2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期第二次月考数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合{}{}21,R ,|A x
x x B x x a ==∈=≥∣，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,+∞
【答案】C
【分析】根据A B ⊆列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】依题意{}1,1A =-，{}|B x x a =≥， 由于A B ⊆，所以1a ≤-， 即a 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C
2．已知角θ的终边经过点()2,3-，则sin θ=（ ）
A ．
B
C ．
D 【答案】A
【分析】由任意角的三角函数的定义即可得出答案. 【详解】因为角θ的终边经过点()2,3-，
所以
sin θ=故选：A.
3．下列运算正确的是（ ） A ．lg2lg502⋅= B ．115
5
2log 10log 0.252+=
C ．
425
1log 3log log 82
⋅⋅= D ．()
log 12=-
【答案】C
【分析】结合基本不等式、对数运算、对数函数的性质等知识求得正确答案. 【详解】22
lg2lg50lg100lg2lg50122+⎛⎫⎛⎫
⋅<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项错误.
15
111115
5
5
5
5
2log 10log 0.25log 100log 0.25log 25log 10
+=+<==，B 选项错误.
32
2
4254435
5
3
21
log3log log8log3log5log8log3log5log8
32
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
2
3
42
11131
log8log2
33322
===⨯=，C选项正确
.
(
)
)
2
1
11
log1
log
=
)
)
2
1
1
1
log1
2
-
==-，D选项错误.
故选：C
4．在平面直角坐标系中，点()
tan2022,sin2022
P位于第（）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.
【详解】()
tan2022tan5360222tan2220
︒︒︒︒
=⨯+=>，()
sin2022sin5360222sin2220
︒︒︒︒
=⨯+=<，()
tan2022,sin2022
P︒︒
∴在第四象限；
故选：D.
5．设函数()
f x的定义域为()
1,3
-，则函数()
()
()
1
ln1
f x
g x
x
+
=
-
的定义域为（）
A．()
2,1
-B．()()
2,00,1
-⋃C．()
0,1D．()()
,00,1
-∞⋃
【答案】B
【分析】要使()
g x有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为0、分母不为0可得到答案. 【详解】要使()
()
()
1
ln1
f x
g x
x
+
=
-
有意义，
只需
113
10
11
x
x
x
-<+<
⎧
⎪
->
⎨
⎪-≠
⎩
，即
22
1
x
x
x
-<<
⎧
⎪
<
⎨
⎪≠
⎩
，
解得20
x
-<<或01
x
<<，
则函数()
g x的定义域为()()
2,00,1
-⋃.
故选：B.
6．已知函数()
y f x
=的图象如图所示，则此函数可能是（）
A ．()cos 22x x
x
f x -=-
B ．()cos 22x x x
f x -=-
C ．()sin 22x x
x
f x -=-
D ．()sin 22x x
x
f x -=
-
【答案】A
【分析】由图象可得()y f x =为奇函数，故排除C ，D ，再结合图象求得0x >时，函数的第一个零点为π2
x =，根据
π3π22
x <<时，函数的正负和题干图象即可得答案. 【详解】解：由图象可得()y f x =为奇函数， 对于C ，()sin 22
x
x x f x -=-，所以()sin(-)sin ()2222x x x x x x
f x f x ---===--为偶函数，故排除； 对于D ，()sin 22x x
x f x -=
-，所以
()sin(-)sin ()2222x x x x x x f x f x ---===--为偶函数，故排除； 对于A ，因为()cos 22x x x
f x -=-，所以
()cos(-)cos ()2222x x x x
x x f x f x ---==-=---，为奇函数； 对于B ，因为()cos 22x x
x f x -=
-，所以
()cos(-)cos ()2222x x x x x x
f x f x ---==-=---，为奇函数； 因为当0x >时，22x x ->，即220x x -->， 当π
2
x =时，π
cos cos
02
x ==， 所以当0x >时，函数的第一个零点为π2
x =， 当
π3π22
x <<时, cos 0x <, 所以()0f x <，
而此时函数()f x 的图象位于x 轴下方， 故A 选项的解析式符合. 故选：A.
7．已知函数()2
f x x x =，当[]2,2x ∈-时，()()83f a x f x --，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．][(),128,∞∞--⋃+
B ．[]12,8-
C ．][(),04,∞∞-⋃+
D ．[]0,4
【答案】D
【分析】由解析式确定函数的奇偶性与单调性，并对函数式变形，然后利用性质化简不等式，转化为求函数的最值，从而得参数范围．
【详解】首先22
()()f x x x x x -=--=()f x =，()f x 为偶函数，
0x ≥时，3()f x x =是增函数，
22(2)(2)288()f x x x x x f x ===，
因此不等式()()83f a x f x --先化为()(62)f a x f x -≤-，
()f x 是偶函数，则有
()(62)f a x f x -≤-，
又0x ≥时，3()f x x =是增函数，因此62a x x -≤-，
[2,2]x ∈-，620x ->，因此有62a x x -≤-，2662x a x x -≤-≤-，
366x a x -≤≤-，
所以366x a x -≤≤-对[2,2]x ∈-恒成立，
360x -≤（2x =时取等号），64x -≥（2x =时等号成立），
所以04a ≤≤． 故选：D ．
8．已知ln 1a a =，若1
,ln5,e log 2a a x a y a z +==⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数，则（ ）
A ．y x z <<
B ．y z x <<
C ．z y x <<
D ．x y z <<
【答案】B
【分析】先判断出a 的取值范围，然后结合差比较法、放缩法判断出,,x y z 的大小关系. 【详解】依题意，ln 1a a =，则1a >，1
ln a a
=， 画出()1
ln ,0y x y x x
==
>的图象如下图所示，由图可知，两个函数有1个交点， 构造函数()1
ln f x x x
=-，则()f x 在()0,∞+上递增，
()()11
110,2ln 2022
f f =-<=-
>=， 所以存在()()1,2,0a f a ∈=，即a 的取值范围是()1,2. ln ln 1,e a a a a a a ===，
所以1e a a x a a a a +==⋅=⋅，而21ln e ln 5ln e 2e =<<=<，
所以()e ln5e ln50,x y a a a x y -=⋅-⋅=->>.
由于()()e e log 2e log 2e log log 2a
a a a a x z a a a -=⋅-⋅=⋅-=⋅-
()e log e log 20a a =⋅->，所以>x z ，
由于1
e 2.52222224232255>=⨯==>=， 所以e 1
ln5ln 5log 5log 2elog 2ln a a a y a z a
=⋅=⋅=<== 所以y z x <<. 故选：B
【点睛】比较代数式的大小的方法有：利用函数的单调性比较大小，这种方法要求掌握基本初等函数的性质；利用差比较法比较大小或利用商比较法比较大小，这种方法先作差后，判断得到的式子的符号，从而确定大小关系.
二、多选题
9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M ={-1，1，2，4}，N ={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ） A ．2y x = B ．2y
x
C ．2x y =
D ．2log y x =
【答案】BC
【分析】根据选项中的解析式依次判断即可.
【详解】对选项A ，当4x =时，8y N =∉，故A 错误； 对选项B ，任意x M ∈都有2y x N =∈，故B 正确. 对选项C ，任意x M ∈都有2x y N =∈，故C 正确. 对选项D ，当1x =时，0y N =∉，故D 错误； 故选：BC
10．设0a >，0b >，且a b ，则“2a b +>”的一个必要条件可以是（ ）
A ．332a b +>
B ．222a b +>
C ．1ab >
D ．11
2a b
+>
【答案】AB
【分析】题中为必要条件，则2a b +>能推出选项，逐一判断 【详解】对于A ，若2a b +>，则
()()()()()()()2
2
233223324a b a b a b a ab b a b a b ab a b a b ⎡⎤+⎡⎤+=+-+=++->++->⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
成立； 对于B ，若2a b +>，则()2
2
2
22
a b a b
++>
>，成立；
对于C ，2
2a b ab +⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，无法判断出1ab >；
对于D ，2112
a b a b
+>+，且()114a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，因为2a b +>，所以不能得出11
a b +与2的大小关系. 故选：AB
11．已知x 的值使下列各式分母均不为零，则其中值总相等的式子有（ ） A ．sin 1cos x
x
-
B ．
1cos sin 1cos sin x x
x x -++-
C ．
cos sin 1
sin cos 1
x x x x -++-
D ．1cos sin 1cos sin x x x x
++-+
【答案】ACD
【分析】利用特殊值排除错误选项，结合同角三角函数的基本关系式证明相等的式子. 【详解】令π3
x =，
A
选项，πsin
3
2π11cos 132
=--
B
选项，
ππ1cos
sin 1333ππ1cos sin 33-+=
===+
- C
选项，
ππcos
sin 131
33ππsin cos 133-+==
==
+-
，
D
选项，
ππ1cos
sin 31
33ππ1cos sin 33+++===
-+
所以B 选项排除.
由题意可得1cos 0x -≠，则cos 1x ≠；
若sin 0,x =则cos 1x =-，则1cos sin 0x x +-=与题意不符，故sin 0,x ≠
由()()22
sin 1cos 1cos 1cos x x x x =-=+-，
得
sin 1cos 1cos sin x x
x x +=-，令
sin 1cos 1cos sin x x k x x
+==-，依题意可知1k ≠±， 则
()()()()1sin cos sin 11cos sin sin sin sin sin cos 1sin cos 11cos cos 111cos 1cos k x x x x x k x x
x x x x x k x x k x x
--++--====+-+--+----，
()()()()1sin 1cos sin sin sin sin 1cos sin 1cos 1cos 11cos 1cos k x x x k x x
x x x x k x k x x
++++===-+-+-+--，
所以ACD 选项的值总相等. 故选：ACD
12．下列关于函数图象的对称性描述正确的有（ ）
A ．若()()222f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于直线=1x -对称
B ．若()()2223f x f x -+-=，则函数()f x 的图象关于点31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭对称
C ．函数()22y f x =-与()2y f x =-的图象关于直线1x =对称
D ．函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
【答案】ABD
【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A 选项，由()()222f x f x -=-，以x 替换2x 得()()2f x f x -=-， 以1x +替换x 得()()()121f x f x +-=-+，
即()()11f x f x -+=--，所以函数()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 选项正确. B 选项，由()()2223f x f x -+-=，以x 替换2x 得()()23f x f x -+-=， 以1x +替换x 得()()()1213f x f x +-+-+=，
即()()113f x f x -++--=，所以函数()f x 的图象关于点31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭对称，B 选项正确.
C 选项，对于函数()22y f x =-，以2x -替换x 得()()()22222y f x f x =--=-+， 所以函数()22y f x =-与()22y f x =-+的图象关于直线1x =对称，C 选项错误.
D 选项，对于函数()322y f x =--，以1x -替换x ，以3y -替换y 得： ()()33212y f x -=---，即()()332,2y f x y f x -=--=-，
所以函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，D 选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为6
π
,面积为3π,则扇形的半径是________．
【答案】2
【分析】根据扇形的面积公式可以直接求解.
【详解】设扇形的圆心角为α,半径为r ,扇形的面积公式为： 22211422326
S r r r r ππ
α=⇒=⋅⋅⇒=⇒=.
故答案为：2
【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用,考查了数学运算能力.
14．已知函数()f x 满足以下三个条件①()21f =-，②在定义域()0,∞+上是减函数，
③()()()f x y f x f y ⋅=+，请写出一个同时符合上述三个条件的函数()f x 的解析式__________. 【答案】
12
()log f x x =
（答案不唯一）
【分析】由题意在学过的函数中找一个满足三个条件的函数即可.
【详解】由()()()f x y f x f y ⋅=+可考虑对数函数()log a f x x =，
又因为()f x 在定义域(0,)+∞上是减函数，所以()log a f x x =的底数(0,1)a ∈， 又因为(2)1f =-，所以12
a =，所以
12()log f x x =. 故答案为：
12
()log f x x
=（答案不唯一）.
15．已知函数()2log 421x x
y a a =+⋅+-的值域为R .则实数a 的取值范围是__________.
【答案】1a >或1)a ≤-
【分析】根据题意可得()421x x g x a a =+⋅+- 能取到所有的正数，采用换元法令2,0x t t =>，则可得2()1,0h t t at a t =++->能取到所有的正数，讨论a 的取值，结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】若使得函数()2log 421x x
y a a =+⋅+-的值域为R ，
令()421x x g x a a =+⋅+-，则()421x x g x a a =+⋅+-能取到所有的正数， 令2,0x t t =>，令2()1,0h t t at a t =++->， 则2()1,0h t t at a t =++->能取到所有的正数， 当02
a
-
≤，即0a ≥时，()h t 在0t >时递增， 故需满足(0)0h <，即10,1a a -<∴>， 当>02a
-
，即a<0时，需满足()02
a h -≤，
即2()()1022
a a
a a -+-+-≤，解得1)a ≤-
综合以上可得实数a 的取值范围是1a >或1)a ≤-，
故答案为：1a >或1)a ≤-．
16．关于x 1x <-的解集为__________. 【答案】[1,)+∞
【分析】将不等式等价转化之后两边同时平方，然后化简，再次平方即可求解.
【详解】1x -可化为：
1x <-+
222(21)1(1)2(1x x x x -+<-+-+，整理可得：
(1)(x x x -<-
10
x x -≥⎧>，解得：1x ≥， 所以原不等式的解集为[1,)+∞， 故答案为：[1,)+∞.
四、解答题
17．已知集合(){}
2211,2201x A x
B x x m x m x ⎧⎫
+=<=+--<⎨⎬-⎩⎭
. (1)当1m =时，求A B ⋃；
(2)已知A B B =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){}21x -<< (2)[]2,4-
【分析】（1）计算{}21A x =-<<，1
12B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，再计算并集得到答案.
（2）A B B =，故B A ⊆，考虑B =∅和B ≠∅两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）当1m =时，{}
2
121012B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭
，
{}212102111x x A x x x x x ⎧⎫⎧⎫
++=<=<=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭
，故{}21A B x =-<<
（2）A B B =，故B A ⊆，(){}()(){}
2
220120B x x m x m x x x m =+--<=-+<，
对应方程的根为1和2
m -， 当B =∅时，12
m
-
=，2m =-； 当B ≠∅时，12m -
<且22
m
-≥-，解得24m -<≤. 综上所述：24m -≤≤
18．已知函数()()()sin πcos πf x x x =+-，且π
04
x <<. (1)若()14f x =
，求πcos cos 2x x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
的值；
(2)若函数()g x 满足()()tan g x f x =，求14g ⎛⎫
⎪⎝⎭的值.
【答案】
(2)417
【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解；(2)利用同角三角函数的基本关系求解. 【详解】（1）()()()sin πcos πsin (cos )sin cos f x x x x x x x =+-=-⋅-=， 因为()14
f x =
，所以1
sin cos 4x x =，
πcos cos cos sin 2x x x x ⎛⎫
++=- ⎪⎝⎭
，
因为()2
22
1cos sin cos sin 2sin cos 2
x x x x x x -=+-=
， 又因为π04x <<
，所以cos sin x x >
，所以cos sin x x -=，
所以πcos cos cos sin 2x x x x ⎛⎫
++=-=
⎪⎝⎭（2）令01tan 4
x =
，则
00sin 1cos 4x x =，又因为2200sin cos 1x x +=， 由002200sin 1cos 4sin cos 1
x x x x ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，解得00sin cos x x ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
00sin cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因为0π04x <<
，所以00sin cos x x ⎧=
⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
所以004sin cos 17
x x =
， 所以000014(tan )()sin cos 417g g x f x x x ⎛⎫
==== ⎪⎝⎭
.
19．设0.66log 3,log 3m n ==. (1)试用,m n 表示lg18； (2)求证：2mn m n mn <+<. 【答案】(1)
m mn
m n
+- (2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据题目中的整数底数6进行化归，并利用换底公式即可得解;（2）证明0mn <后利用换底公式和适当放缩即可求解. 【详解】（1）6666666log 18log (63)1log 31lg18log 10log 10log 10log 10
n
⨯++====，
而0.6log 3m =， 所以
66log 3
log 0.6
m =，
即
6log 0.6
n
m =， 所以
6
6log 10
n
m
=，
即
61log 10
n
m =-，
故6log 101n m
=-， 故
611lg18log 101n n m mn
n m n m
+++=
==
--.
（2）()()0.66log 3log 30mn =⨯<,
33330.661111
log 0.6log 6log (0.66)log 3.6log 3log 3
m n mn m n +=+=+=+=⨯=, 而3331log 3log 3.6log 92=<<=， 所以12m n
mn
+<
<， 又因为0mn <， 所以2mn m n mn <+<. 故原式得证.
20．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t ､人的反应时间1t ､系统反应时间2t ､制动时间3t ，相应的距离分别为0d ，1d ，2d ，3d ，如下图所示.当车速为v （米/秒），且(]0,33.3v ∈时，
通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，
[]1,2k ∈）.
阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间
10.8
t =秒
20.2t =秒
3
t
距离
010
d =米
1
d
2
d
2
320v d k =
米
(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当2k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？
【答案】(1)()21020v d v v k
=++；2秒
(2)20千米/小时
【分析】（1）利用()0123d v d d d d =+++求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式()50d v <，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得v 的取值范围. 【详解】（1）由题意得()0123d v d d d d =+++， 所以()22
100.80.2102020v v d v v v v k k =+++=++； 当2k =时，()2
1040v d v v =++，
()10101121124040
v v t v v v =
++≥+⨯+=（秒）. 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒.
（2）根据题意要求对于任意[]1,2k ∈，()50d v <恒成立， 即对于任意[]1,2k ∈，2
105020v v k
++
<，即2140120k v v <-恒成立， 由[]1,2k ∈，得
111,204020k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. 所以2140120k v v
<-， 即
2401120
v v ->， 即2208000v v +-<，解得4020v -<<. 所以020v <<.
故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在20千米/小时.
21．已知函数()()2
2log 2,R f x x mx m =-∈.
(1)记集合(){01,0}A x
f x x =≤≤>∣，若[],A a b =，求证：1b a -≤； (2)设函数()(),3
2,3
f x x
g x x ⎧≥=⎨-<⎩，若存在实数0x ，使()()00g x g x -=-，求实数m 取值范围.
【答案】(1)证明详见解析 (2)5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）解不等式()01f x ≤≤
，根据其解集为[],a b ，求得b a -，进而证得不等式成立. （2）将问题转化为()2f x =在区间[)3,+∞有解，结合分离常数法以及函数的单调性求得m 的取值范围.
【详解】（1）依题意集合()[]{01,0},A x
f x x a b =≤≤>=∣， 由()2
20log 21x mx ≤-≤得2122x mx ≤-≤，
22
2122x mx x mx ⎧-≥⎨-≤⎩，即22210
220x mx x mx ⎧--≥⎨--≤⎩
，
由于0x >m m ≥，
所以不等式2210x mx --≥解得x m ≥
不等式 2220x mx --≤解得0x m <≤
所以不等式组
2
2
210
220
x mx
x mx
⎧--≥
⎨
--≤
⎩
的解为m x m
≤≤，
所以a m b m
==
所以
b a
-=
1
=≤==.
（2）依题意，函数()
(),3
2,3
f x x
g x
x
⎧≥
=⎨
-<
⎩
，且存在实数
x，使()()
00
g x g x
-=-，
所以()2
f x=在区间[)
3,+∞有解，
即()
2
2
log22
x mx
-=在区间[)
3,+∞有解，
即()
2
22
log22log4
x mx
-==，22
24,240
x mx x mx
-=--=，
244
2
x
m x
x x
-
==-，函数
4
y x
x
=-在[)
3,+∞上递增，所以
455
23,
336
m m
≥-=≥，
所以m的取值范围是
5
,
6
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭.
【点睛】本小题的第一问比较抽象和难理解，关键点是解对数不等式()
01
f x
≤≤，大胆往下计算，即可求得,a b.第二问类似奇函数图象关于原点对称，突破口在于将问题进行转化，转化为()2
f x=，研究方程有解来进行求解.
22．若函数()
f x与()
g x对任意
1
x D
∈,总存在唯一的
2
x D
∈,使()()
12
f x
g x m
=成立,则称()
f x是()
g x在区间D上的“m阶伴随函数”;当()()
f x
g x
=时,则称()
f x为区间D上的“m阶自伴函数”.
(1)若函数1
3x
f x为区间[],(0)
a b b a
>>上的“1阶自伴函数”,求
2
2
ab
a b
+
的最大值;
(2)若()4
4
f x
x
=
+
是()22
2
g x x ax a
=-
+在区间[]
0,2
上的“2阶伴随函数”,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
2
5
(2)3,2
⎡⎡
⎣⎣
【分析】(1)根据函数新定义,将“1阶自伴函数”转化为值域之间的关系,列出不等式即可找到,a b之间
的关系,再将
2
2
ab
a b
+
中分母一次项中的b乘以
2
a b
+
,再分子分母同除以ab,用基本不等式即可,注意取
等条件;
(2)先将“2阶伴随函数”转化为值域之间的关系,求出()
2
f x 值域为[]2,4,即()
g x 在[]0,2的值域的包含
[]2,4,且()g x 值域所对应的自变量唯一,结合二次函数图象的性质,分类讨论即可.
【详解】（1）解:由题知13x f x
为区间[](),0a b b a >>上的“1阶自伴函数”,
则任意[]1,x a b ∈,总存在唯一的[]2,x a b ∈,使()()121f x f x =,
()130x f x -=≠,
则只需使()()
121
f x f x =
成立即可, ()f x 单调递增,
()()
111121
1
,
3,33,3a b b a f x f x ----⎡⎤⎡⎤∈∈∴⎣⎦⎣⎦, 因为任意[]1,x a b ∈,总存在唯一的[]2,x a b ∈,使()()
121
f x f x =
成立, 即11113,33,3a b b a
----⎡⎤⎡⎤⊆⎣⎦⎣⎦,
则11
11
3333b a a b ----⎧≤⎨≥⎩
, 即1111b a a b -≤-⎧⎨
-≥-⎩,即2
2a b a b +≥⎧⎨+≤⎩, 故2a b +=, 则
222242ab ab
a b a b
=++
()224ab a a b b =++ 22
24ab
a a
b b =
++
241a b b a =
++
≤
25
=
, 当且仅当
4a b
b a
=,即423b a ==时取等,
故
22ab a b
+的最大值为2
5; （2）由题()44
f x x =+是()22
2g x x ax a =-+在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”,
即任意[]10,2x ∈,总存在唯一的[]20,2x ∈,使()()122f x g x =成立, 即()()
212
g x f x =
成立, 即()2f x 在[]0,2的值域是()g x 在[]0,2的值域的子集,且()g x 值域所对应的自变量唯一, ()()424,42
x f x x f x +=∴=+, ()
[]2
2,3f x ∴
∈, ()()2
222g x x ax x a a ==--+, ()g x ∴对称轴为x a =,
①0a ≤时,()g x 在[]0,2上单调递增, 只需()()02
23g g ⎧≤⎪⎨
≥⎪⎩
, 即()22
2
23
a a ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩, 解得
:0a ≤,
②2a ≥时,()g x 在[]0,2上单调递减, 只需()()03
22g g ⎧≥⎪⎨
≤⎪⎩
, 即()22
3
22a a ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩
, 解得
:22a ≤≤,
③01a <<时,()g x 在[]0,a 上单调递减,[],2a 单调递增, 只需()()02
23g g ⎧<⎪⎨
≥⎪⎩
, 即()22
2
23
a a ⎧<⎪⎨-≥⎪⎩,
解得:
02a <≤④12a <<时,()g x 在[]0,a 上单调递减,[],2a 单调递增, 只需()()03
22g g ⎧≥⎪⎨
<⎪⎩
, 即(
)22
3
22a a ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩,
解得2a <,
⑤1a =时不满足唯一,故舍,
综上:3,2a ⎡⎡∈⎣⎣.。