《一轮复习教学案第三章三角函数解三角形第六节解三角形》优秀教案

第六节解三角形
☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆
1．正弦定理
错误!＝错误!＝错误!＝2R
其中2R为△ABC外接圆直径。

变式：a＝2R in A，b＝2R in B，c＝2R in C。

a∶b∶c＝in A∶in B∶in C。

2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc co A；b2＝a2＋c2－2ac co B；
c2＝a2＋b2－2ab co C。

变式：co A＝错误!；co B＝错误!；
co C＝错误!。

in2A＝in2B＋in2C－2in B in C co A。

3．解三角形
1已知三边a，b，c。

运用余弦定理可求三角A，B，C。

2已知两边a，b及夹角C。

运用余弦定理可求第三边c。

3已知两边a，b及一边对角A。

先用正弦定理，求in B，in B＝错误!。

①A为锐角时，若ab，一解。

4已知一边a及两角A，B或B，C用正弦定理，先求出一边，后求另一边。

4．三角形常用面积公式
1S＝错误!a·h a h a表示a边上的高。

2S＝错误!ab in C＝错误!ac in B＝错误!bc in A＝错误!。

3S＝错误!ra＋b＋cr为内切圆半径。

微点提醒
1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量其中至少有一边就可解三角形。

2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理余弦定理实施边、角转换。

3．当a2＋b2<c2时判断三角形的形状，由co C＝错误!<0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。

小|题|快|练
一、走进教材
1．必修510A2A2A2A20A
3
2A2A2A a A A A A2a c a c2A2C
2A2A22A
2a3a2a2a
2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水
平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于________。

32021·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则
此山的高度CD＝________ m。

【解析】1在△ABC中，∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B
＝30°。

由正弦定理得
AB＝错误!＝错误!＝50错误!m。

2依题意可得AD＝20错误! m，AC＝30错误! m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得co∠CAD＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°。

3在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理
得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，BC＝300错误!。

又由题意知，在Rt△BCD中，∠
BCD＝90°，∠CBD＝30°，所以由tan∠CBD＝错误!可得CD＝tan30°×300错误!＝
100错误!。

【答案】150错误!245°3100错误!
反思归纳利用正、余弦定理解决实际测量问题，实际上是把问题转化到相关三
角形中，利用三角形的边、角关系求解。

【变式训练】12021·马鞍山模拟一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座
灯塔68海里84 m24 m12
C．12错误! m D．36 m
【解析】1如图所示，
在△，则AD＝ m，DB＝错误! m。

在△ABD中，利用余弦定理，得842＝2＋错误!2－2错误!·2co150°，解得＝±12错误!负值舍去，故塔高为127 m。

故选C。

【答案】1C 2C
考点二正、余弦定理在平面几何中的应用
1求角B的大小；
2若BD为AC边上的中线，co A＝错误!，BD＝错误!，求△ABC的面积。

【解析】12b co C＋c＝2a，由正弦定理，得2in B co C＋in C＝2in A，∵A＋B＋C＝π，
∴in A＝in B＋C＝in B co C＋co B in C，
∴2in B co C＋in C＝2in B co C＋co B in C，
∴in C＝2co B in C。

∵0<C<π，∴in C≠0，∴co B＝错误!。

又0<B<π，∴B＝错误!。

2在△ABD中，由余弦定理得错误!2＝c2＋错误!2－2c·错误!co A，∴错误!＝c2＋错误!－错误!bc，①
在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!，由已知得in A＝错误!，∴in C＝in A＋B＝in A co B＋co A in B＝错误!，∴c＝错误!b，②
由①②解得错误!∴S△ABC＝错误!bc in A＝10错误!。

【答案】1错误!210错误!
反思归纳此类题目求解时，一般有如下思路：
1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。

做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。

【变式训练】如图，在△ABC中，in错误!＝错误!，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝错误!，则co C＝________。

【解析】由条件得co∠ABC＝错误!，
in∠ABC＝错误!。

在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则9b2＝a2＋4－错误!a①
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以co∠ADB＝－co∠CDB，所以错误!＝－错误!，所以3b2－a2＝－6②。

联立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3。

在△ABC中，co C＝错误!＝错误!＝错误!。

【答案】错误!
1求函数f在[0，π]上的最值，并求此时的值；
2将函数f图象上所有点的横坐标缩短到原来的错误!纵坐标不变，再将所得图象向左平移错误!个单位长度并向下平移错误!个单位长度，得到函数g的图象。

若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，g错误!＝错误!，a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积。

【解析】1f＝错误!in错误!co错误!－co2错误!＋1＝错误!in－错误!co＋错误!＝in错误!＋错误!。

∵∈[0，π]，
∴－错误!∈错误!，
∴当－错误!＝－错误!，即＝0时，f min＝0，
当－错误!＝错误!，即＝错误!时，f ma＝错误!。

∴当＝0时，f min＝0，当＝错误!时，
f ma＝错误!。

2将f图象上所有点的横坐标缩短到原来的错误!纵坐标不变，得到函数＝in错误!＋错误!的图象，再将所得图象向左平移错误!个单位长度并向下平移错误!个单位长度，得到函数g＝in错误!＝in2＋错误!＝co2的图象。

∵g错误!＝co A＝错误!，又0<A<π，∴A＝错误!。

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc co A，
∴22＝b2＋c2－2bc×错误!，
∴4＝b＋c2－2bc－bc，即4＝42－3bc，∴bc＝4。

∴S△ABC＝错误!bc in A＝错误!bc in错误!＝错误!bc＝错误!×4＝错误!。

【答案】1当＝0时，f min＝0，当＝错误!时，f ma＝错误!2错误!
反思归纳1向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题。

2．三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响。

【变式训练】2021·日照模拟已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且函数f＝2coin－A＋in A在＝错误!处取得最大值。

1当∈错误!时，求函数f的值域；
2若a＝7且in B＋in C＝错误!，求△ABC的面积。

【解析】∵函数f＝2coin－A＋in A＝2co·inco A－2cocoin A＋in A＝in2co A－co2in A＝in2－A，
又函数f在＝错误!处取得最大值，
∴2×错误!－A＝2π＋错误!，其中∈Z，即A＝错误!－2π，其中∈Z。

1∵A∈0，π，∴A＝错误!，
又∈错误!，
∴2－A∈错误!，
∴－错误!<in2－A≤1，即函数f的值域为错误!。

2由正弦定理得错误!＝错误!，则
in B＋in C＝错误!in A，
即错误!＝错误!×错误!，∴b＋c＝13。

又a2＝b2＋c2－2bc co A＝b＋c2－2bc－2bc co A，即
49＝169－3bc，∴bc＝40。

故△ABC的面积S＝错误!bc in A＝错误!×40×错误!＝10错误!。

【答案】1错误!210错误!
微考场新提升
1．2021·泉州质检如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，然后给出了三种测量方
案：
①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距
离的所有方案的序号为
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的
知识可求出AB。

故选D。

答案 D
22021·湖南师大附中月考如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，
则塔高AB＝
A．5错误!B．15错误!
C．5错误!D．15错误!
解析在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°。

由正弦定理得错误!＝错误!，所以BC＝15错误!。

在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝15错误!×错误!＝15错误!。

故选D。

答案 D
3．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，
则co B＝
解析∵a，b，c成等比数列，且c＝2a，
∴b2＝ac＝2a2，∴b＝错误!a。

由余弦定理可得co B＝错误!＝错误!。

故选A。

答案 A
4．2021·福建师大附中联考如图，在矩形ABCD中，AB＝错误!，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，则ED＝________。

解析在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝错误!，所以∠BAC＝60°。

因为BE⊥AC，AB＝错误!，所以AE＝错误!，
在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，
由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·co∠EAD＝错误!＋9－2×错误!×3×错误!＝错误!，故ED＝错误!。

答案错误!
5．在△ABC中，tan错误!＝2in C，若AB＝1，则错误!AC＋BC的最大值为________。

解析因为tan错误!＝2in C，所以错误!＝2in C⇒错误!＝2in C⇒错误!＝2in C，因为A＋B＋C＝π，所以A ＋B＝π－C，所以in A＋B＝in C，co A＋B＝－co C，
所以错误!＝2in C，因为0<C<π，所以in C≠0，所以co C＝错误!，所以C＝错误!。

因为错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!AC＋BC＝错误!in B＋错误!in A＝错误!in错误!＋错误!in A＝错误!错误!＝错误!·in A＋φ，其中0<φ<错误!且tanφ＝错误!，所以当in A＋φ＝1时，错误!AC＋BC取得最大值，为错误!。

答案错误!
微专题巧突破
压轴精选之解三角形的范围问题
解三角形问题属于高考热点问题，而其中的范围问题是难点。

任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围或最值问题也不例外。

三角形中的范围或最值问题的解法主要有两种：一种是用函数求解；另一种是利用基本不等式求解。

由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法。

纵观近几年高考，三角形中的范围问题大致分成三类：边的范围问题、角的范围问题、面积的范围问题。

下面结合高考题或模拟题举例说明其解法要领。

一、与边有关的范围问题
【典例1】2021·全国卷Ⅰ在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________。

【解析】解法一：如图所示，延长BA，CD交于E点，
则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，所以设DA＝错误!，AE＝错误!，
DE＝错误!，CD＝m，
由△BCE为等腰三角形，且BC＝2得，错误!in15°＝1，即错误!＋m＝错误!＋错误!，
0<<4，所以AB＝错误!＋m－错误!＝错误!＋错误!－错误!，所以AB的取值范围为错误!－错误!，错误!＋错误!。

解法二：连接AC，设∠BAC＝α，则∠ACB＝105°－α，在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以AB ＝错误!＝错误!＝错误!×错误!＋错误!。

因为错误!，所以30°<α<75°，所以错误!<tanα<2＋错误!，所以2－错误!<错误!<错误!，进一步可得AB的取值范围为错误!－错误!，错误!＋错误!。

【答案】错误!－错误!，错误!＋错误!
【方法点睛】四边形问题转化成解三角形问题是本题的本质。

解法一转换成两个边的关系，但是一直含有两个变量，不容易看出两个量之间的关系，不好把握，但是这种解法捕捉到了题中含有等腰三角形这一核心条件。

解法二也是转化成解三角形问题，通过三角函数求边的范围，是通性通法。

【变式训练1】2021·兰州模拟在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知错误!＝错误!。

1求A的大小；
2若a＝6，求b＋c的取值范围。

【解析】1∵错误!＝错误!＝错误!，
∴错误!co A＝in A，∴tan A＝错误!。

∵0<A<π，∴A＝错误!。

2∵错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝4错误!，
∴b＝4错误!in B，c＝4错误!in C，
∴b＋c＝4错误!in B＋4错误!in C＝4错误![in B＋inπ－A－B]＝4错误!错误!＝12in错误!。

∵错误!<B＋错误!<错误!，
∴6<12in错误!≤12，即b＋c∈6,12]。

【答案】1错误!26,12]
二、与角有关的范围问题
【典例2】在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且BC边上的高为错误!a，则错误!＋错误!取得最大值时，内角A的值为
【解析】利用等面积法可得，错误!·BC·错误!a＝错误!·b·c·in A，整理得错误!a2＝bc in A。

又错误!＋错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＋错误!＝2错误!in A＋2co A＝
4in错误!，所以当A＋错误!＝错误!，A＝错误!时，错误!＋错误!取得最大值。

故选D。

【答案】 D
【方法点睛】与角有关的范围问题，当然用三角函数解决，实现边与角的互化用正、余弦定理。

【变式训练2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知co2A＋co2B＝2co2C，则C的取值范围是________。

【解析】由co2A＋co2B＝2co2C，得1－2in2A＋1－2in2B＝21－2in2C，
即in2A＋in2B＝2in2C，由正弦定理可得a2＋b2＝2c2。

由余弦定理可得c2＋2ab co C＝2c2，所以co C＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当a＝b时等号成立，
所以错误!≤co C<1，∴C的取值范围是错误!。

【答案】错误!
三、与面积有关的范围问题
【典例3】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4co2错误!－co2B＋C＝错误!，若a＝2，则△ABC的面积的最大值是________。

【解析】因为B＋C＝π－A，所以co2B＋C＝co2π－2A＝co2A＝2co2A－1，又co2错误!＝错误!，所以4co2错误!－co2B＋C＝错误!可化为4co2A－4co A＋1＝0，解得co A＝错误!。

又A为三角形的内角，所以A＝错误!，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bc co A≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，所以S△ABC＝错误!bc in A≤错误!×4×错误!＝错误!，即△ABC的面积的最大值为错误!。

【答案】错误!
【方法点睛】与三角形面积有关的问题主要有以下策略：1求三角形面积，对于公式S＝错误!ab in C＝错误! bc in A＝错误!ac in B，一般是知道某个角就选含该角的公式；2已知三角形面积解三角形一般要用正弦定理或余弦定理进行转化；3求面积的最值问题一般要用到基本不等式。

【变式训练3】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且2＋b in A－in B＝c－b in C，则△ABC面积的最大值为________。

【解析】由正弦定理，可得2＋ba－b＝c－b·c。

∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理，得co A＝错误!＝错误!。

∴in A＝错误!。

由b2＋c2－a2＝bc，得b2＋c2＝4＋bc。

∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4。

∴S△ABC＝错误!bc·in A≤错误!，即S△ABC ma＝错误!。

【答案】错误!。