u x u dt
dx
+=⇒= ()()()2
1000
1000sin cos cos c t kc t ku ku y t kc t ku t kx dt dy
+-+--
=-+=-=αα
υαυαυ
当t ＝0时流体质点在点(0，0)，c 1=0，c 2=0。

迹线方程：
t u x 0=，()t t ku ku y αα
υ--=
000
sin
3）若0→α、k ，流线为：
x u y 0
υ=
迹线为：
t u x 0=，t y 0υ=
x u y 0
υ=
流线与迹线重合。

6．解：1）求流函数 根据势函数的性质，有：
by ax x
u x +=∂∂=
2ϕ
ay bx y
u y 2-=∂∂=
ϕ
根据流函数的性质，有：
()()()bx x x c ay bx x x c ay ay bx x u x c by axy by ax y u y x -=∂∂⇒-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂+-⇒-=∂∂-
=++=⇒+=∂∂=
11122222
1
22ψψψ
()c bx x c +-=2121
c bx by axy +-+=222
1
212ψ
2）求（1,0）处的加速度
()()2
22244222b a x b x a b ay bx a by ax y u u x u u t u dt du x y x x x x +=+=⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂= ()()()0
422222=+=-⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y a y b a ay bx b by ax z u u y u u x u u t u dt du y
z y y y x y y 7．解：1）求证流动为无旋流动 根据流函数的性质，有：
2233y x y
u x -=∂∂=
ψ
xy x
u y 6-=∂∂-
=ψ
根据旋度，有：
()066=---=∂∂-
∂∂y y y
u x
u x
y 旋度=0，流动为无旋流动。

2）求势函数
()y c xy x y x x
u x +-=⇒-=∂∂=
2322333ϕϕ
()()1666c y c xy y
y c xy xy y u y =⇒-=∂∂+-⇒-=∂∂=
ϕ 1233c xy x +-=ϕ
8．解：1）将拉格朗日方法转换为欧拉方法
k t x e k a t x u /22--=∂∂=
，k t y e k b t y u /=∂∂=，k
t z e k
c t z u /=∂∂= 解拉格朗日变数：
k t xe a /2=，k t ye b /-=，k t ze c /-=
欧拉方法表示的流场：
x k u x 2-
=，y k u y 1=，z k
u z 1= 因
0=∂∂=∂∂=∂∂t
u t u t u z
y x ，是稳态流动。

因0112=++-=∂∂+∂∂+∂∂k
k k z u y u x u z y x ，是不可压流场。

因
0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-
∂∂x
u
z u z u y u y u x
u z x y z x y ，是无有旋流动。

9．解：根据理想流体运动微分方程，有
()
108.03100012
12524112
2223=⨯=
-=+--∂∂-=∂∂-=x z
yz y x x x p
F dt du x x ρ
ρρ
()
()
()()
029.0541000141
524112
2
223=----
=---=+--∂∂
-
=∂∂-
=z y z yz y x y y
p F dt du y y ρ
ρρ
()
()()()815.955121000
1
8.9521
52411223-=+-⨯⨯--
-=+---=+--∂∂
--=∂∂-=yz g z
yz y x z g z
p
F dt du z z ρ
ρρ
10．解：根据势函数，有
()
2
3222
2z y x tx
x u x ++=∂∂=
ϕ
()
2
3222
2z y x ty
y u y ++=∂∂=
ϕ
()
2
3222
2z
y x
tz
z
u z ++=∂∂=
ϕ
求各加速度分量：
()()
()
()
()()()()()()
()()()()
3
2
22
2
2
322
2
2
2
3
2
2
4
22
2
22
322
2
2
522
2
2
322
2
25222
2
3222
2
522
2
2
222
322
2
2
322
2
82121224262622222z y x
xt z
y x
x
xz xy x xz xy z y x t z y x x
z y x txz
z y x tz
z y x
txy z y x ty z y x
x z y t z y x
tx
z
y x x
z u
u y u u x u u t u dt du x z x y x x x x ++-
++=
---++++
++=
++⨯++-
++⨯
++-
++-+⨯+++
++=∂∂++∂∂+∂∂+∂∂=
()()()()()()()()
()()
()()()()
3
2
22
2
2
322
2
2
3
2
2
2
4
22
2
2
2
322
2
2
522
2
2
322
2
2
522
2
2
2
2
2
322
2
2
522
2
2
322
22
322
2
82122412262222622z y x
yt z
y x
y
yz y yz yx y x z y x t
z y x y
z y x tyz
z y x tz z y x z y x t z y x ty
z y x txy
z y x tx
z y x y
z u u y u u x u u t u dt du y z
y y
y x
y y ++-
++=
--++-+++
++=
++⨯
++-+++-⨯+++
++⨯
++-
++=
∂∂++∂∂+∂∂+∂∂=
()(
)(
)
()()()(
)()()()
()()()()
3
2
22
2
2
322
2
3
2
2
2
2
4
22
2
22
322
2
2
522
2
2
222322
2
2
522
2
2
322
2
2
5
2
2223
2222322282241212222262622z y x
zt z
y x
y
z zy zx z y z x z y x t z y x y
z y x z y x t z y x tz
z y x
tyz
z y x ty z y x txz
z y x tx z y x z z
u
u y u u x u u t u dt du z z z y z x z z ++-
++=
-++--+++
++=
++-+⨯
++-
++⨯
++-
++⨯++-++=∂∂++∂∂+∂∂+∂∂=
根据理想流体运动微分方程，有
()()
(
)()
()⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡
+++-
++=∂∂=
+++
++-
∂∂-=t z y c z y x
t z
y x p x p z y x
xt z
y x
x
x p
F dt du x z ,,22
182112
2
22
2
2
12223
22
2
2
2
3
222
ρρρ
()
()
(
)()
()⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+++-
++∂∂=
+++
++-
∂∂-=t z y c z y x
t z
y x y z
y x
yt z
y x
y
y
p F dt du y y ,,2282112
2
22
2
2
12
223
22
2
2
2
322
2
ρ
()()()t z c t z y c y
t z y c ,,,0,,211=⇒=∂∂
(
)()
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡
+++-
++=t z c z y x
t z
y x p ,22
22
2
22
2
2
1222ρ
()
()
()
()
()⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡+++-
++∂∂+
=+++
++-
∂∂-=t z c z y x
t z y x y g z
y x
zt z
y x
z
z p
F dt du z z ,2282122
2
22
2
2
1
222
3
22
2
2
2
3
22
2
ρ()()()t c gz t z c g z
t z c 322,,+-=⇒-=∂∂
(
)()
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡
+-++-
++=t c gz z y x
t z
y x p 32
2
22
2
2
122222
ρ
在运动过程中，点(1，1，1)上压力总是p 1＝117.7kN ／m 2。

因此
(
)()
()()9
2332111
21
112
2
1
332
2
22
2
2
12221t g p t c t c g t p +
-+=⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+-++-
++=ρρ
(
)()
()⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
-+--++-
++=92332122
21
2
2
22
2
2
1222t p z g z y x
t z
y x p ρρ 运动开始20s 后，点(4，4，2)的压力为：
()()()kPa
p 35.19592023321000107.1178.93620231100092023321000107.117128.924420224421000232
2232222221222=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⨯+-⨯+-⨯-⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯+-⨯-++⨯-++⨯=
第二种解法：
由于流动为无旋流，根据拉格朗日积分，同一时刻流场中任意两点间的关系有：
ρ
ϕρϕ22222112112121p
gz u t p gz u t +++∂∂=+++∂∂ 因：
2222
z
y x t ++-
=∂∂ϕ ()
2
3222
2z y x tx
x u x ++=∂∂=
ϕ
()
2
3222
2z y x ty
y u y ++=∂∂=
ϕ
()
2
3222
2z
y x
tz
z
u z ++=∂∂=
ϕ
则点(1，1，1)的相关量为：
32
1
1122221-
=++-=∂∂t ϕ ()
332111
22
3
222
t t
u u u z y x =
++=
==
3
233
3222
2t t u u u u z y x =
⨯=
++= 点(4，4，2) 的相关量为：
31
24422
222-=++-=∂∂t ϕ ()
272444
22
3
22
2
2t t u x =
++⨯⨯=
()
272444
22
3
22
2
2t t u y =
++⨯⨯=
()
54
2
44
2
22
322
2
2t t u z =
++⨯⨯=
18
4111272
222222t t u u u u z y x =++⨯=
++= 故：
ρ222
3228.91821311000107.11718.99232
p t t +⨯+⨯+-=⨯+⨯++- kPa p m p 35.195100035.19535.1951000107.1178.920182192323123222
=⨯==⨯+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-=ρ 11．解：根据题意，得：
()s m d Q /04.68025.04
0334
.04
2
2
0=⨯=
=
π
π
υ
根据伯努里方程，有：
102
112
0022υυυρυρ=⇒+=+g
g p g g p 20222
0022υυυρυρ=⇒+=+g
g p g g p 根据动量方程，有：
θυρυρυρcos 002211Q Q Q R x --= ()θυρθυρsin sin 0000Q Q R y =-⨯-=
由于在大气环境下，0=x R 。

因此
0cos 021=--θQ Q Q （1）
根据不可压缩流体的连续性方程，有：
0021=-+Q Q Q （2）
式（1）+（2）得：
()()
s m Q Q /02505.060cos 10334.02
1
cos 1213001=+⨯⨯=+=
θ 故
s m Q Q Q /00835.002505.00334.03102=-=-=
N Q R y 196860sin 04.680334.01000sin 000=⨯⨯⨯==θυρ
根据作用与反作用的关系，平板受力为：
N R F y y 1968-=-=
第三章
3-1解：
4322310
23
1
0xy xy xy y y xy z
u
u y u u x u u t u dt du x z x y x x x x =⨯+⨯-⨯+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= ()
523
23
103
100y xy y y xy z
u u y
u u x
u u t u dt
du y z
y y
y x
y y =⨯+-⨯-⨯+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=
3
323
20
3
1
0xy xy x y y xy z
u
u y u u x u u t u dt du z z z y z x z z =⨯+⨯-⨯+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 当()()3,2,1,,=z y x 时，加速度为：
316
21313144=⨯⨯==xy dt du x 3
32
2313155=⨯==
y dt
du y
3
1621323233=⨯⨯==xy dt du x
3-2解：
2
2
2
2
22y x x B dy y x y B dx u du u du y
y
x x +⨯=
+⨯=ππ
C
y x x dy y dx =-=22
3-4解：
m u
Q
d d Q
u 166.08
.080036001000
50444
2
=⨯⨯⨯⨯
=≥
⇒≤
πππ
3-5解：由于吸入管直径大于排出管直径，根据连续性原理，排出管中液体流速大于吸入管中液体流速。

设排出管中液体流速为u 1=0.7，
s m u d Q d Q
u /105.57.01.04
4
4
3321212
11-⨯=⨯=
≤
⇒≤
π
π
π
设吸入管中液体流速为u 2为：
s m d Q
u /311.015.04
105.54
2
3
22
2=⨯=
=
-π
π
3-6解：若液位不变，取水平出流管的中心Z 坐标为零，则液位高度为：
m h 163.88
.91000108.05
=⨯⨯=
根据伯努里方程，有：
g
u g p g u g p z 222
2
22111+=++ρρ
z 1=h 时，u 1=0，表压p 1为零。

因此
()s m g p z g u /324.68.91000106.0163.88.9225212=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ρ
()
s m u d Q /1015.7324.6012.04
4
34222-⨯=⨯⨯=
=
π
π
3-7解：取B 容器出水管口的Z 坐标为零，根据伯努里方程，有：
g
u g p g u g p z 222
2
22111+=++ρρ
z 1=H 时，u 1=0。

p 1= p 2。

因此
()s m gH u /668.738.9222=⨯⨯==
管径为：
()m u Q d d Q u 068.0668.73600100
444
222=⨯⨯
==⇒=πππ 水平管中的绝对压强由下式求得：
5
25212
110412.08.92668.768.9100010138.9100022⨯=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+
+=+g u z g p H g p g
u g p z g p H ρρρρ Pa p p 555110588.010110412.0⨯-=⨯-⨯=-
3-8解：取水管中心的Z 坐标为零，根据伯努里方程，有：
()
ρ
ρρ121221122p p u g
p g u g p -=⇒=+
根据等压面原理，有：
()h
g p p h
g gz p h g gz p A A ∆-'=-∆+-=∆'+-ρρρρρρ1221
()()()s m h
g u /028.71000
2
.08.9100013600221=⨯⨯-=
∆-'=
ρ
ρρ
3-9解：取A 容器液面的Z 坐标为零，根据伯努里方程，两容器油面的能量关系有：
w
h g
u g p z g u g p '+++=+222
2
22211ρρ u 1= u 2，因此
()m z g p p h w 616.19208
.9850103.06.35221=-⨯⨯-=--='ρ油柱
3-10解：取水管中心的Z 坐标为零，根据伯努里方程，有：
()ρ
ρρ21212
22
22211222p p u u g u g p g u g p -=-⇒+=+ 设量为Q ，则：
2
14
D
Q
u π
=
2
24
d
Q
u π
=
()ρππ214242221616
p p D d Q -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
()
()()
()
()
ρ
πρ
πρ
ππ214
2
214
4
4
42214242214
21621616
1
p p D d d p p d D
D d p p D d
Q -⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
-⨯
-=
-⨯
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=
根据等压面原理，有：
()h
g p p h
g gz p h g gz p A A ∆-'=-∆'++=∆++ρρρρρρ2121
()()()()
s m h
g d h
g D d d Q /0198.0800
4
.08.98001360024
05.09.024
21432
24
2
=⨯⨯-⨯⨯⨯
=∆⨯⨯-'=∆⨯⨯-'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
πρ
ρρπα
ρ
ρρπ
h t h kg Q Q /024.57/570240198.080036003600==⨯⨯=='ρ
3-11解：1）求B 管中流速 在T 管上根据伯努里方程，有：
g u g p g u g p T 222
332
11+=+ρρ g
u g u g p g p T 222
3
2113-+=ρρ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=g u g u g p g p T 222
32113ρρ 式中流速为：
s m D
Q u T
/492.116
.0410304
2
3
2
1=⨯⨯=
=
-π
π
s m d Q u T
T /873.2304.04
10304
2
3
2
3=⨯⨯=
=
-π
π
因此
2
52
252
32113/101546.08
.92873.238.92492.18.9900104.28.990022m N g u g u g p g p T ⨯-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=ρρ 3p 为表压强，液面表压强02=p 。

在B 管上根据伯努里方程，有：
g
p h H g p
g u h g
u g p H g u g p wB B
wB
B 131********
2
12222ρρρρ---=+++=+
()
s m g p h H g
p g u wB B /512.28.9800101546.015.05.108.922513123=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⨯⨯----⨯⨯=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡---=ρρ
2）求B 管直径
m u Q d d Q u B
B
B B
B
B 039.0512
.210301.0444
3
323=⨯⨯⨯⨯=
=⇒=
-πππ
3-12解：根据伯努里方程，有：
212
2
020022w w h h g
u g p g u g p H ∆+∆++=++ρρ
则管中出口流速()[]()[]()s m h h H g u w w /238.516.038.922212=+-⨯⨯=∆+∆-=
管中流量()
s m u d Q /10114.4238.501.04
4
352222-⨯=⨯⨯=
=
π
π
水力坡度：06.0106.0111==∆=
L h i w ，1.010
1
222==∆=L h i w 3-14解：根据伯努里方程，建立两液面间的关系有：
w h g
u g p z H g u g p ∆+++=++222
2
22211ρρ
根据意u 1= u 2=0，表压p 1= p 2。

因此
m h z H w 3012722=++=∆+=水柱
s m gH N Q N
gHQ
/245.030
8.910001000
809.03=⨯⨯⨯⨯==
⇒=
ρηρη 根据伯努里方程，并考虑u 1= 0，建立吸入液面与泵吸入口间的关系有：
ws s s s
ws s s s h g
u z g p g p h g u g p z g p ∆++=-⇒∆+++=222121ρρρρ 吸入管中流速()s m d Q
u s /466.33.04
245
.04
2
2
=⨯=
=
π
π
泵吸入口处的真空度
m g p g p s 813.22.08
.92466.322
1=+⨯+=-ρρ水柱，则真空表读数为：at 276.0-。

3-15解：根据伯努里方程，建立吸入液面间与压水管出口的关系有：
w h g
u g p z z H g u g p ∆++++=++222
2
221211ρρ 根据意u 1= 0，表压p 1= p 2为零。

因此
m h g u z z H w 408.4228
.92202022
2
221=+⨯+=∆+++=水柱
s m u D Q /1057.12001.04
4
3322
2-⨯=⨯⨯=
=
π
π
W gHQ N 6.818
.01057.1408.428.910003
=⨯⨯⨯⨯==-ηρ
根据伯努里方程，建立泵出口与压水管出口的关系间的：
g
u h g u z g p g p h g u g p z g u g p d w d w d d 2222212
2
22122222-∆++==-⇒∆+++=+ρρρρ 泵出口处管中流速()s m D Q
u d /502.04
1057.14
2
3
2
1=⨯⨯=
=
-π
π
泵出口处的表压强
m g p g p d 833.398
.9257.18.9220192
22=⨯-+⨯+=-ρρ水柱 3-16解：根据伯努里方程，建立两油罐油面间的关系有：
w h g
u g p z H g u g p ∆+++=++222
2
22211ρρ 根据意u 1= u 2=0，因此
()m h g p p z H w 276.4658
.9800102.03.0405122=+⨯⨯-+=∆+-+=ρ油柱
kW W gHQ N 015.220153600
20
276.468.9800==⨯
⨯⨯==ρ kW N N 519.28
.0015
.2==
=
泵泵η kW W N N 8.225199
.0519
.2===
=
电
泵
电η 3-17解：1）求扬程H
根据伯努里方程，建立吸入液面间与压水管出口的关系有：
w h g
u g p z H g u g p ∆+++=++222
2
22211ρρ 根据意u 1= 0， p 1= p 2。

因此
w h g
u z H ∆++=22
2
2
gH N
Q ρη=
gH
D N D Q
u ρπ
ηπ
22
244
=
=
w h gH D N g z H ∆+⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=2
22421ρπη
()()0
512.5608.910003.04100089.021*********
2
2
32
22
23=--=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯-
+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∆+-H H g H H g D N g H h z H w πρπη 解方程得：H=6.133m 水柱。

因此，管中流量和流速为：
s m gH N Q /12.0133.68.910001000
89.03=⨯⨯⨯⨯==
ρη s m D
Q
u /698.13
.04
12
.04
2
2
2=⨯=
=
π
π
2）求泵入口处压强
根据伯努里方程，并考虑u 1= 0，建立吸入液面与泵吸入口间的关系有：
ws s s s
ws s s s h g
u z g p g p h g u g p z g p ∆++=-⇒∆+++=222121ρρρρ 泵吸入口处的真空度
m g p g p s 947.18.08
.92698.112
1=+⨯+=-ρρ水柱 3-18解：1）求液体受到的合外力 根据动量方程，有：
()
()
y y y x x x Q F Q F 1212υυρυυρ-=-=
其中：0,/415.1,/415.13.04
101004
,0122
3
2
12===⨯⨯=
=
=-y y x x s m s m D Q
υυπ
π
υυ。

因此
N
F N F y x 177.113415.110100800177.113415.11010080033=⨯⨯⨯=-=⨯⨯⨯-=--
2）求弯管对液体的作用力
N
p D F R F p D R x x
x
x
158761023.23.04
177.1134
4
521212-=⨯⨯⨯-
-=-='=+'π
π
π
N
p D F R F p D R y y y
y 89.150271011.23.04
177.1134
4
522222=⨯⨯⨯+
=+
='=-
'π
π
π
3）求支座的作用力
弯管对液体的作用力与弯管受到液体的作用力为一对作用与反作用力关系，因此弯管受到液体的作用力为：
N R R x
x 15876='-= N R R y y 89.15027-='-=
()()()()N R R R y x 2186015028158762
22
2=-+=
+=
支座受到弯管的作用力等于弯管受到液体的作用力。

3-19解：1）求液体受到的合外力 根据动量方程，有：
()(
)()()
060sin 60cos 0
2
1212212--=-=-=-=υ
ρυυρυυρυυρQ Q F Q Q F y
y y x x x 其中：s m D Q
B
/037.225.04
1
.04222=⨯=
=
π
π
υ
s m D Q
A
/509.05.04
1
.04
2
21=⨯=
=
π
π
υ
因此
(
)
()
N
F N F y
x 4.176060
sin 037.21.0100096.50509.060cos 037.21.010000
0-=-⨯-⨯⨯==-⨯⨯⨯=
2）求弯管对液体的作用力
()
()
Pa p p g
g p g g p B A B A 522521222
2
2110819.1509.0037.22
1000
108.12
22⨯=-⨯+
⨯=-+
=+=+υυ
ρ
υρυρ
N p D p D F R F p D p D R B B A A x x x
B B A A x
3124760cos 108.125.04
10819.15.04
9.5060cos 4
4
60cos 4
4
52520
2
2
02
2-=⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯-
=+
-='=-
+'π
π
π
π
π
π
N
p D F R F p D R B B y y y
B B y 37.782860sin 108.125.04
4.17660sin 4
60sin 4
0520
2
02
-=⨯⨯⨯⨯-
-=-
='=+
'π
π
π
3）求弯头受到液体的作用力 根据作用与反作用力关系，有：
N R R x
x 31247='-= N R R y y 37.7828='-=
N R R R y x 322132
2=+=
3-20解：1）求液体受到的合外力 根据动量方程，有：
()12υυρ-=Q F x
其中：s m /202=υ
s m d Q /1057.101.04
204
33222
-⨯=⨯⨯
==π
π
υ
s m D d /8.051202
2
21=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=υυ
因此
()()N F x 144.308.0201057.110003-=---⨯⨯⨯=-
2）求筒对液体的作用力
()
(
)
Pa
hw
g p p hw g
g p g g p 5222122212
2
221110095.218.910008.0202
1000
0222⨯=⨯⨯+-⨯+
=∆+-+=∆++=+ρυυ
ρ
υρυρ
N
p D F R F p D R x x
x
x
2.38110095.205.04
144.304
4
5
21
212=⨯⨯⨯+-=+='=-'π
π
π
3）求人受到的作用力
根据作用与反作用力关系，有：
N R R x
x 2.381-='-= 3-21解：1）求液体受到的合外力 根据动量方程，有：
()12υυρ-=Q F x
其中：s m D Q
/292.214
8
.14
2
22
2=⨯=
=
π
π
υ
s m D
D /019.15.11292.22
2
1
2
21=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=υυ 因此
()N F x 4.2291019.1292.28.11000=-⨯⨯=
2）求筒体对液体的作用力
()
(
)
Pa p p g
g p g g p 522522
21122
2
221110979.3292.2019.12
1000
1042
22⨯=-⨯+
⨯=-+
=+=+υυρ
υρυρ
N
p D p D F R F p D p D R x x
x
x
39205710979.314
1045.14
4.22914
4
4
4
5
2522
2
212122
2121-=⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯-
=+
-='=-
+'π
π
π
π
π
π
3）求筒体受到液体的作用力
根据作用与反作用力关系，有：
N R R x
x 393075='-= 筒体受到液体的作用力即为筒体对支座的作用力。

3-22解：1）求体积流量
s m Q /106.811000
6
.8133-⨯==
2）求进出口绝对流速
s m b d Q C r
/623.104
.04.0106.81322=⨯⨯⨯==-ππ s m C C r /875.130
cos 623
.130cos 0
022===
s m b d Q C C r /247.304
.02.0106.813
111=⨯⨯⨯===-ππ
3-23解：1）求叶片固定不动时受到的作用力
根据伯努里方程g
g p g g p 222
2
2211υρυρ+=+，由于21p p =，故12υυ=。

根据动量方程，液体受到的合外力有：
()(
)()()
()
N
d Q F x 31.52561
45cos 1.04
8.1910001135180
cos 4
135180cos 2220
2
2
11002-=+⨯⨯⨯⨯=+--=---=π
π
ρυυυρ
根据作用与反作用力关系，有：
N F R x x 31.5256=-=
2）求叶片运动时受到的作用力
根据相对运动动量方程，液体受到的合外力有：
()
()
()()
N
d F x 72.815145cos 1.04
128.191000145cos 4
222
22
01-=+⨯⨯⨯-⨯=+--=ππυυρ
根据作用与反作用力关系，有：
N F R x x 72.815=-=
第四章
补充题：
1．已知—粘性流体的速度场为：
)/(8352
2s m k xz j xyz i y x u -+=流体动力粘性系数)/.(144.02m s N =μ，在点(2，4，-6)处的)/(1002m N yy -=σ，试求该点处其它的正应
力和剪应力。

2．已知粘性不可压缩流体的速度场为：()
)/(84682
3222s m k xz yz j z y i z x u -+-=，流。