人教版中考数学二轮复习专题练习下探究规律-差后等差型

差后等差型1.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n 层六边形点阵的总点数为331，则n 等于___①___．答案：11解析：令第n 个数的代数表达式为=2ax bx c ++利用待定系数法得，1n =时，总数为1a b c ++=，2n =时，总数为427a b c ++=， 3n =时，总数为93=19a b c ++，解得3a =，3b =-，1c = 故代数式为2331n n -+，∴当2331=331n n -+时，解得111n =，210n =-2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.15B.25C.55D.1225答案：D解析：三角形数为：1(1)2n n +，四边形数2n ， A.选项中15不满足四边形数2n ，故舍去，B.选项中25不满足三角形数为：1(1)2n n +，故舍去， C.选项中55不满足四边形数2n ，故舍去， D.选项中1225既满足三角形数为：1(1)2n n +，又满足四边形数2n ，故选D ， 3.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要____枚棋子，摆第n 个图案需要____枚棋子．答案：127；3；3；1 解析：令总数=2anbn c ++利用待定系数法将，1n =时，总数为7，2n =时，总数为19，3n =时，总数为37，代入总数=2an bn c ++，解得3a =，3b =，1c =，故代数式为2331n n ++4.如图，用火柴摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆出第30个图案用______根火柴棍．答案：1860 解析：令总数=2anbn c ++利用待定系数法将，1n =时，总数为4，2n =时，总数为12，3n =时，总数为24，代入总数=2an bn c ++，解得2a =，2b =，0c =， 故代数式为222n n +，当30n =时，故2230+230=1860⨯⨯5.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律．若前n 行点数和为930，则n =（）．A ．29B ．30C ．31D ．32答案：B解析：设第n 行的代数是2anbn c ++利用待定系数法，将(12)，、(26)，、(312)，代入二次代数式求1a=，1b =，0c =，故代数式为2n n +，另2930n n +=，解得130n =，231n =-（舍）6.下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，则第5行从左向右数第5个数为_____，第n （3n ≥，且n 是整数）行从左向右数第5105=n _______．答案：21；11解析：令第n 个数的代数表达式为2ax bx c ++利用待定系数法得，3n =9，4n =14，5n =212ax bx c ++1a =，2b =-，6c =226n n -+226105n n -+=，226105n n -+=，∴19n =-（舍），11n =6.在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_____个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)n -，，(0)n ，，(20)n ，，(0)n -，（n 为正整数），且菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为288，则n =____．-8-448ODC BA y x答案：48;9解析：114(844)2S =⨯⨯⨯-，故14(2)2n S n n n =⨯⨯⨯-=244n n - ∴244288nn -=，解得，19n =，2=8n -(舍)∴菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为288，则9n =7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，且(2,0)A -，(0,1)B ，在直线AB 上截取1BB AB =，过点1B 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点1A 、1C ，得到矩形111OA B C ；在直线AB 上截取121B B BB =，过点2B 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点2A 、2C ，得到矩形222OA B C ；在直线AB上截取2312B B B B =，过点3B 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点3A 、3C ，得到矩形333OA B C ；…则第3个矩形333OA B C 的面积是______；第40个矩形n n n OA B C 的面积是______． 答案：24；3280y xA 2A 3C 3C 2A 1C 1OB 3B 2B 1B A解析：令面积=2an bn c ++利用待定系数法将，1n =时，总数为4，2n =时，总数为12，3n =时，总数为24，代入面积=2an bn c ++，解得2a =，2b =，0c =故代数式为222n n +，当40n =时，2240+240=3280⨯⨯8.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_________；第n 行（3n ≥）从左到右的第3个数为_________．（用含n 的代数式表示） 答案：13；0.5；-0.5；3解析：令第n 行（3n ≥）从左到右的第3个数为=2an bn c ++利用待定系数法将，3n =时，总数为6，4n =时，总数为9，5n =时，总数为13，代入总数=2an bn c++，解得12a =，12b =-，3c =， 故代数式为211322n n -+ 9.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是01（，）、20（，），第2次平移后可能到达的点是02（，）、21（，）、40（，），第3次平移后可能到达的点是03（，）、22（，）、41（，）、60（，），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为1l ，13l =；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为2l ，29l =；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为3l ，318l =；按照这样的规律，4l =______；40l =_____．yx123456789123456789O答案：30；2460 解析：令nl =2an bn c ++利用待定系数法将，1n =时，13l =，2n =时，29l =， 3n =时，318l =，代入n l =2an bn c ++，解得32a =，32b =，0c =，故代数式为()312n n +，当40n =时，()31340(401)=246022n n +⨯⨯+=10.在平面直角坐标系xOy 中，直线2x =和抛物线2yax =在第一象限交于点A ，过A 作AB x ⊥轴于点B ．如果a 取1，2，3，…，n 时对应的AOB △的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S ，那么1S =_____；若123...1300n S S S S ++++=，则n =______．xOy答案：4；25解析：把1a=代入2y ax =得2y x =，则直线2x =和抛物线2y x =在第一象限交点A 的坐标为(2,4)，易求14S =；分别把2a =、3a =代入2y ax =中，可求得点A 的坐标分别是(2,8)、(2,12)；可求28S =、312S =；观察1S 、2S 、3S 可以发现4n S n =，所以12......2(1)n S S S n n +++=+．∴2(1)1300n n +=，解得125n =，226n =-（舍）11.如图，点1A ，2A ，3A ，…，点1B ，2B ，3B ，…，分别在射线OM ，ON 上．11OA =，1112A B OA =，1212A A OA =，2313A A OA =，3414A A OA =，…．11223344A B A B A B A B ∥∥∥∥…．则22A B =____，n n A B =____．（n 为正整数）．4NMA 1A 2A 3A 43B 21答案：6；1；1；0 解析：∵11OA =，∴12212A A =⨯=，23313A A =⨯=，344A A =，…，211n n A A n --=-，1n n A A n -=，∵11223344A B A B A B A B ∥∥∥∥…，∴111222OA A B OA A B =，∴2212112A B ⨯=+， ∴2262(21)A B ==⨯+，33123(31)A B ==⨯+，44204(41)A B ==⨯+，…， ∴(1)n n A B n n =+，故答案为：6；(1)n n +．∴1a =，1b =，0c =12.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定11a =，23a =，36a =，410a =，…；11b =，24b =，39b =，416b =，…；1112y a b =+，2222y a b =+，3332y a b =+，4442y a b =+，…，那么，按此规定，6y =____，50y =____．（用含n 的式子表示，n 为正整数）．答案：78，5050解析：根据题中给出的数据可得6123......6a =++++，266b =，∴66622213678y a b =+=⨯+=；222(1)22(123......)222n n n n n y a b n n n n n +=+=⨯+++++=⨯+=+．当50n =时，250250505050y =⨯+=．13.观察下面一列数的规律并填空：0381524⋯，，，，，，则第n 个数是5183，则n =______．答案：72解析：观察不难发现，每一个数都是比完全平方数小1的数，则第n 个数的表达式为21n -，故215183n-=，解得172n =，272n =-（舍）14.将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对21（，）对应，数5与13（，）对应，数14与34（，）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为______． 本题答案为()a b ，，则a =___①___；b =___②___．答案：45；12解析：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同； ∵45452025⨯=，2014在第45行，向右依次减小，∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为4512（，）． 故答案为：4512（，）．15.凸n 边形的对角线的条数记作()4≥n a n 例如：4=2a ，那么：①5=a _____；②65=a a -______；③1=n n a a +-______．（4≥n ，用含n 的代数式表示）.答案：5;4;n-1.解析：凸5边形每个点的对角线有53-条，计535=52-⨯条； 凸6边形每个点的对角线有63-条，计636=92-⨯条； 凸n 边形每个点的对角线有3n -条，计()32n n -条；凸1＋n 边形每个点的对角线有2n -条，计()()122n n +-条.因此55=a ；65=954a a --=；1=n n a a +-()()()12322n n n n +---2223122n n n n n ---=-=-.16.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去， 则第60个图形需要黑色棋子的个数是______．第4个图形第3个图形第2个图形第1个图形答案：3720解析：从图中观察，第1个图形需要3个黑色棋子，第2个图形需要8222（）=⨯+个黑色棋子，第3个图形需要15332（）=⨯+个黑色棋子，第4个图形需要24442（）=⨯+个黑色棋子，……则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是2（）n n +，则第60个为6062=3720⨯.17.已知：如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，第④个图形中一共有___个平行四边形，……，第n 个图形中一共有平行四边形的个数为599个，则n =______．答案：19，24解析：图①有1个，图②有5个，图③有11个平行四边形．设第n 个图平行四边形个数2y an bn c =++．代入前三个数据解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴第④个图形有19个平行四边形，∴第n 个图形中一共有平行四边形的个数为21n n +-．故21=599n n +-，解得124n =，225n =-．18.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为____答案：76解析：第①个图形有1个棋子， 第②个图形有15+个棋子， 第③个图形有1510++个棋子，由此可以推知：第④个图形有151015+++个棋子， 第⑤个图形有15101520++++个棋子， 第⑥个图形有1510152025+++++个棋子．故选C．19.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是______．答案：51-=，解析：∵514-，=1257-，=221210∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，+=，∴第4个五边形数是221335+=．第5个五边形数是351651故答案为：51．20.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为_____．（用含n 的代数式表示）．图1图2图3答案：1；2；1解析：找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示．+=①134++=②1359+++=③135716++++=④135792522=++++⋯⋯++=+++1357(21)(1)21n n n n21.用同样大小的圆按下列方式组成图案，第10个图案中圆的个数为_____答案：331解析：第一个图形中圆的个数为：6×1+1=7个；第二个图形中圆的个数为：6×（1+2）+1=19个；第三个图形中圆的个数为：6×（1+2+3）+1=37个；第四个图形中圆的个数为：6×（1+2+3+4）+1=61个；…第10个图案中圆的个数为：6×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+1=331．22.小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为______颗；当挪动60颗珠子时（n为大于1的整数），所得分数为______（用含n的代数式表示）．答案：8；3659解析:由题中数据可知：5+6=11，11+8=19，19+10=29，19+12=41，41+14=55，55+16=71．这是一个二次等差数列，可知结果一定是二次三项式的形式，可通过待定系数法求出结果为21n n +-．当60n =时，221606013659n n +-=+-=23.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2，第（2）个图形的面积为8，第（3）个图形的面积为18，……，第（10）个图形的面积为____(4)(3)(2)(1)答案：200 解析：观察图形，第1（）个图形中有21(1)个矩形，面积为2cm 2，即2122⨯=cm ；第2（）个图形中有24(2)个矩形，面积为28cm ，即2242228⨯=⨯=cm ；第3（）个图形有29(3)个矩形，面积为218cm ，即22923218cm ⨯=⨯=；……，所以第10（）个图形有2100(10)个矩形，面积为：21002200⨯=cm ．故选B ．24.如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中含有1个正方形；第2幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有______个正方形；答案：91解析：第①幅图中含有1个正方形， 第②幅图中含有5个正方形； 第③幅图中含有14个正方形……，21=1；225=1+2；22214=1+2+3……，则第⑥幅图中含有：2222221+2+3+4+5+6=91个正方形．25.如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有______个.答案：100解析：观察每一个图中黑色正六边形的排列规律， 第1个图中黑色正六边形有211=个， 第2个图中黑色正六边形有242=个，第3个图中黑色正六边形有293=个，⋯ 则第10个图中黑色正六边形有210100=个.26.已知：如图，在Rt ABC △中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连结1BE交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC⊥于点2E ，连结2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…、n D ，分别记11BD E △、22BD E △、33BD E △…、n n BD E △的面积为1S 、2S 、3S 、…、n S ．设ABC △的面积是1，1S =______，若1=2401n S ，则n =______．（若答案不为整数，请填分数） D 4D 1D 2D 3ABC321答案：0.25；48 解析：11AD BD =，11D E BC ∥，1112D E BC =，1111111=44BD E CD E ACB S S S S ===△△△；112233n n CD E CD E CD E CD E L ∽∽△△△△111221=2D E D D BC CD =，2123CD CD =，2222112221==()39BD E CD E CD E S S S S ==△△△，22112=3D E D E ，2223313D E D D BC CD ==，3234CD CD =，3333222331==()416BD E CD E CD E S S S S ==△△△，33223=4D E D E ，3334414D E D D BC CD ==，4345CD CD =，4444332441==()=525BD E CD E CD E S S S S =△△△，11221=n n n n D E n D E n -----，1111n n n n n D E D D BC CD n ---==，11n n CD nCD n -=+，11221==()1(1)n n n n n n n BD E CD E CD E n S S S S n n --==++△△△．∴211(1)2401n =+，解得148n =，250n =-（舍）27.如图，在平面直角坐标系中，123401030()()()(6)010⋯，，，，，，，，，B B B B 以12B B 为对角线作第一个正方形1112A B C B ，以23B B 为对角线作第一个正方形2223A B C B ，以34B B 为对角线作第一个正方形3334⋯，，A B C B 如果所作正方形的对角线1+n n B B 都在y 轴上，且1+n n B B 的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象限内（1≥n ，且n 为整数），那么1A 的纵坐标为______，表示31A 的纵坐标______．Oy xB 5C 4A 4B 4C 3A 3B 3C 2A 2B 2C 1B 1A 1答案：2；512 解析：作1⊥A Dy 轴于点D ，则11223121B D B B =÷=-÷=（）， ∴1A 的纵坐标11112=+=+=B D B O同理可得2A 的纵坐标=22323632 4.5+÷=+-÷=（）（）OB B B ，∴n A 的纵坐标为2(1)2+n当32n =时，2(1)3232==51222n +⨯28.按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是______． 答案：82解析：观察可得这列数依次可化为：222111112131+-+L ，，当n 为奇数时，第n 个数为211+n当n 为偶数时，第n 个数为211-n所以第9个数是2119182=+。