8-10[1].辐射跃迁

对于发射过程，由含时微扰理论可知，单位时间 内从 a 跃迁到 b 并辐射出波矢为 k ，偏振态为ek 且 在立体角元 d 内的光子的跃迁几率(一级微扰结果)为
2 ik e 2 r dW a ek pe b ( nk 1 )d . 2 3 2m c
辐射场的每一个模形式 上相当于一个简谐振子
V * Pk i ( A A k k ). 2 4c
形式与简谐振子集合的 Hamiltonian函数完全相同
可得
1 2 2 2 W ( Pk Qk ) Hamiltonian函数 2 k
Qk和 Pk 满足Hamiltonian正则方程
2 2 ik r 对应原理的特例 dI ek j e 乘以 dW a ek pe b ( nk 1 )d . 2 3 2m c
即得到辐射强度对应的量子表达式。
nk
W P k Qk
W Q k Pk
正则变量
现在来讨论辐射场的量子化
把Q和P作为满足对易关系 PQ QP i 的算符 于是，Hamiltonian算符
1 2 2 H ( Pk2 Qk ). 2 k
与谐振子问题类似，定义一组新算符
ak 1 ( Qk iPk ), 2
这个表达式包含两部分，一部分与辐射场光子数无关 也就是说，在没有外加共振辐射场的时候，也有这 样的发射。它给出了自发辐射的强度。
ik r a e e v e b 通过代换 k 2
ik 2 1 r ek j e dr 4
则自发辐射强度的表达式与经典公式一致
ab ( Ea Eb ) /
平均每模光子数
分别是两个状态的原子能量 类似地，对于吸收过程(跃迁 b a ）
2 ik e 2 r dW b ek pe a nk d . 2 3 2m c
自发辐射的对应原理
在经典理论中，辐射强度
电流密度
为简单计，可假设辐射场封闭在一个边长为L的立方 体空腔内，并加上周期性边界条件。在这种情况下，
2 kx nx , L
2 ky n y , k z 2 nz , L L
每一组整数 ( nx , ny , nz )确定空腔中的一个模
ny 和nz中所包含的模数为 在间隔nx ， 3 n nx n y nz L k /( 2 )3 这一表达式同时给出了包含在间隔 k, k dk 且在立 体角元 d 内传播的模数。 V V 2 dn d k k dkd 3 3 ( 2 ) ( 2 ) 单位体积内在间隔 k, k dk 内的模数。
由此得到总自发跃迁几率和总自发辐射强度分别为
2 2 4 3 4 4 Wab a Db ; I 3 aDb . 3 3c 3c
进一步展开e 极跃迁。
ik r
可以得到更高阶的电多极跃迁和磁多
受激辐射和吸收
受激跃迁几率
辐射场每模 2 ik e 2 r dW a ek pe b ( nk 1 )d . 平均光子数 2 3 2m c
k
1 ,2
ik r * ik r ek ( Ak e Ak e );
Ak e it ,
两个独立的 偏振方向的 波矢 偏振方向 单位矢量
k / c
ek k
采用库仑规范
1 A 可得电场 E (r , t ) c t
2 ik e 2 r dW b ek pe a nk d . 2 3 2m c
nk
nk 一般不便直接测量，所以将它换成用能流密 度 I k 或能量密度 ( )表示比较方便。
I k 的定义：I k dd 表示在频率间隔( , d )内 具有偏振 ek 的辐射，以立体角 d 垂直投射 于单位面积上，每秒中通过该面积的能量。
4c
* ( A A k k ). 2
( n 1 ) ; Qnn' 0 , n' n 1. 2
* ( Ak )n1 ,n
可得
2c 2( n 1 ) ( Ak )n ,n1 , V
2c 2( n 1 ) . V
* 所有其它的矩阵元 Ak和 Ak 均为零
电磁辐射
辐射场量子化
两能级间跃迁，不仅与原子本身有关，还涉及 到外加辐射场的性质。设有一辐射场，其中电场和 磁场是互相垂直的，并且都垂直于传播方向。这个 0 ， 场可以用矢势和标势描述。无空间电荷时， 矢势可表示为平面波 exp[i(k r t )]的叠加，
A(r , t )
ak nk 1 nk 1 , ak 0 0. nk
H k 的本征值为
ak 和 a 分别为波矢为 k ，偏振态为ek 的光子的湮灭 算符和产生算符。 V V
k
矩阵 Qnn'
Qn ,n1 Q
* n1 ,n
Qk
4c
2
* ( Ak Ak ); Pk i
I k 1 I k 2 1 / 2 I
I c ( ) / 4
通过 对两个独立的偏振方向求和并对所有的立体角 元积分，我们得到状态a、b之间的总跃迁几率之间 的关系 4 3c 2 2c 3 Wa ( b , a ) W st( a , b ) Wsp ( a , b ) I Wsp ( a , b ) ( ) 3 3 现在把上面这些公式推广到多重态能级之间的跃迁 设能级 和 ' 的统计权重分别为g和g’。
q
* * e D D coseD D C1 ( , ) C ( , ) e q Dq , q e e 1q D D
q
* JM e D ' J' M' C1 q ( e , e ) JM Dq ' J' M'
为得到电磁场的Hamiltonian，需要将场能用正则变量 表示出来。根据电磁学理论，体积V内的电磁场能量
1 W 8

V
( E E B B )dV
* A A k k k
Vk 2 代入电场磁场形式计算可得场能 W 2
引入一组新的变量
V * Qk ( A A k k ); 2 4c
q
e JM Dq ' J' M'
* q q
由Wigner-Eckart定理
JM Dq ' J' M' ( 1 )
J M
a ek p b
2
m a ek r b
2 2
2
取D的方向为z轴的正方向。并且选择偏振矢量的方 向使
cos( ek1 D ) sin
a ek D b
2
ek 2 D
则

1,2
2 8 sin dd aDb . 3
A 0
ikr ikr

k
磁场 B(r , t ) A
k
1 ,2
ikek ( Ak e
1 ,2
* Ak e
).
ik r * ik r ik ( k ek )( Ak e Ak e ).
假设原子可以以相同的概率g-1处于能级 中的任一 状态a，则跃迁 '的总跃迁几率
则跃迁 ' 的总跃迁几率
W '
1 1 W ( a , b ); W ' W ( b , a ). g' a ,b g a ,b
能级 和 ' 之间的辐射跃迁几率可写成
用 以及光速c乘以单位体积内的模数 dk /( 2 )3 2dd /( 2c )3 可得 2dd I k dd cnk 3 ( 2c ) 即 8 3 c 2 nk I k 3 由此可以得到自发辐射几率 dWsp
受激辐射几率 dWst 之间的关系
Wsp A' ; Wst B' ( ); Wa B ' ( ).
Einstein系数
电偶极辐射
选择定则、偏振和方向分布
在电偶极跃迁的情况下，发生在状态和之间的 自发辐射几率为 3 2 dW a ek D b d . 3 2c
将 e D 按不可约张量展开
3 2
8 c dW ( b , a ) dW ( a , b ) dW ( a , b ) I k 3
a st sp
吸收几率dWa
3 2 8 c dWa ( b , a ) dWst ( a , b ) dWsp ( a , b ) I k 3
如果入射光是各向同性的且为自然偏振，则
a
k

它们满足对易关系
a
a
, a k k' ' kk' ' ,
k

1 ( Qk iPk ). 2
k k' '
, ak' '
a
,a
0.
从而得到Hamiltonian式
k k
N k ak ak
H H k ( ak ak 1 / 2 ) ( N k 1 / 2 ).
跃迁几率
A(r , t )
k
1 , 2
ik r * ik r ek ( Ak e Ak e );
原子与每一个平面波相互作用可得矩阵元 e * ik r H' (ek p ) Ak e ik r Ak e , mc 辐射场的作用将引起原子能级间的跃迁。只有对光 子数增加或减少1的跃迁才不为零。
k
1 E k ( nk ), nk 0,1,2,. 2 N k 的本征值是 nk 0 ,1,2, 本征态为 nk nk 表示辐射场中波矢为 k ，偏振态为 ek 的光子数。 因此N称为占有数算符。
与谐振子类似 ak nk nk nk 1 ,
北京理工大学原子与分子物理学专业课程
原子结构与光谱
The Theory of Atomic Structure and Spectra
苟秉聪 教授 王 菲 博士 原子与分子物理教研室 2005. 9
辐射跃迁
量子系统从一个定态到另一个定态的改变称 为跃迁。原子由于发射或吸收光子引起的跃迁， 称为辐射跃迁。本章介绍辐射跃迁的基本理论， 包括电偶极跃迁、多极跃迁、光电离、光复合以 及自由——自由跃迁等各种过程。


设原子的初态为 a ，末态为 b ；辐射场的初态为 nk 末态为 nk 1 。对于这种跃迁，
e 2c 2( n 1 ) ( H' )an ,bn1 ek a pe ik r b , mc V
e 2c 2n ( H' )bn ,an1 ek b pe - ikr a . mc V
电偶极辐射
e
ik r
假设波长 2c / 远大于原子的限度，则 k r 1
1 。因此，
2
由于 er D 是原子的电偶极矩，因此得
2 dW a ek D b d . 3 2c
3
ik a ek pe r b