2017步步高高中数学一轮复习《单元滚动检测卷》滚动检测三

高三单元滚动检测卷·数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。

3．本次考试时间120分钟，满分150分。

滚动检测三
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·长春质量检测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )等于( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0)
D ．[0,2]
2．(2015·长春质量检测)已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2015·深圳三模)已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0.若1<a <3，则( ) A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a ) B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a ) C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a ) D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3)
4．(2015·韶关调研)将函数f (x )＝sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数g (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π
2)的图
像，则φ等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π
12
5．(2015·潍坊高三质检)在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3
D ．4
6．(2016·黄冈中学月考)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则
实数m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1
D ．mn ＝－1
7．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )
A.33
B.36
C.63
D.66
8．(2015·湖南浏阳一中模拟)已知A (1,0)，曲线C ：y ＝e ax 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB →·AP →
的最小值为2，则a 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．2
D ．1
9．设α∈(0，π2)，β∈(0，π
2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )
A ．3α－β＝π
2
B ．2α－β＝π
2
C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
10.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →
的值是( )
A.32
B.52 C ．2
D ．3
11．(2015·烟台质检)△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －
b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，
c )，m ∥n ，则cos A 等于( ) A.12 B.13 C.16 D.33
12.对于向量P A
i →(i ＝1,2，…，n )，把使得|P A 1→|＋|P A 2→|＋…＋|P A n →
|取到最小值的点P 称为A i (i ＝1,2，…，n )的“平衡点”．如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，延长BC 至点E ，使BC ＝CE ，连接AE ，分别交BD ，CD 于F ，G 两点，连接DE ，则
下列结论中正确的是( ) A ．A ，C 的“平衡点”必为O
B ．D ，
C ，E 的“平衡点”为DE 的中点 C ．A ，F ，G ，E 的“平衡点”存在且唯一
D ．A ，B ，
E ，D 的“平衡点”必为F
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2015·杭州第二次质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 12，0≤x ≤c ，
x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0，则函数f (x )的零点为________；若f (x )
的值域是⎣⎡⎦
⎤－1
4，2，则c 的取值范围是__________． 14．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间[π6，π
2]上具有单调性，
且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π
6
)，则f (x )的最小正周期为________．
15．(2015·湖北省教学合作联考)点O 是锐角△ABC 的外心，AB ＝8，AC ＝12，A ＝π3，若AO →＝xAB →＋yAC →，则
2x ＋3y ＝________.
16．(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2015·湖北十校联考)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；
(2)若不等式(1a )x ＋(1
b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．
18．(12分)(2015·赣州市十二县联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π
6)－cos 2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈[0，π
2]时，求函数f (x )的值域．
19．(12分)(2015·郑州质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．
(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；
(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
20．(12分)(2015·怀化一模)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，向量b ＝(cos x ，－sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最小正周期和对称轴方程； (2)若x 是第一象限角且3f (x )＝－2f ′(x )，求tan(x ＋π
4)的值．
21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π
2)在一个周期内
的图像如图所
示．
(1)求函数的解析式；
(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个
根的和．
22．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫
23. (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．
答案解析
1．D [由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，又因为P ＝{x |x ≥0}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}，故选D.]
2．C [由p 成立，得a ≤1，所以綈p 成立时a >1.由q 成立，得a >1，则綈p 是q 的充要条件，故选C.] 3．B [∵(x －2)f ′(x )>0，
∴x >2时，f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0.
∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．
∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称． ∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．]
4．C [由题意知g (x )＝sin 2(x ＋π12)＝sin(2x ＋π6)．
又∵g (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π
2)，
∴φ＝π
6
.故选C.]
5．B [在△ABC 中，∵b ＝2，A ＝120°， 三角形的面积S ＝3＝12bc ·sin A ＝c ·32，
∴c ＝2＝b ，故B ＝1
2(180°－A )＝30°.
再由正弦定理可得b sin B ＝2R ＝c
sin 30°＝4，
∴三角形外接圆的半径R ＝2，故选B.] 6．C [由AB →＝i ＋m j ，AD →
＝n i ＋j ，m ≠1， 且A 、B 、D 三点共线，
所以存在非零实数λ，使AB →＝λAD →
，
即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
λn ＝1，
m ＝λ，所以mn ＝1.]
7．D [设BD ＝1，则AB ＝AD ＝
3
2
，BC ＝2. 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝1
3，
所以sin A ＝22
3
，
在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC
sin A ，
得sin C ＝
6
6
，故选D.]
8．D [根据题意得B (0,1)，设P (x ，e ax )，则AB →·AP →
＝(－1,1)·(x －1，e ax )＝－x ＋1＋e ax ≥2⇒e ax －x －1≥0，即函数f (x )＝e ax －x －1有最小值0.因为f ′(x )＝a e ax －1，所以当a ≤0时f (x )无最小值；当a >0时，有x ＝－ln a a 使
f (x )＝0，即1a ＋ln a
a －1＝0⇒ln a ＝a －1，显然a ＝1是此方程的解，故选D.]
9．B
10．B [取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，
则OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →
，
所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC → ＝AD →·BC →＋DO →·BC → ＝AD →·BC →
＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(AC →2－AB →
2)＝12×(32－22)＝52. 故选B.]
11．C [∵m ∥n ，∴(3c －b )c ＝(a －b )(3a ＋3b )， 即bc ＝3(b 2
＋c 2
－a 2
)，∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13
，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
6
.]
12．D [根据“平衡点”的定义可知，A ，C 的“平衡点”为线段AC 上的任意一点，故A 错误；假设DC ＝3，CE ＝4，则DE ＝5，此时DE 的中点到D ，C ，E 的距离之和为152，点C 到D ，C ，E 的距离之和为7,7<15
2，所
以DE 的中点不是D ，C ，E 的“平衡点”，故B 错误；A ，F ，G ，E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；A ，B ，E ，D 的“平衡点”必为F ，故D 正确．] 13．－1和0 (0,4]
解析 当x ∈[0，c ]时，由f (x )＝0，得x ＝0，当x ∈[－2，0)时，由f (x )＝0，得x ＝－1.故f (x )的零点为－1和0.
∵f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－12上递减，在⎣⎡⎦⎤－1
2，c 上递增， 而f (－2)＝2，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－1
4
，f (c )＝c ， ∴要使f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1
4，2，只需c ≤2，则0<c ≤4. 14．π
解析 结合图像得T 4＝π2＋2π32－π2＋π6
2
，即T ＝π.
15.5
3
解析 如图，O 点在AB ，AC 上的射影是点D ，E ，它们分别为
AB ，AC 的中点，
依题意有AB →·AO →＝xAB →2＋yAC →·AB →
＝64x ＋48y ＝32，即4x ＋3y ＝2， 同理AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2＝48x ＋144y ＝72，即2x ＋6y ＝3， 综上，将两式相加可得：6x ＋9y ＝5，即2x ＋3y ＝53.
16．(－∞，2ln 2－2]
解析 由原函数有零点，可转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解，即方程a ＝2x －e x 有解．
令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x .令g ′(x )>0，得x <ln 2，令g (x )′<0，得x >ln 2.所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2.因为a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2]． 17．解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图像过点A (1,6)， B (3,24)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .
(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(1
3)x 在(－∞，1]上恒成立．
令g (x )＝(12)x ＋(1
3
)x ，
则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝5
6，
故所求实数m 的取值范围是(－∞，5
6]．
18．解 (1)∵f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π
6)－
cos 2x ＋a ＝3sin 2x －cos 2x ＋a
＝2sin(2x －π
6)＋a .
∴f (x )的最小正周期T ＝π.
令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
即k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z )，
故f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π
3](k ∈Z )．
(2)当x ∈[0，π2]时，则2x －π6∈[－π6，5π
6]，
∴sin(2x －π6)∈[－1
2，1]，
∴f (x )值域为[a －1，a ＋2]．
19．解 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，
由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，
解得
⎩⎨⎧
a ＝－18
，
b ＝52，
所以v ＝－18x ＋5
2
，
故函数v ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.
(2)设鱼的年生长量为f (x )千克/立方米， 依题意并由(1)可得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，
当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8； 当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x
＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋100
8，
f (x )max ＝f (10)＝12.5.
所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 20．解 (1)∵g (x )＝f (x )＋sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin 2x
＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π
4
)，
∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 最小正周期T ＝2π
2＝π.
当2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )时，x ＝k π2＋π
8
(k ∈Z )．
∴函数g (x )＝f (x )＋sin 2x 的对称轴方程为x ＝k π2＋π
8(k ∈Z )．
(2)由3f (x )＝－2f ′(x )，得3cos 2x ＝4sin 2x . 3cos 2x －3sin 2x －8sin x cos x ＝0. (3cos x ＋sin x )(cos x －3sin x )＝0. 又x 是第一象限角， ∴cos x ＝3sin x ， 故tan x ＝1
3
.
∴tan(x ＋π
4)＝tan x ＋tan
π41－tan x tan π4＝1＋1
31－
1
3
＝2.
21．解 (1)观察图像，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×4
3＝π. ∴ω＝2π
T
＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．
∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π
6＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π
6， ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6.
(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于 f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6与 g (x )＝m 的交点个数的情况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6和y ＝m (m ∈R )的图像．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． ∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2；当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为4
3π；当1<m <2
时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π
3.
22．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，
得f ′(x )＝3x 2
＋2ax －1.
当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.
(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .
则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭
⎫x ＋1
3(x －1)，列表如下：
所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1
3)和(1，＋∞)；
f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭
⎫－1
3，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，
因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，
所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立．只要h (2)≥0，解得c ≥11， 所以c 的取值范围是[11，＋∞)．。