湖北省2021年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考数学试题 - 含答案
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面积为 b1 ，后续各直角三角形面积依次为 b2，b3，，bn , ．下列说法
错．误．的是（ ）
A．从正方形
ABCD
开始，连续
3
个正方形的面积之和为
129 4
图（1）
B． an 4
10 n1 4
C．使得不等式
bn
1 2
成立的
n
的最大值为
4
D．数列bn 的前 n 项和 Sn 4
图（2）
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
以 O 点为坐标原点，分别以 OC, OE, OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的
3
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c 3 ，角 A 与角 B 的内角平分线相交于点 D ，求 ABD 面积的取值范围．
22．（本小题 12 分）已知函数 f (x) 1 ax2 (a 1)x+ ln x a 0 ．
2 （1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）当 a 1 时，判断函数 g(x) f (x) (x 1) ln x x 1 的零点个数．
l : y kx m(km 0) 与双曲线 C 相交于不同的两点 M , N ，若 BM BN ，求实数 m 的
取值范围．
20．（本小题 12 分）在锐角三角形 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且
c sin B 3 b cos( A B) 3 b ．
ห้องสมุดไป่ตู้
3
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 5页
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 6页
2021 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学参考答案
一、单选题 1－4 DBAA 5－8 二、多选题 9．AB 10．ACD 三、填空题
了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象
的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面
螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示．如下图（2）所示阴
影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形
7．
已知函数
f
(x)
1 3
ax3
x2
bx(a
0, b
0)
的一个极值点为
2
，则
1 a
1 b
的最小值为（
）
A．
7 4
B．
9 4
C．
8 5
D． 7
8．2021 年 7 月 24 日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作
业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解
2)
C32
1 3
2
2 3
1
2 9
分布列为：
P(X
1)
C31
1 3
1
2 3
2
4 9
P(X
3)
1 3
3
1 27
（8 分）
X
0
1
8
4
P
27
9
2
3
2
1
9
27
期望 E( X ) 3 1 1 3
（12 分）
19．（1）证明：因为 ABE 为等腰直角三角形 点 O 为棱的中点 所以 AO BE
对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次．记球颜色相同的次数为随机变量
X ，求 X 的分布列和数学期望．
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 4页
19 ．（ 本 小 题 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 A - BCDE 中 ， 四 边 形 BCDE 为 平 行 四 边 形 ， 且 BC 2，CBE 45 ，三角形 ABE 为等腰直角三角形，且 AB 2, BAE 90 ． （1）若点 O 为棱 BE 的中点，证明：平面 ACD 平面 AOC ； （2）若平面 ABE 平面 BCDE ，点 F 为棱 BC 的中点，求直线 AF 与平面 ADE 所成角的正弦值．
3 1 5 3 7 5 9 7 3 7 11 15
38 .
（10 分）
18．（1） 1 2 + 2 2 + 3 2 = 2 6363633
（4 分）
（2）由题意可知: X ~B(3, 1) 3
X 的所有可能取值为 0,1,2,3
P(X
0)
1 3
0
2 3 3
8 27
P(X
数，则称有序集合对 A, B 为“兄弟集合对”．当 n 3 时，这样的“兄弟集合对”有______对；
当 n 3 时，这样的“兄弟集合对”有__________________对（用含有 n 的表达式作答）．
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 3页
四、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
2
A．
1 4
,
B．
,
1 4
C．
,
3 4
1 4
,
D．
3 4
，
1 4
6． 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S4 =3，S8 =9 ，则 S16 的值为（ ）
A．12
B． 30
C． 45
D． 81
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 1页
2an 1 2an1
1
两式作差可得： 4an
an 2
a2 n1
2
an
an1
所以 an an1 an an1 2an an1
又因为 an 0，则an an1 0 ， 所以 an an1 2
（3 分）
an 1 (n 1) 2 2n 1
Sn
n(1
2n 2
1)
n2
an 2n 1 Sn n2
13． 0
DCBC
11．CD 12．ABD
14． 1 a 1
5
2
15． 5 12
16．14
4n 2 2n (第一空 2 分，第二空 3 分) 3
四、解答题
17．解：（1）由原式可得： 4Sn an2 2an 1
当 n 1 时， 4a1 a12 2a1 1 a1 1；
当
n
2
时，
44SSnn1aan 2n 12
又因为 AB 2, BAE 90
所以 BO 2
又因为 在 BOC 中 BO 2, BC 2, CBO 45
所以 CO BO2 BC 2 2BO BC cos CBO 2
所以 BO2 CO2 BC 2 又因为 AO CO O
所以 CO BE
所以 BE 平面AOC
又因为 BCDE 为平行四边形 所以 BE // CD
2021 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学试卷
考试时间：2021 年 11 月 4 日下午 15:00－17:00 试卷满分：150 分
一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求。）
1．
设集合
A
{x
|
log2
(1 2a)x a, x
2x3, x 3
3 ，若单调递增数列an 满足 an
f
(n) ，则实数 a 的取值范
围为__________．
15．在
ABC
中， AB
4
， AC
3
，A
，点 O
为
ABC
的外心，若
AO
AB
AC
，
、
R
，
3
则 = _________．
16．若集合 Un 1, 2,3, ,n ,n 2,n N , A,B Un，且满足集合 A 中最大的数大于集合 B 中最大的
ABCD 的边长为 4，取正方形 ABCD 各边的四等分点 E, F , G, H ，
作第 2 个正方形 EFGH ，然后再取正方形 EFGH 各边的四等分点
M , N , P, Q ，作第 3 个正方形 MNPQ ，依此方法一直继续下去，就
可以得到阴影部分的图案．设正方形 ABCD 边长为 a1 ，后续各正方形 边长依次为 a2，a3，，an , ；如图（2）阴影部分，设直角三角形 AEH
17．（本小题 10 分）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn ，且 an2 4Sn 2an 1．
（1）求 an , Sn ；
（2）设 bn
an
2 +1+
2
an
+5
，n为奇数， 求数列
bn
的前
8
项和
T8
．
Sn Sn1，n为偶数，
18．（本小题 12 分）小 C 和小 D 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有 6 个大小和质地
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 2页
所以 CD 平面AOC
又因为 CD 平面ACD
所以 平面ACD 平面AOC .
（6 分）
（2） 因为 平面ABE 平面BCDE，平面ABE 平面BCDE BE ， AO BE
所以 AO 平面BCDE 又因为 BE OC
x
4}，
B
x
|
1 x
x 2
0
，则
A
B
（
）
A．x | 2 x 2 B．x | 0 x 1
C．x | 2 x 1 D．x | 0 x 1
2． 已知平面向量 a (1,1), b (2, 0) ，若 2a b a kb ，则 k 的值为（
）
A． 2
B． 3 4
D．若数列an 为等差数列，且 a1011 0, a1011 a1012 0 ，则当 Sn 0 时， n 的最大值为 2021
12．已知函数
f
x
ln
x
x x
1 ，下列结论成立的是（ 1
）
A．函数 f x 在定义域内无极值
B．函数
f
x
在点
A 2,
f
2
处的切线方程为
y
5 2
x
ln
2
8
C．函数 f x 在定义域内有且仅有一个零点
k
,
2
k
,
k
Z
D．
f
x
的图象关于点
4
,1
对称
11．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，下列说法正确的是（ ）
A．若 Sn n2 11n 1 ，则 an =2n 12
B．若 an 2n+11，则数列 an 的前 10 项和为 49
C．若 an 2n+11，则 Sn 的最大值为 25
相同的球，其中甲盒子中有 1 个红球，2 个黄球，3 个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为 2
个，小 C 同学在甲盒子中取球，小 D 同学在乙盒子中取球．
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率； （2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，
ln 2x 2 x
3． 函数 f (x)
的图象大致为（
x
C． 1 2
）
D． 2
A．
B．
C．
D．
4．
若
cos
6
1 3
，则
sin
6
2
（
）
A． 7 9
B． 2 2 3
C． 7 9
D． 4 2 9
5． 已知偶函数 f x 在 , 0 上单调递增，则满足 f (2x 1) f (1) 的 x 的取值范围是（ ）
D．函数 f x 在定义域内有两个零点 x1, x2 ，且 x1 x2 =1
三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．将函数 y f x 的图象向左平移 个单位长度后得到 g x sin 2 x的图象，则
6
f
6
=
__________．
14．已知函数
f
(x)
21．（本小题 12 分）已知双曲线 C ： x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A(1,0) ，点 P
是其渐近线上的一点，且以 PF 为直径的圆过点 A ， PO 2 ，点 O 为坐标原点．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）当点 P 在 x 轴上方时，过点 P 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 B ，设直线
9． 下列命题为真命题的是（ ）
A．命题 p :“ x R，x2 3x 2 0 ”的否定为 p : “ x R，x2 +3x 2 0 ”
B．若 a, b, m 为实数，则“ am2 bm2 ”是“ a b ”的充分不必要条件
C．平面向量 a ， b 的夹角为锐角的充要条件是 a b 0
（5 分）
（2） bn
22
2 2 2n 4 2n n 2
an 1 an 5
4
Sn Sn1 2n 1，n为偶数
n, n为奇数
（7 分）
所以 T8 b1 b2 b8
b1 b3 b5 b7 b2 b4 b6 b8
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 1页
a 1 ab 1 D．若 a,b 为实数，则 b 1是 a b 2 的充要条件
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10．已知函数 f x 2sin2 x ，下列说法正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为
B． f x 是奇函数
C．
f
x
的单调递增区间为
错．误．的是（ ）
A．从正方形
ABCD
开始，连续
3
个正方形的面积之和为
129 4
图（1）
B． an 4
10 n1 4
C．使得不等式
bn
1 2
成立的
n
的最大值为
4
D．数列bn 的前 n 项和 Sn 4
图（2）
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
以 O 点为坐标原点，分别以 OC, OE, OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的
3
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c 3 ，角 A 与角 B 的内角平分线相交于点 D ，求 ABD 面积的取值范围．
22．（本小题 12 分）已知函数 f (x) 1 ax2 (a 1)x+ ln x a 0 ．
2 （1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）当 a 1 时，判断函数 g(x) f (x) (x 1) ln x x 1 的零点个数．
l : y kx m(km 0) 与双曲线 C 相交于不同的两点 M , N ，若 BM BN ，求实数 m 的
取值范围．
20．（本小题 12 分）在锐角三角形 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且
c sin B 3 b cos( A B) 3 b ．
ห้องสมุดไป่ตู้
3
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2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 6页
2021 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学参考答案
一、单选题 1－4 DBAA 5－8 二、多选题 9．AB 10．ACD 三、填空题
了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象
的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面
螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示．如下图（2）所示阴
影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形
7．
已知函数
f
(x)
1 3
ax3
x2
bx(a
0, b
0)
的一个极值点为
2
，则
1 a
1 b
的最小值为（
）
A．
7 4
B．
9 4
C．
8 5
D． 7
8．2021 年 7 月 24 日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作
业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解
2)
C32
1 3
2
2 3
1
2 9
分布列为：
P(X
1)
C31
1 3
1
2 3
2
4 9
P(X
3)
1 3
3
1 27
（8 分）
X
0
1
8
4
P
27
9
2
3
2
1
9
27
期望 E( X ) 3 1 1 3
（12 分）
19．（1）证明：因为 ABE 为等腰直角三角形 点 O 为棱的中点 所以 AO BE
对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次．记球颜色相同的次数为随机变量
X ，求 X 的分布列和数学期望．
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 4页
19 ．（ 本 小 题 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 A - BCDE 中 ， 四 边 形 BCDE 为 平 行 四 边 形 ， 且 BC 2，CBE 45 ，三角形 ABE 为等腰直角三角形，且 AB 2, BAE 90 ． （1）若点 O 为棱 BE 的中点，证明：平面 ACD 平面 AOC ； （2）若平面 ABE 平面 BCDE ，点 F 为棱 BC 的中点，求直线 AF 与平面 ADE 所成角的正弦值．
3 1 5 3 7 5 9 7 3 7 11 15
38 .
（10 分）
18．（1） 1 2 + 2 2 + 3 2 = 2 6363633
（4 分）
（2）由题意可知: X ~B(3, 1) 3
X 的所有可能取值为 0,1,2,3
P(X
0)
1 3
0
2 3 3
8 27
P(X
数，则称有序集合对 A, B 为“兄弟集合对”．当 n 3 时，这样的“兄弟集合对”有______对；
当 n 3 时，这样的“兄弟集合对”有__________________对（用含有 n 的表达式作答）．
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四、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
2
A．
1 4
,
B．
,
1 4
C．
,
3 4
1 4
,
D．
3 4
，
1 4
6． 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S4 =3，S8 =9 ，则 S16 的值为（ ）
A．12
B． 30
C． 45
D． 81
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 1页
2an 1 2an1
1
两式作差可得： 4an
an 2
a2 n1
2
an
an1
所以 an an1 an an1 2an an1
又因为 an 0，则an an1 0 ， 所以 an an1 2
（3 分）
an 1 (n 1) 2 2n 1
Sn
n(1
2n 2
1)
n2
an 2n 1 Sn n2
13． 0
DCBC
11．CD 12．ABD
14． 1 a 1
5
2
15． 5 12
16．14
4n 2 2n (第一空 2 分，第二空 3 分) 3
四、解答题
17．解：（1）由原式可得： 4Sn an2 2an 1
当 n 1 时， 4a1 a12 2a1 1 a1 1；
当
n
2
时，
44SSnn1aan 2n 12
又因为 AB 2, BAE 90
所以 BO 2
又因为 在 BOC 中 BO 2, BC 2, CBO 45
所以 CO BO2 BC 2 2BO BC cos CBO 2
所以 BO2 CO2 BC 2 又因为 AO CO O
所以 CO BE
所以 BE 平面AOC
又因为 BCDE 为平行四边形 所以 BE // CD
2021 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高三数学试卷
考试时间：2021 年 11 月 4 日下午 15:00－17:00 试卷满分：150 分
一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求。）
1．
设集合
A
{x
|
log2
(1 2a)x a, x
2x3, x 3
3 ，若单调递增数列an 满足 an
f
(n) ，则实数 a 的取值范
围为__________．
15．在
ABC
中， AB
4
， AC
3
，A
，点 O
为
ABC
的外心，若
AO
AB
AC
，
、
R
，
3
则 = _________．
16．若集合 Un 1, 2,3, ,n ,n 2,n N , A,B Un，且满足集合 A 中最大的数大于集合 B 中最大的
ABCD 的边长为 4，取正方形 ABCD 各边的四等分点 E, F , G, H ，
作第 2 个正方形 EFGH ，然后再取正方形 EFGH 各边的四等分点
M , N , P, Q ，作第 3 个正方形 MNPQ ，依此方法一直继续下去，就
可以得到阴影部分的图案．设正方形 ABCD 边长为 a1 ，后续各正方形 边长依次为 a2，a3，，an , ；如图（2）阴影部分，设直角三角形 AEH
17．（本小题 10 分）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn ，且 an2 4Sn 2an 1．
（1）求 an , Sn ；
（2）设 bn
an
2 +1+
2
an
+5
，n为奇数， 求数列
bn
的前
8
项和
T8
．
Sn Sn1，n为偶数，
18．（本小题 12 分）小 C 和小 D 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有 6 个大小和质地
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 2页
所以 CD 平面AOC
又因为 CD 平面ACD
所以 平面ACD 平面AOC .
（6 分）
（2） 因为 平面ABE 平面BCDE，平面ABE 平面BCDE BE ， AO BE
所以 AO 平面BCDE 又因为 BE OC
x
4}，
B
x
|
1 x
x 2
0
，则
A
B
（
）
A．x | 2 x 2 B．x | 0 x 1
C．x | 2 x 1 D．x | 0 x 1
2． 已知平面向量 a (1,1), b (2, 0) ，若 2a b a kb ，则 k 的值为（
）
A． 2
B． 3 4
D．若数列an 为等差数列，且 a1011 0, a1011 a1012 0 ，则当 Sn 0 时， n 的最大值为 2021
12．已知函数
f
x
ln
x
x x
1 ，下列结论成立的是（ 1
）
A．函数 f x 在定义域内无极值
B．函数
f
x
在点
A 2,
f
2
处的切线方程为
y
5 2
x
ln
2
8
C．函数 f x 在定义域内有且仅有一个零点
k
,
2
k
,
k
Z
D．
f
x
的图象关于点
4
,1
对称
11．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，下列说法正确的是（ ）
A．若 Sn n2 11n 1 ，则 an =2n 12
B．若 an 2n+11，则数列 an 的前 10 项和为 49
C．若 an 2n+11，则 Sn 的最大值为 25
相同的球，其中甲盒子中有 1 个红球，2 个黄球，3 个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为 2
个，小 C 同学在甲盒子中取球，小 D 同学在乙盒子中取球．
（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率； （2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，
ln 2x 2 x
3． 函数 f (x)
的图象大致为（
x
C． 1 2
）
D． 2
A．
B．
C．
D．
4．
若
cos
6
1 3
，则
sin
6
2
（
）
A． 7 9
B． 2 2 3
C． 7 9
D． 4 2 9
5． 已知偶函数 f x 在 , 0 上单调递增，则满足 f (2x 1) f (1) 的 x 的取值范围是（ ）
D．函数 f x 在定义域内有两个零点 x1, x2 ，且 x1 x2 =1
三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．将函数 y f x 的图象向左平移 个单位长度后得到 g x sin 2 x的图象，则
6
f
6
=
__________．
14．已知函数
f
(x)
21．（本小题 12 分）已知双曲线 C ： x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A(1,0) ，点 P
是其渐近线上的一点，且以 PF 为直径的圆过点 A ， PO 2 ，点 O 为坐标原点．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）当点 P 在 x 轴上方时，过点 P 作 y 轴的垂线与 y 轴相交于点 B ，设直线
9． 下列命题为真命题的是（ ）
A．命题 p :“ x R，x2 3x 2 0 ”的否定为 p : “ x R，x2 +3x 2 0 ”
B．若 a, b, m 为实数，则“ am2 bm2 ”是“ a b ”的充分不必要条件
C．平面向量 a ， b 的夹角为锐角的充要条件是 a b 0
（5 分）
（2） bn
22
2 2 2n 4 2n n 2
an 1 an 5
4
Sn Sn1 2n 1，n为偶数
n, n为奇数
（7 分）
所以 T8 b1 b2 b8
b1 b3 b5 b7 b2 b4 b6 b8
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学参考答案（共 8 页）第 1页
a 1 ab 1 D．若 a,b 为实数，则 b 1是 a b 2 的充要条件
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 2页
10．已知函数 f x 2sin2 x ，下列说法正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为
B． f x 是奇函数
C．
f
x
的单调递增区间为