2018-2019学年高一数学下学期期末试卷及答案(九)

2018-2019学年高一数学下学期期末试卷及答案（九）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）
A．10 B．20 C．25 D．30
4．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）
A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列
C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列
6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），
设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）
A．B．C．D．
7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象
与原图象重合，则f（）不可能等于（）
A．0 B．1 C．D．
8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）
A．64 B．32 C．16 D．8
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）
9．已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．
10．设为单位向量，其中，且，则与的夹
角为，=．
11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=，若l1⊥l2，则a=．
12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．
13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是．
15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有
成立，那么实数λ的最小值为．
三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．
（I）求角B的值；
（II）若，求sinC的值．
17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．
（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．
19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．
（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，
若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．
20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；
（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．
【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，
tanα==﹣．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据向量的运算求出向量C即可．
【解答】解：∵向量=（1，1），=（1，﹣1），
∴=+=﹣（1，1）+（1，﹣1）=（﹣1，﹣2），
则=（﹣1，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，是一道基础题．
3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）
A．10 B．20 C．25 D．30
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式直接求解．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S17=170，
∴=170，
解得a9=10．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
4．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）
A．B．C．D．
【考点】二倍角的正弦；直线的斜率．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ的值．
【解答】解：∵倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，故有tanθ=
=．
再根据sin2θ+cos2θ=1，θ∈[0，π），可得sinθ=，cosθ=，
∴sin2θ=2sinθcosθ=，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）
A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列
C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．
【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，
所以sin2B=sinAsinC，
由正弦定理得，b2=ac，
所以三边a，b，c依次成等比数列，
故选：B．
【点评】本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），
设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
=S△BCD+S△ACP，即为4=d1+4d2，求得【分析】运用三角形的面积公式可得S
△ABC
=（d1+4d2）（）
展开后运用基本不等式，计算即可得到所求最小值．
=S△BCD+S△ACP，
【解答】解：如右图，可得S
△ABC
ACBC=d1BC+d2AC，
即为4=d1+4d2，
则=（d1+4d2）（）
=（1+4++）
≥（5+2）=×（5+4）=．
当且仅当=，即d1=2d2=，取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意运用等积法，以及乘1法，运用基本不等式求最值时，注意等号成立的条件，属于中档题和易错题．
7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象
与原图象重合，则f（）不可能等于（）
A．0 B．1 C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，可求ω=6k（k∈N*），利用特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：由题意，
所以ω=6k（k∈N*），
因此f（x）=cos6kx，
从而，
可知不可能等于．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，是常考题型，属于中档题．
8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）
A．64 B．32 C．16 D．8
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知求出q2=1+，a6+a5==（a1q+a1）++16，由此利用基本不等式的性质能求出结果．
【解答】解：∵{a n}是正项等比数列，
∴a1＞0，q＞0，
∵a4+a3=a2+a1+8，
∴，
∴q2=1+，
∴a6+a5==q2（a1q+a1+8）
=（1+）[（a1q+a1）+8]
=（a1q+a1）++16
≥2+16=32，
当且仅当时，取等号．
∴a6+a5的最小值是32．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质及基本不等式性质的合理运用．
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）
9．已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan
（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，
的值．
【解答】解：∵tanα=2，
∴tan（α+）===﹣3；
cos2α====；
===．
故答案为：﹣3，，．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．设为单位向量，其中，且，则与的夹
角为60°，=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积公式和向量的模，计算即可．
【解答】解：设与的夹角为θ，
∵，且，
∴（2+）=2+=2cosθ+1=2，
∴cosθ=，
∵0≤θ≤180°，
∴θ=60°，
∴2=（2+）2=4+4+=4+4×+1=7，
∴=，
故答案为：60°，
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积先求出向量夹角是解决本题的关键，属于中档题．
11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=2，若l1⊥l2，则a=2或﹣1．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．
【分析】利用直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，可求a；利用平面中的直线垂直的条件A1A2+B1B2=0，求出a的值．
【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，∴a=2．
∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）﹣2=0，∴（a﹣2）（a+1）=0，∴a=2或a=﹣1．
故答案为：2；2或﹣1．
【点评】本题考查了平面中的直线平行与垂直的应用问题，是基础题．
12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=
，tanA=．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由题意画出图象，由D为AC中点求出CD，在RT△BCD中，由题意和正弦函数求出BD，由勾股定理求出BC，在RT△BCD中，由正切函数求出tanA 的值
【解答】解：由题意画出图象：
∵AC=2，且D为AC中点，
∴CD=1，
在RT△BCD中，
∵sin∠CBD=，
∴，得BD=3，
则BC==，
在RT△BCD中，tanA===，
故答案为：；．
【点评】本题考查直角三角形中三角函数的定义，以及勾股定理，属于基础题．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为﹣8．
【考点】二次函数的性质．
【分析】代入已知条件，化简表达式，通过配方法求解最小值即可．
【解答】解：正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy=x2+y2﹣4x﹣4y=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣8≥﹣8．
当且仅当x=y=2时取等号．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值，考查计算能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线
l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是a≤﹣或a≥．【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】求出M的轨迹，转化为直线与圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：设M（x，y），则
∵点A（0，1），满足|MA|=2，
∴M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=4，圆心为（0，1），半径为2．
∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），直线l上存在点M，满足|MA|=2，
∴直线与圆有交点，
∴圆心到直线的距离d=，
∴a≤﹣或a≥．
故答案为：a≤﹣或a≥．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线与圆的位置关系．是中档题，
15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有
成立，那么实数λ的最小值为2．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由绝对值和向量的模的性质≤1，即为≥1，解得即可．
【解答】解：当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立，
∵＞|﹣|，
∴|﹣x|≤|﹣|＜||，
∴≤1，
则有≥1，即λ≥2
那么实数λ的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最值的求法，注意运用特值法，以及恒成立思想的运用，考查向量的运算性质，属于中档题．
三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16
．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．
（I）求角B的值；
（II）若，求sinC的值．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．
【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinBsinA=，
结合sinA≠0可得tanB=，且0＜B＜π从而可求B
（II）由二倍角的余弦可得，cosA=，进而可得sinA=，sinC=sin
（A+），利用和角公式展开可求．
【解答】解：（I）∵．
由正弦定理得，sinBsinA=，
∵sinA≠0，即tanB=，
由于0＜B＜π，所以B=．
（II）cosA=，
因为sinA＞0，故sinA=，
所以sinC=sin（A+）==．
【点评】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，二倍角公式的应用，及三角形内角和的运用，属于对基础知识的综合考查．
17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
【考点】待定系数法求直线方程；恒过定点的直线．
【分析】（1）直线l解析式整理后，找出恒过定点坐标，判断即可得证；
（2）由题意得到直线l1过的两个点坐标，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】（1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，
令，
解得：，
则无论m为何实数，直线l恒过定点（﹣1，﹣2）；
（2）解：∵过定点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，
∴直线l1过（﹣2，0），（0，﹣4），
设直线l1解析式为y=kx+b，
把两点坐标代入得：，
解得：，
则直线l1的方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．
【点评】此题考查了待定系数法求直线方程，以及恒过定点的直线，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．
（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等比数列；数列递推式．
【分析】（1）由题意得，利用a n与S n的关系求出{a n}的通项公式，单独求出n=1时a1的值，验证其是否满足通项公式，即可求出{a n}的通项公式；利用等比数列的性质将{b n}的公比求出，即可求出其通项公式；
（2）由（1）中求出的{a n}和{b n}的通项公式代入新数列中，写出新数列的通项公式，利用错位相减法求出其前n项和T n．
【解答】解：由题意得：
=2（n﹣1）2+（n﹣1）②，
（1）因为S n=2n2+n①，所以S n
﹣1
=4n﹣1（n≥2）；
所以①﹣②得：a n=S n﹣S n
﹣1
当n=1时，a1=S1=3；
所以a n=4n﹣1，n∈N*，
又因为等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*，
所以=8，
所以q=2，
所以b n=2n﹣1；
（2）由（1）可知a n b n=（4n﹣1）2n﹣1，
所以T n=3+7×21+11×22+…+（4n﹣5）×2n﹣2+（4n﹣1）×2n﹣1①，
2T n=3×2+7×22+11×23+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n②，
所以①﹣②得：﹣T n=3+4×2+4×22+4×23+…+4×2n﹣1﹣（4n﹣1）×2n②，
T n=5+（4n﹣5）×2n．
【点评】（1）本题难度中档，解题关键在于对a n=S n﹣S n
的关系熟练掌握，以
﹣1
及等比数列相关知识点的掌握；（2）难度中上，解题关键在于对错位相减法求数列前n项和的方法的掌握和应用．
19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．
（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，
若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；
（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣
=sin2x﹣﹣
=sin2x﹣cos2x﹣1
=sin（2x﹣）﹣1．…
∵﹣≤x≤，
∴，
∴，
从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．
则f（x）的最小值是，最大值是0．…
（2），则，
∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，
∴，解得C=．…
∵向量与向量共线，
∴sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a①
由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②
由①②解得a=1，b=2．…
【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．
20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；
（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）依题意，可求得数列{a n}的首项与公差，从而可求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）a n=n+1，可求得b n=2+﹣，累加即可求数列{b n}的前n 项和S n；
﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立⇔
（Ⅲ）依题意，应有c n
+1
﹣﹣λ＜0恒成立⇔λ＞，设f（n）=﹣，可
求得f（n+1）﹣f（n）=，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，从而可求f（n）max，问题得到解决．
【解答】解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，
则=a1（a1+6d），
a1d=2d2，∵d≠0
∴a1=2d．…
又∵a2=3，
∴a1+d=3，
∴a1=2，d=1…
∴a n=n+1．…
（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…
∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）
=2n+．…
（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，
﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…
则c n
+1
即﹣﹣λ＜0⇒λ＞…
设f（n）=﹣，
f（n+1）﹣f（n）=﹣﹣+
=+﹣
=2++1+﹣3﹣
=…
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时，f（n）max=，
∴=
所以λ＞．…
【点评】本题考查数列的递推，考查数列的求和，突出考查累加法求和，考查构造函数思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与推理分析的能力，属于难题．。