北师大七年级数学下册期末复习讲义(机构专用)
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10．化简求值： ，其中， ， ．
11．化简求值： ，其中 ．
12．先化简，再求值．
，其中
13．化简与求值： ，其中 ， ．
14．化简求值： ，其中 ．
15．先化简，再求值： ．其中 ， ．
16．先化简，再求值：
，其中 ．
17．先化简，再求值． ，其中m，n满足 ．
03乘法公式应用专题
1．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．
4．如图，对一个正方形进行面积分割，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关．
12．（1）已知4m=a，8n=b，用含a、b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值；②求：24m－6n的值；
（2）已知2×8x×16=226，求x的值．
13．观察下面三行单项式：
x， ， ， ， ， ， ；①
， ， ， ， ， ， ；②
， ， ， ， ， ， ；③
8．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为_______．
பைடு நூலகம்二、填空题
4．若 ， ，则 _____．
5．若 ，则 的值为_________．
6．如果a3m+n=27，am=3，则an=_____．
三、解答题
7．计算： ．
8．计算： ．
9．计算： ．
10．计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
11．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．（2）求5a-b+c的值．
5．先化简，再求值： ，其中 ， ．
6．先化简，再求值： ，其中 ，
7．先化简，再求值:
[(4x-3y)(4x+3y)-(2x-3y)(8x+3y)]÷(-2x)，其中 ．
8．先化简，再求值：[（2a﹣1）2﹣（2a+1）（2a﹣1）+（2a﹣1）（a+2）]÷2a，其中a＝ ．
9．先化简，再求值： ，其中 ， ．
北师大七年级数学下册期末复习讲义
01幂的乘除法与乘方运算
【典型例题】
1．计算：
（1） ；（2） ．
2．已知： ．
求（1） ；（2） ．
【专题训练】
一、选择题
1．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
2．计算 的结果是（）
A． B． C． D．1
3．已知 ， ， （）
A．12B．108C．18D．36
①
②
7．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a，b的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=6，求图2中的空白正方形的面积；
（3）观察图2，用等式表示出（2a-b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
（1）将指数 转化为对数式：．
（2）仿照上面的材料，试证明：
（3）拓展运用：计算 ．
02利用乘法公式化简求值专题
【典型例题】
1．计算：
（1） ；（2） ；
2．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【专题训练】
一、解答题
1．计算： ．
2．先化简，再求值： ，其中 ， ．
3．化简求值： ，其中 ．
4．先化简，再求值： ，其中 ， ．
5．实践与探索
如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）上述操作能验证的等式是__________；（请选择正确的一个）
A． B． C．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 __________．
②计算：
6．乘法公式的探究及应用．
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为 当 时，求 的值．
14．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ．比如指数式 可以转化为 ，对数式 可以转化为 ．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ．理由如下：设 ， ，所以 ， ，所以 ，由对数的定义得 ，又因为 ，所以 ．解决以下问题：
（1）用含m，n的式子表示新长方形的周长．
（2）若m=10，n=4，求新长方形的面积．
2．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2=（a﹣b）2+4ab
9．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①________________；
②__________________．
（3）观察图2你能写出 ， ， 三个代数式之间的等量_____________．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
11．化简求值： ，其中 ．
12．先化简，再求值．
，其中
13．化简与求值： ，其中 ， ．
14．化简求值： ，其中 ．
15．先化简，再求值： ．其中 ， ．
16．先化简，再求值：
，其中 ．
17．先化简，再求值． ，其中m，n满足 ．
03乘法公式应用专题
1．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形．
3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．
4．如图，对一个正方形进行面积分割，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关．
12．（1）已知4m=a，8n=b，用含a、b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值；②求：24m－6n的值；
（2）已知2×8x×16=226，求x的值．
13．观察下面三行单项式：
x， ， ， ， ， ， ；①
， ， ， ， ， ， ；②
， ， ， ， ， ， ；③
8．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为_______．
பைடு நூலகம்二、填空题
4．若 ， ，则 _____．
5．若 ，则 的值为_________．
6．如果a3m+n=27，am=3，则an=_____．
三、解答题
7．计算： ．
8．计算： ．
9．计算： ．
10．计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
11．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．（2）求5a-b+c的值．
5．先化简，再求值： ，其中 ， ．
6．先化简，再求值： ，其中 ，
7．先化简，再求值:
[(4x-3y)(4x+3y)-(2x-3y)(8x+3y)]÷(-2x)，其中 ．
8．先化简，再求值：[（2a﹣1）2﹣（2a+1）（2a﹣1）+（2a﹣1）（a+2）]÷2a，其中a＝ ．
9．先化简，再求值： ，其中 ， ．
北师大七年级数学下册期末复习讲义
01幂的乘除法与乘方运算
【典型例题】
1．计算：
（1） ；（2） ．
2．已知： ．
求（1） ；（2） ．
【专题训练】
一、选择题
1．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
2．计算 的结果是（）
A． B． C． D．1
3．已知 ， ， （）
A．12B．108C．18D．36
①
②
7．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a，b的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=6，求图2中的空白正方形的面积；
（3）观察图2，用等式表示出（2a-b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
（1）将指数 转化为对数式：．
（2）仿照上面的材料，试证明：
（3）拓展运用：计算 ．
02利用乘法公式化简求值专题
【典型例题】
1．计算：
（1） ；（2） ；
2．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【专题训练】
一、解答题
1．计算： ．
2．先化简，再求值： ，其中 ， ．
3．化简求值： ，其中 ．
4．先化简，再求值： ，其中 ， ．
5．实践与探索
如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）上述操作能验证的等式是__________；（请选择正确的一个）
A． B． C．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 __________．
②计算：
6．乘法公式的探究及应用．
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为 当 时，求 的值．
14．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ．比如指数式 可以转化为 ，对数式 可以转化为 ．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ．理由如下：设 ， ，所以 ， ，所以 ，由对数的定义得 ，又因为 ，所以 ．解决以下问题：
（1）用含m，n的式子表示新长方形的周长．
（2）若m=10，n=4，求新长方形的面积．
2．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+b）2=（a﹣b）2+4ab
9．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①________________；
②__________________．
（3）观察图2你能写出 ， ， 三个代数式之间的等量_____________．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；
（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：