2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.3 函数的奇偶性与周期性

§2.3函数的奇偶性与周期性
最新考纲考情考向分析
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判
断、应用简单函数的周期性.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶
性为主，常与函数的单调性、周期性交
汇命题，加强函数与方程思想、转化与
化归思想的应用意识，题型以选择、填
空题为主，中等偏上难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，
都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于坐标原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，
都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？
提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？
(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．
(2)f(x＋a)＝
1
f(x)
(a≠0)．
(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )． 提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) 题组二教材改编
2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案－2
解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.
3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－4x 2＋2，－1≤x <0，
x ，0≤x <1，
则f ⎝⎛⎭⎫
32＝______. 答案1
解析f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭
⎫－1
22＋2＝1. 4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．
答案(－2,0)∪(2,5]
解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三易错自纠
5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是() A ．－13B.13C.12D ．－1
2
答案B
解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1
3.
又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1
3
.
6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝________. 答案1
8
解析由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫1
2＝⎝⎛⎭⎫123＝1
8.
题型一函数奇偶性的判断
例1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2
；
(3)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.
解(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
36－x 2≥0，
x 2
－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，
即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝
36－x 2＋
x 2－36＝0.
∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2>0，
|x －2|≠2，
得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
关于原点对称．
∴x －2<0， ∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝ln (1－x 2)
－x
.
又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)
x ＝－f (x )，
∴函数f (x )为奇函数．
(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，
则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，
则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；
综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．
思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．
跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是() A ．f (x )＝x ＋sin2x B ．f (x )＝x 2－cos x C ．f (x )＝3x －1
3x D ．f (x )＝x 2＋tan x
答案D
解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin2(－x )＝－(x ＋sin2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－
x ＝
－⎝⎛⎭⎫3x －13x ＝－f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
(2)已知函数f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x
2，则下列结论正确的是()
A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数
B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数
C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数
D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数 答案A
解析易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}．
因为f (－x )＋g (－x )＝－x
2－x －1＋－x 2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x (1－2x )－x 1－2x
－x 2＝x 2x －1＋x
2＝f (x )＋g (x )，
所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A. 题型二函数的周期性及其应用
1．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x (1－x )，0≤x ≤1，
sinπx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫
416＝________. 答案516
解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－7
6 ＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫7
6 ＝－316＋sin π6＝516
.
2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1
－f (x )
，则f (2020)＝________. 答案－2－ 3 解析由f (x ＋2)＝
1－f (x )，得f (x ＋4)＝1
－f (x ＋2)
＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2020)
＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－1
2－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－ 3.
3．(2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－
x ，则f (919)＝________. 答案6
解析∵f (x ＋4)＝f (x －2)， ∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)， 即f (x ＋6)＝f (x )，
∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.
4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1
解析依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫
12＋f (0) ＝1
2
2－1＋20－1 ＝2－1.
思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型三函数性质的综合应用
命题点1求函数值或函数解析式
例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，
则f (2021)＝________. 答案－12
解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .
因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝1
2，
所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－1
2.
(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e
－x －1
－x ，则f (x )＝________.
答案⎩
⎪⎨⎪⎧
e
－x －
1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0
解析∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e －x －1
－x ，x ≤0，
e x －1
＋x ，x >0.
命题点2求参数问题
例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案1
解析∵f (－x )＝f (x )， ∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋
a ＋x 2)，
∴ln[(
a ＋x 2)2－x 2]＝0.
∴ln a ＝0，∴a ＝1.
(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2
x ＋1，0≤x ≤1，
其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫
32，则a ＋3b 的值为________． 答案－10
解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而1
2b ＋212＋1＝－12a ＋1，
即3a ＋2b ＝－2.①
由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2，
即b ＝－2a .②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.
(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________． 答案[－1,0]
解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0
时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎨
⎧
－a －2＝a
2≤0，－1－a ≤0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0.
命题点3利用函数的性质解不等式
例4(1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是()
A ．(0，e 2)
B ．(e －
2，＋∞) C ．(e 2，＋∞) D ．(e －2，e 2) 答案D
解析根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<
ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2
，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________． 答案⎝⎛⎭⎫13，1
解析由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－
1
1＋x 2
， 因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－1
1＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递
增．
由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，
两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得1
3
<x <1.
所以符合题意的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫
13，1.
思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
跟踪训练2(1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝12
log (1)x －，
则f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫1，3
2内是() A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0 答案D
解析当x ∈⎝⎛⎦
⎤0，1
2时，由f (x )＝12
log (1)x －可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为3
2，所以在区间⎝⎛⎭
⎫1，3
2上，函数单调递增且f (x )<0.故选D. (2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－5
2＝________.
答案－12
解析由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12
. (3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 3，x ≤0，
g (x )，x >0，若f (6－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________． 答案(－3,2)
解析∵g (x )是奇函数，
∴当x >0时，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )， 易知f (x )在R 上是增函数， 由f (6－x 2)>f (x )，可得6－x 2>x ， 即x 2＋x －6<0，∴－3<x <2.
函数的性质
函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断
例1(1)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则() A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案C
解析f (x )的定义域为(0,2)．
f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．
设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，
∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A ，B 错误；
∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，
∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；
∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误． 故选C.
(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减() A ．[3,7] B ．[4,5] C ．[5,8]D ．[6,10] 答案B
解析依题意知，f (x )是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，所以f (x )在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x )在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f (x )在[4,5]上单调递减．
(3)(2018·大连模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.给出下列命题：
①f (3)＝0；
②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________． 答案①②④
解析∵f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)．
又f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0，故①正确； 由①知f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6. 又因为f (x )是R 上的偶函数， 所以f (x ＋6)＝f (－x )，
而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )， f (－x )＝f (－x －6)，
所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴．故②正确； 当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为
f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；
f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确． 二、函数性质的综合应用
例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于() A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案C
解析∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，
∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.
(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案D
解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －
1|)> f (－2)，则a 的取值范围是________． 答案⎝⎛⎭⎫12，32
解析∵f (2|a －1|)>f (－2)＝f (2)，
又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴2|a －1|<2＝1
2
2，∴|a －1|<12，∴12<a <32
.
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是() A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1
x 2
C ．f (x )＝2x ＋2－
x D ．f (x )＝－cos x 答案B
解析函数f (x )＝1
x
2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．
2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于() A ．－3B ．－54C.5
4D ．3
答案A
解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝ －f (2)＝－(22－1)＝－3.
3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是() ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案D
解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；
②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确，故选D.
4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－3
2，0时，f (x )＝ log 2(－3x ＋1)，则f (2021)等于() A ．4B ．2C ．－2D ．log 27 答案C
解析∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝⎛⎭⎫－32，0，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－3
2，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，
∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2021)＝－f (－1)＝－2.
5．(2018·锦州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()
A ．(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1
2∪(2，＋∞) C.⎝
⎛⎭
⎫
0，
22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) 答案B
解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <1
2
.
6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，
则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是() A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1) B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1) C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0) D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5) 答案A
解析由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，
∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的， ∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．
7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案－32
解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－lne 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－3
2
.
8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 答案－ln2
解析由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1
e 2
＝－2， 所以f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)． 又因为f (x )是奇函数，
所以f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________． 答案9
解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.
10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1
t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案⎣⎡⎦⎤
1e ，e
解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭
⎫ln 1
t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1
t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)． 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1
e ≤t ≤e.
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，
于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩
⎪⎨⎪⎧
a －2>－1，
a －2≤1，所以
1<a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3]．
12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解∵x ∈[2,4]， ∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，
∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．
13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1
f (x )
对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________. 答案1
解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1
f (x )，
所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝
1f (x ＋2)＝1
1
f (x )
＝f (x )， 即函数f (x )的周期是4，
所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．
当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1
f (1).
由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.
14．已知函数f (x )＝x 3
＋2x ，若f (1)＋1log 3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
>0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是
__________． 答案(0,1)∪(3，＋∞)
解析因为函数f (x )＝x 3＋2x 是奇函数，且在R 上是增函数，f (1)＋1log 3a
f ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
>0，所以
1log 3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>－f (1)＝f (－1)，所以1log 3a >－1，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
1a >1，0<a <3或⎩⎪⎨⎪⎧
0<1a <1，3<a ，
所以a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．
15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________. 答案0
解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0.
16．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，求x 的取值范围．
解易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －
2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎨⎧
h (－2)<0，h (2)<0
即可，解得－2<x <2
3.。