人教A版选修2-2(十六) 数学归纳法 作业

课时跟踪检测（十六） 数学归纳法
一、题组对点训练
对点练一 用数学归纳法证明等式
1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则( )
A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )共有n 2
－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
D ．f (n )共有n 2
－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
解析：选D 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋1
4
.
2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝
n 2(n －1)(n ＋1)
4
.
证明：①当n ＝1时，左边＝12
－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)
4
＝0，所以等式成
立．
②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝
k 2(k －1)(k ＋1)
4
.
那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]
＝(k 2
－1)＋2(k 2
－22
)＋…＋k (k 2
－k 2
)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝
k 2(k －1)(k ＋1)
4
＋
(2k ＋1)
k (k ＋1)
2
＝1
4
k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)]
＝1
4
k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4，
所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由①②知，对任意n ∈N *等式成立． 对点练二 用数学归纳法证明不等式
3．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2＜2－1
2n
－1(n ≥2)(n ∈N *)时，第一步需要证明( )
A ．1＜2－1
2－1
B ．1＋122＜2－1
22－1
C ．1＋122＋132＜2－1
22－1
D ．1＋122＋132＋142＜2－1
22－1
解析：选C 第一步验证n ＝2时是否成立，即证明1＋122＋132＜2－1
22－1.
4．某同学回答“用数学归纳法证明n (n ＋1)＜n ＋1(n ∈N *)”的过程如下： 证明：①当n ＝1时，显然命题是正确的；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，有k (k ＋1)＜k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题是正确的．由①②可知对于n ∈N *，命题都是正确的．
以上证法是错误的，错误在于( ) A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用假设 B ．假设的写法不正确
C ．从k 到k ＋1的推理不严密
D ．当n ＝1时，验证过程不具体
解析：选A 分析证明过程中的②可知，从k 到k ＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.
5．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋1
2n －1
<n (n ∈N *，n >1)．
证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋1
3，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1
2k －1
<k ，
则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋1
2k
＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k
2
k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．
由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立． 对点练三 归纳—猜想—证明
6．k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)(k ≥3，k ∈N *)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k
D ．f (k )＋k －2
解析：选A 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有[f (k )＋k －1]个对角面．故选A. 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；
(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．
解：(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根S 1－1＝a 1－1，所以(a 1－1)2－a 1(a 1
－1)－a 1＝0，解得a 1＝12
，
当n ＝2时，方程x 2
－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－1
2
，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122
－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，
解得a 2＝1
6
.
(2)由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入整理得
S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝
1
2－S n －1
.
由(1)得S 1＝ a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2
3.
猜想S n ＝
n
n ＋1
(n ∈N *)．
下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．
②假设n ＝k (k ∈N *
)时结论成立，即S k ＝
k
k ＋1
，
当n ＝k ＋1时，
S k ＋1＝
1
2－S k
＝12－
k
k ＋1
＝
k ＋1k ＋2＝k ＋1
(k ＋1)＋1
. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，{S n }的通项公式为S n ＝n
n ＋1
(n ∈N *)． 二、综合过关训练
1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：选C 边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3.
2．某个与正整数有关的命题：如果当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A ．当n ＝4时命题不成立
B ．当n ＝6时命题不成立
C ．当n ＝4时命题成立
D ．当n ＝6时命题成立
解析：选A 因为当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可以推出当n ＝k ＋1时该命题也成立，所以假设当n ＝4时命题成立，那么n ＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n ＝4时命题不成立．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝
n 4＋n 2
2
，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左
边应在n ＝k 的基础上加上( )
A ．k 2＋1
B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22
D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2
解析：选D 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1
＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.
4．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当
n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2
k ＋1
1－2
＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成
立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( ) A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确
D ．命题、推理都不正确
解析：选B 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的有________(填序号)．
①假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立； ②假设当n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明当n ＝k ＋2时命题也成立； ③假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝2k 时命题也成立． ④假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝2k ＋1时命题也成立． 解析：因为n 为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，此时n ＝k ＋2也为正奇数；也可为：假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时命题成立，此时n ＝2k ＋1也为正奇数．故②④正确．
答案：②④
6．已知1＋2×3＋3×32
＋4×33
＋…＋n ×3
n －1
＝3n
(na －b )＋1
4
对一切n ∈N *都成
立，则a ＝________，b ＝________.
解析：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋1
4对一切n ∈N *都成
立，
∴当n ＝1,2时有⎩⎪⎨⎪⎧
1＝3(a －b )＋1
4
，1＋2×3＝32
(2a －b )＋1
4，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3a －3b ＋1
4，7＝18a －9b ＋14，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝1
4.
答案：12 14
7．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋12n －1＞
2n ＋12成立． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝5
2，左边＞右边，
所以不等式成立．
(2)假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1＋12k －1＞2k ＋12， 那么，当n ＝k ＋1时，
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1＋12(k ＋1)－1＞
2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋1
2，
所以，当n ＝k ＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．
8．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．
S 1＝1， S 2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
…
解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34;
当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44，
猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.
证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N *)时等式成立，
即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.
那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1
＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)] ＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)
＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1
＝(k＋1)4，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，
S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。