高等数学习题集 第二版 第九章

所以体积为 V d
0 2 3 R 2
0
[ R 2 r 2 ( R R 2 r 2 )]rdr 5 R 3 。 12
2
3 R 2
0
[2 R 2 r 2 R]rdr
2 1 1
(12)先对 z 求，利用柱坐标变换 d dr zrdz
2 x 2 y 2
2 2
x y
x 2 zdy

12
。
2 x ( x a ) 2 y 2 a 2 2 2 (14)由题 D : ， 2 4 ，且 z a x y ，则 z x 2 2 2 a x y z 0
zy
2 1 2 r cos ln(r 1) z ln( x 2 y 2 z 2 1) dxdydz dr d r 2 sin d 2 2 2 2 0 0 0 x y z 1 r 1
2
r 3 ln(r 2 1) dr sin cos d 0 ， 2 0 0 r 1
D
(axy by
D
2
)dxdy by 2 dxdy ，所以符号和 b 有关，与 a 无关。
D
(9)可以参考 P347 三重积分的球面坐标变换。 (10) 由 题 关 于 yoz 面 ， y 1 面 和 z 1 面 对 称 ， 所 以
xdV 0

，
( y 1)dV 0 ， ( z 1)dV 0 。则
1 3 1
1
3
1
(6) sin x cos ydxdy sin xdx 2 cos ydx 2 。
D 0 0


(7)

|
1
0
dy
2 y 2 y
f ( x, y )dx dx
0
1
x2
0
f ( x, y )dy dx
1
2
2 x2
0
f ( x, y )dy 。
(7) 做柱坐标变换，则 I
x 2 y 2 z 2 1
e
| x|
dxdydz dx d e| x|dr
1 0 0
2 dx d e x dr 2 e x (1 x 2 )dx 2 。
0 0 0 0
1
2
1
1
(8) 做球坐标变换，则 I
[cos( x y) 1]dxdy lim[cos( ) 1] 0 ，即
Dr r 0
lim
r 0
cos( x y)dxdy xoz 面对称， x 和 sin y 为关于 x 和 y 的奇函数，所以
( x sin y)dxdy 0 。
1
(9) 作柱坐标变换，则 I

dxdydz x y ( z 2)
2 2 2
dz d
1 0
1
2
1 z 2 2
rdr r ( z 2) 2
0
1 2 2 [ 5 4 z (2 z )]dz 。 1 3
(10) y cos( x z )dxdydz dz 2 dx
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第九章
1. 填空题
重积分
学习测试题答案
2 2 2 y 2 2 2 2 1 (1) dx e y dy dy e y dx ye y dy (1 e 4 ) 。 0 x 0 0 0 2
zr 2 sin d

12
。
球坐标变换 I x 2 zdV dr 4 d r 2 sin 2 cos 2 r 2 sin d

2

2

12
0
0
0
。
直角坐标变换 I x 2 zdV dy
1
1
1 y 2
1 y
dx 2
2
2 x x 1
0
x 1
1
0
26 。 3
(3) | xy | dxdy 4 dx
D
0
a
a2 x2
0
xydy 4
mx
a
0
1 a4 x(a 2 x 2 )dx 。 2 2 dx
xb
(4) S
a k 1 a m 1
dx
mx
xa
dy
(2)由题积分区域 D 关于 yoz 轴对称， y 4 x 2 y 2 与 xy 4 x 2 y 2 关于 y 是奇
函数，积分为 0 。所以
(1 x y xy)
D
4 x 2 y 2 dxdy (1 x) 4 x 2 y 2 dxdy
D
d
x
1 y 0 0
1

1
0
dy f ( x) f ( y )dx 将
y
1

1
0 1
dx f ( x) f ( y )dy 交换积分顺序得 dy f ( x) f ( y )dx ，所以
x 1
1
1 y 1 1 1 f ( x) f ( y )dy [ dy f ( x) f ( y )dx dy f ( x) f ( y )dx] 0 0 0 x y 2 0 1 1 1 1 1 1 1 dy f ( x) f ( y )dy f ( y )dy f ( x)dx K 2 。 0 2 0 0 2 0 2 (2)本题可参考课本 P338 例 8。
dx
(3)
a
1 x 2 y 2 4

sin x 2 y 2 x2 y 2
a 0 x
2 2 3 dxdy d sin rd 2 ( ) 3 0 。 0 1 2
(4) dx f ( x, y )dy dy f ( x, y )dx 。
D
y a x y
2 2 2
，所以面积为 S 1 z x z y dxdy
2 2 D
a a2 x2 y2
dxdy 2a 2 d


a cos
r a2 r 2
2
0
dr 2a( 2) 。
D
(10) 关 于 x 1 面 ， y 2 面 和 z 3 面 对 称 ， 所 以
( x 1)dV 0 ，

( y 2)dV 0 ， ( z 3)dV 0 ，所以

( x y z )dV [( x 1) ( y 2) ( z 3)]dV dV 0 6 3 8 。

D
1 x 4 y 4 dxdy 1 x 2 y 2 dxdy 。
D
(5) 由题积分区域 D 关于 yoz 面对称，且 xy 关于 y 是奇函数，积分为 0 。所以
x( x y)dxdy
D
3
3
x 2 dx dy x 2 dx ydy 36 0 36 。

( x y z )dV ( x y 1 z 1)dV 0 。

3. 计算题
(1) D 关于 x 轴， y 轴对称，则
ydxdy 0 ，则 (| x | y)dxdy | x | dxdy
D D D
dx
b m 1 a k 1
dx dy
kx
b k 1 b m 1
kx
dy
1 1 a2 b2 1 ] a2 ( (m 1)[ ) 2 2 2 (k 1) (m 1) m 1 k 1 b2 a2 1 1 1 (m k )[ ] b2 ( ) 2 2 k 1 m 1 2 (m 1) (k 1) 1 b2 b2 (b 2 a 2 )(m k ) (k 1)[ ] 。 2 (m 1) 2 (k 1) 2 2(m 1)(k 1)
以 ( x y )3 ( x y ) 2 。
D D
(7) x cos 2 xydxdy 4 dx x cos 2 xydy 4 sin 2 xdx
D
0

1

1
0
1 。 2
(8) 关于 yoz 面 对 称 ， 且 axy 关于 x 为 奇 函 数 ， 所 以 axydxdy 0 ，所以
0
1
x 1
x 1
xdy dx
1
0
x 1
x 1
xdy
2 。 3
(2) (| x | | y |)dxdy
D
2[ dx ( x y )dy dx ( x y )dy dx ( y x)dy ]
0 0 1
1
x 1
0 0
r

4
z z
。
z2 x2
2 2
先对 x 或 y 求，则 zdz dy
0
z
1
z
z2 y2
2
z y
dx zdz dx 2
0 2 r
1
z x
dy

4
。
(13)柱坐标变换 I x 2 zdV d dr

2
1
0
0
r
(8) 由 P330 积分中值定理 1 r2
[cos( x y) 1]dxdy | r | cos( x y) 1 | dxdy | cos( ) 1 | ，因为当
2 Dr Dr
1
r 0 时， 0, 0 ，所以
lim
r 0
1 r2 1 r2

2
2
0
4 r 2 rdr dy
2
2
0
4 y 2
x 4 x 2 y 2 dx
8 6 14 。 3 3 3
3 2 1 x2 28 d x 2 dx dy ln 3 。 (3) 1 0 1 y 1 y 3 D
(4)当 x 2 y 2 1 时， 1 x 4 y 4 1 x 2 y 2 ，则

4
(11) 关于 yoz 面对称，而 e y sin x 3 为关于 x 的奇函数，则
2
(e

y2
sin x 3 2)dV 2dV 2 2 1 1 4 。

2. 选择题 (1) 由 题

1
0
dx f ( x) f ( y )dy 关 于 变 量 x 和 y 对 称 ， 则
(5) I xydxdydz dx

0
1
1 x
0
dy xydz
0
xy
1 。 180
(6)做柱坐标变换
x
D
2
1 2 z 1 dxdydz r dz dr d ln(1 z 2 )dz ( ln 4 4) 。 2 2 2 0 0 0 1 r 0 2 y z 1 2 1
0 0 y
a
(5) I (ax y )dxdy dx 2 (ax y )dy
D 2 x 4
2
0
1 2 2 ( x 4) 2 dx 0 。 2 2
(6) 由题当 ( x 2) 2 ( y 2) 2 2 时， ( x y )3 ( x y ) 2 ( x y ) 2 ( x y 1) 0 ，所
2 0 0


z
x
0
y cos( x z )dy
z 1 1 1 2 1 2 dz 2 x cos( x z )dx 2 [ z cos z ]dz 。 0 2 0 2 0 4 2 16 2



3 x2 y 2 z 2 R2 R x2 y 2 R2 z (11)由题 2 D ，所以 : 4 ， 2 2 2 x y z 2 Rz z0