中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(一) 垂线段最短的在最值问题中的运用
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5 连接 CG，则 CG 的最小值为 2 .
n
模型二：垂线段最短——变形运用之“胡不归”问题ma＋b型
【基wk.baidu.com模型】
两定一动，动点在定直线上
【模型归纳】问题：点 A 为直线 l 上一定点，点 B 为直线 l 外一定点，P
为直线 l 上的点，要使 22AP＋BP 最小．
解决：过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN 于点 E，在直角三角形中
1 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF＝4DE，以 EC， EF 为邻边构造▱EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为 9 9 3 .
3．★如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE＝1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，
【思路点拨】先求 CD 的最小值与最大值，当 CD⊥AB 时最小；当 CD 与 CA 重合时最大.再考虑图形的对称性.
1．如图，在锐角△ABC 中，BC＝8，∠ABC＝45°，BD 平分∠ABC，M，N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM＋MN 的最小值是__4 2 __.
2．★(2020·扬州)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点
微专题(一) 垂线段最短在最值问 题中的运用
(永州1考；郴州2考)
模型一：垂线段最短——直接运用 【基本模型】
【模型归纳】点 P 在直线 l 外，过点 P 作直线 l 的垂线 PH，垂足为 H， 则点 P 到直线 l 的最短距离为线段 PH 的长，即“垂线段最短”．
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，点 D 是 AB 上 的动点(点 D 可与点 A，B 重合)，若 CD 的长为整数，则点 D 的位置有( A ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
2
2
将 2 AP 转化为 PE，使得 2 AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段
最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF.
步骤： 第一步：以系数不为 1 的线段的定端点为顶点作一个角，使它的正弦值 等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)； 第二步：过动点作第一步中角一边的垂线，构造直角三角形； 第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用“垂线段最 短”找到最小值的位置．
如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，边长为 4，P 是对角线 BD 上的 一个动点，则12BP＋PC 的最小值是__22 3 __.
【思路点拨】先利用 30°角找出12BP，将12BP＋PC 最小转化为两条线段之 和最短解决问题．
4．★如图，△ACE 中，CA＝CE，∠A＝30°，⊙O 经过点 C 且直径在线段 AE 上，点 D 是线段 AC 上任一点(不含端点)，连接 OD，⊙O 的半径是 4 3，
1 则2CD＋OD 的最小值是__66____.
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模型二：垂线段最短——变形运用之“胡不归”问题ma＋b型
【基wk.baidu.com模型】
两定一动，动点在定直线上
【模型归纳】问题：点 A 为直线 l 上一定点，点 B 为直线 l 外一定点，P
为直线 l 上的点，要使 22AP＋BP 最小．
解决：过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN 于点 E，在直角三角形中
1 E 为边 AB 上的一个动点，连接 ED 并延长至点 F，使得 DF＝4DE，以 EC， EF 为邻边构造▱EFGC，连接 EG，则 EG 的最小值为 9 9 3 .
3．★如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE＝1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，
【思路点拨】先求 CD 的最小值与最大值，当 CD⊥AB 时最小；当 CD 与 CA 重合时最大.再考虑图形的对称性.
1．如图，在锐角△ABC 中，BC＝8，∠ABC＝45°，BD 平分∠ABC，M，N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM＋MN 的最小值是__4 2 __.
2．★(2020·扬州)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点
微专题(一) 垂线段最短在最值问 题中的运用
(永州1考；郴州2考)
模型一：垂线段最短——直接运用 【基本模型】
【模型归纳】点 P 在直线 l 外，过点 P 作直线 l 的垂线 PH，垂足为 H， 则点 P 到直线 l 的最短距离为线段 PH 的长，即“垂线段最短”．
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，点 D 是 AB 上 的动点(点 D 可与点 A，B 重合)，若 CD 的长为整数，则点 D 的位置有( A ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
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将 2 AP 转化为 PE，使得 2 AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段
最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF.
步骤： 第一步：以系数不为 1 的线段的定端点为顶点作一个角，使它的正弦值 等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)； 第二步：过动点作第一步中角一边的垂线，构造直角三角形； 第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用“垂线段最 短”找到最小值的位置．
如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，边长为 4，P 是对角线 BD 上的 一个动点，则12BP＋PC 的最小值是__22 3 __.
【思路点拨】先利用 30°角找出12BP，将12BP＋PC 最小转化为两条线段之 和最短解决问题．
4．★如图，△ACE 中，CA＝CE，∠A＝30°，⊙O 经过点 C 且直径在线段 AE 上，点 D 是线段 AC 上任一点(不含端点)，连接 OD，⊙O 的半径是 4 3，
1 则2CD＋OD 的最小值是__66____.