2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷+答案解析(附后)

2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 复数，则( )
A. B. C. 2 D. 3
3. 双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布( )
A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺
5. 若点M是圆C：上的任一点，直线l：与x轴、y轴分
别相交于A、B两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.
在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则( )
A. 1
B.
C.
D.
7. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量单位为，是基准声压为，p是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz对应的听觉下限
阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是( )
A. 音量同为20dB的声音，的低频比的高频更容易被人们听
到
B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为
D. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
8. 已知非零向量，则“与共线”是“”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数，若存在使得恒成立，则
的取值范围( )
A. B. C. D.
10. 已知数列满足，
①数列每一项都满足
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足
其中，所有正确结论的序号是( )
A. ①③
B. ②④
C. ①③④
D. ①②④
11.
在的展开式中，的系数为______ 用数字作答
12. 在边长为4的正中，点P是边BC上的中点，则______ .
13. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为、
、，甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，将三家产品混合在一起.从中任取
一件，求此产品为正品的概率______ .
14. 设函数
①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称，
______ ；
②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是______ .
15. 在正方体中，棱长为1，已知点P，Q
分别是线段，上的动点不含端点其中所有正确结论
的序号是______ .
①PQ与垂直；
②直线PQ与直线CD不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是
16. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
是AB的中点，，
求的大小；
求a的值.
17. 周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：
父亲母亲弟弟
比赛的次数506040
李梦获胜的次数103032
以上表中的频率作为概率，求解下列问题.
如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.
求李梦连胜三场的概率；
如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；
记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲、母
亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大不必计算？如果无关，请给出简要说明.
18. 如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.
证明：；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值
及点A到平面BPC的距离.
①；
②
19. 已知
当时，求函数在处的切线方程；
求证：；
若在恒成立，求a的取值范围.
20. 已知椭圆C：的离心率为，长轴的左端点为
求C的方程；
过椭圆c的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.
21. 已知集合…，若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有好数的最小值记作当，即集合
写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；
写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；
证明：；
证明：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合，或，则
故选：
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：，
则
故选：
先化简，再计算模长即可．
本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：已知双曲线的离心率为2，
则，
即，
即，
则其渐近线方程为
故选：
由双曲线的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设每日织布尺数构成的数列为，
则是公比为2的等比数列，
由题知，解得，
该女子第二天织布数为
故选：
由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和能求出第二天织布数．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知，
若最小，则AM应为圆C的切线，
，，如图所示，可得，
的最小值为
故选：
由题意可知，AM为圆C的切线时，最小，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
6.【答案】C
【解析】解：角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，则，，
，
故选：
根据已知条件，结合余弦函数的二倍角公式，即可求解．
本题主要考查余弦函数的二倍角公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，
的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为，
令，此时，故C错误；
对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，
令，此时，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．
故选：
对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：若与共线，取为方向相反的单位向量，则，
，
，充分性不成立；
若，则，整理得到，
若或，不等式成立，且与共线，
若且，设a，夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性成立．
综上所述，“与共线”是“”的必要不充分条件．
故选：
取，为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得
到必要性，从而可得答案．
本题主要考查充分必要条件的判断，向量共线的条件，考查逻辑推理能力，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设，易知函数在R上单调递增，
又，则，即，
则，于是，
设，，则，
易知当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
又，则最大值为
故选：
设，则由的单调性结合题意可得，则，设
，，利用导数即可得到的的最值，进而得解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：数列满足，，
可得，故①正确；
由，，，
可得，故②错误；
由，可得
即
又，两边同除以，可得，
，，，
累加可得，
即有，
当时，，故③正确；
由，，，满足；
由，且时，，可得
，
则，故④正确．
故选：
由不等式的性质可得，可判断①；求出，，，可判断②；推得运用累加法和不等式的性质可判断③；由，结合不等式的性质和二项式定理可判断④．
本题考查数列的递推式和数列的累加法、数列不等式的证明，考查转化思想和运算能力、推理能
力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为，
令得，
故展开式中项的系数是：
故答案为：
利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为2，求出展开式中项的系数即可．
本题考查二项展开式的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】12
【解析】解：如图，
，，
是边BC上的中点，，
则
故答案为：
把用、表示，再由平面向量数量积的运算求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则，且，，两两互斥，
甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，则，，，则，，，
故
故答案为：
设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：①由题意知，，因为的图像关于原点对称，
所以，，则，，
不妨取，则
②由知，，
因为在区间上有且仅有两个零点，
所以，解得，
即的取值范围是
故答案为：①答案不唯一；②
①根据函数图象的平移法则，可得，再由正弦函数的中心对称性，即
可得解；
②由知，，再根据正弦函数的零点问题，得解．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的对称性，零点问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】①④
【解析】解：对于①：在正方体中，可得，，
，
平面，平面，，故①正确；
对于②：平面，可得过CD的平面与平面相交，与直线，相交于P，Q，
则直线，故②不正确；
对于③：二面角是平面与平面所成的二面角，故③错误；对于④：把平现与平面展开在同一平面上，设，
，，
则，线段，
，，
的最小值是，故④正确．
故答案为：①④．
利用正方体的性质，逐项计算判断即可得结论．
本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，考查转化思想，属中档题．
16.【答案】解：因为，
由正弦定理得：，
因为，所以，得，
因为，所以；
在中，由余弦定理得：，
即，解得：负值舍去，则，
在中，由余弦定理得：，
所以，所以
【解析】利用正弦定理得，进而求得A；
在和中分别使用余弦定理，计算a的值．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解：李梦与爸爸比赛获胜概率为；
与妈妈比赛获胜概率为；
与弟弟比赛获胜概率为；
则李梦连胜三场的概率为；
的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故分布列为
X 0 1 2 3
P
若出场顺序为爸爸妈妈弟弟：；
若出场顺序为爸爸弟弟妈妈：；
若出场顺序为妈妈爸爸弟弟：；
若出场顺序为妈妈弟弟爸爸：；
若出场顺序为弟弟妈妈爸爸：；
若出场顺序为弟弟爸爸妈妈：；
故与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈概率p最大．
【解析】李梦获胜的概率分别为，计算即可；的可能取值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案．
出场顺序共有6种，分别计算概率，比较大小即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及概率在实际问题中的应用，属于中档题．
18.【答案】证明：连接PO，BO，
，，O为AC的中点，
，，
又，平面POB，而平面
POB，
；
解：若选择条件①，
在中，，，
，即，
，在底面ABC上的射影为底面三角形的外心，
即P的射影为O，
可得平面ABC，又，、OC、OP两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
平面PAC的一个法向量为，，
，，
设平面PBC的一个法向量为，
由，取，可得，
，
由图可知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为；点A到平面BPC的距离
若选择条件②，
由知，，又，且，平面ABC，
，，即O为的外心，
而O为AC的中点，可知，
在中，，可得，
又，、OC、OP两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
平面PAC的一个法向量为，，
，，
设平面PBC的一个法向量为，
由，取，可得，
，
由图可知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为；
点A到平面BPC的距离
【解析】连接PO，BO，由已知可得平面POB，进一步得到；
若选择条件①，证明，再证明OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离；
若选择条件②，证明平面ABC，可得O为的外心，求出，说明OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离．
本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角与点到平面的距离，是中档题．
19.【答案】解：当时，，，
则在处的切线方程为；
证明：设，，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
，所以，
则，即；
解：当时，由得，
当时，，设，，
则在上单调递增，
，得，
则在上，，在上单调递减，
，在不恒成立，不合题意．
综上，当时，在恒成立．
【解析】求导，将切点横坐标代入导数为切线斜率，利用点斜式可得切线方程；
构造函数，证明其最小值为0即可；
利用中所得结论，分类讨论即可．
本题考查切线，考查不等式恒成立，属于中档题．
20.【答案】解：因为椭圆C：的离心率为，长轴的左端点为，所以，得，
所以椭圆C的方程：；
证明：椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为，
设，，
由题，联立方程组，消去x得，
所以，
直线，得，
同理，直线，得，
设x轴上一点，则，同理得：，
所以，
因为，
所以
，
解得：，即或，
所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，
【解析】由离心率及顶点坐标得a，b，c的值，从而求得椭圆的方程；
设，，将直线方程与椭圆方程联立，求得，由垂
直关系利用数量积等于零，求得圆与x轴的交点．
本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆中的定点问题，属于中档题．
21.【答案】解：取集合M的一个子集，则B中的4个元素的和为
；
取M的一个5元子集，且C中任意4个元素的和大于，
即，，，
，；
证明：若，，，从小到大取a个元素，
…，，，或…，1，，…，，
；
则A中任意4个元素之和大于或等于，假设不成立，所以；
证明：当时，把集合M的元素按和为分组，得：
…，
，
所以A中至少有2个二元子集满足，，若把集合M的元素按和为0分组，得：
…，
，
所以A中至少有3个二元子集满足，，，
因为集合，，两两互不相交，与、、中每一个至多有一个公共元素，
所以，，中必有一个与没有公共元素，不妨设，
则的4个元素就是A的4个互异元素，而这4个元素的和为，
又因为，所以
【解析】取集合M的一个子集B，且使B中的4个元素的和为即可；
取M的一个5元子集C，且使C中任意4个元素的和大于即可；
假设，，，从小到大取a个元素得A，得出A中任意4个元素之和大于或等于0，假设不成立；
时，把集合M的元素按和为分组，得集合M的子集，把集合M的元素按和为0分组，得集合M的子集；由此判断子集满足的条件，从而证明结论成立．
本题考查了集合的新定义应用问题，也考查了推理与证明能力，是难题．。