2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：第6章 第02节 等差数列及其前n项和

第二节等差数列及其前n项和

1．等差数列的有关概念

(1)定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为a n－

a n－1＝d(常数)(n∈N＋，n≥2)或a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N＋)．

(2)等差中项

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)

2d＝

n(a1＋a n)

2.

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

(2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p＋q(p，q，m，n∈N＋)，则a m＋a n＝a p＋a q.

(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．

(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．

提醒：

辨明三个易误点

(1)要注意等差数列概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

(3)求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )

(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )

(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．6

解析：选B ∵{a n }为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－4＝0. 3．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选B ．

4．(2018·临沂模拟)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N ＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：选B ∵数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N ＋)的等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)d ， ∵81是该数列中的一项，∴81＝1＋(n －1)d ， ∴n ＝80

d

＋1，

∵d ，n ∈N ＋，∴d 是80的因数，故d 不可能是3.故选B ．

等差数列的基本运算 [明技法]

等差数列的基本运算的解题策略

(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就

能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．

(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．

[提能力]

【典例】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析：选C 设{a n }的公差为d ，则由⎩

⎪⎨⎪⎧

a 4＋a 5＝24，S 6＝48，

得⎩⎪⎨⎪⎧

(a 1

＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，

解得d ＝4.故选C ． (2)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．17

2

B ．192

C ．10

D ．12

解析：选B ∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)

2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.

∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝1

2，

∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝19

2.故选B ．

[刷好题]

1．(金榜原创)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2

2＝1，则数列{a n }的公差

是( )

A ．1

2

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选C ∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 2

2＝1，

得

a 1＋a 32－a 1＋a 2

2

＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2. 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，