福建省厦门市高三数学3月质量检查测试(文)新人教版

福建省厦门市2010届高中毕业班质量检查
数学（文科）试 题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
锥体的体积公式：Sh V 3
1
=
，其中S 为底面面积，h 为高； 圆柱体侧面积公式：rh S π2=，其中r 为底面圆的半径，h 为高；
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 样本数据n x x x ,,21 的方差：])()()[(1
222212
x x x x x n
s n -++-+-=
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ，集合},12|{},0|{2Z n n x x N x x x M ∈+===-=，则集合N M 为
（ ）
A ．{0}
B ．{1}
C ．{0，1}
D ．φ 2．设"02""1",2
<-+<∈x x x R x 是则的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．双曲线142
2=-k
y x 的离心率)2,1(∈e ，则实数k 的取值范围是 （ ）
A ．（0，4）
B ．（-12，0）
C ．)32,0(
D ．（0，12）
4．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下
一个呈现出来的图形是 （ ）
5．以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检
测 ，这样的抽样是分层抽样。

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
③在回归直线方程122.0ˆ+=x y
中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ˆ平均增加0.2单位
④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2
的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大 A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结
果是 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7．已知，m l ,是两条不重合的直线，γβα,,是三个不重
合的平面，给出下列条件，能得到βα//的是 （ ） A ．βα//,//l l
B ．γβγα⊥⊥,
C ．ββαα//,//,,l m l m ⊂⊂
D ．m l m l //,,βα⊥⊥
8．若直线1)2(:--=x k y l 被圆0242:2
2=--+x y x C 截
得的弦AB 最短，则直线AB 的方程是 （ ）
A ．03=--y x
B ．032=-+y x
C ．01=-+y x
D ．052=--y x
9．已知函数m x m x m x f +-+-=)4()2()(2
2是偶函数，函数52)(23+++-=mx x x x g 在
),(+∞-∞内单调递增，则实数m 等于
（ ）
A ．2
B ．-2
C ．2±
D ．0
10．给出下列四个命题：
①)4
2sin()(π
-
=x x f 的对称轴为;,8
32Z k k x ∈+=
ππ ②函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值为2； ③函数1cos sin )(-=x x f 的周期为;2π ④函数]2
,2[)4
sin()(π
ππ
-
+
=在x x f 上是增函数。

其中正确命题的个数是
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 11．以下四个函数的图象错误．．的是
（ ）
12．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，02=++PA OC PB ，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆ 内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是
（ ）
A ．
41 B ．
31
C ．3
2
D ．2
1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填写在答题卡的相应位置 13．复数
i
i
-12= 。

14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，
根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是
15．已知实数x ，y 满足条件y x z y x x y x 3,062,
,0+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤≥则的最大值为 。

16．右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1、A 2、A 3…。

若从O 点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，从A 2点到A 3点的回形线为第3圈，……，依此类推，则第10圈的长为 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

把解
答过程填写在答题卡的相应位置 17．（本小题满分12分） 要锐角.10
10
3sin ,55cos ,==∆B A ABC 中 （I ）求角C ； （II ）设ABC AB ∆=
求,2的面积。

18．（本小题满分12分）
某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零
（I ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差，并由此
分析两组技工的技术水平；
（II ）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，
若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率
19．（本小题满分12分） 已知等差数列}{n a 的公差为2，其前n 项和).(2*
2
N n n pn S n ∈+= （I ）求p 的值及;n a （II ）若n
n a n b )12(2
-=
，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，求使109>n T 成立的最小正整
数n 的值。

20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P —ABCD 中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E
为PC 的中点，.3
1
=
（I ）求证：;BC PC ⊥
（II ）求三棱锥C —DEG 的体积；
（III ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG 。

若存在，求AM 的长；否则，说明理
由。

21．（本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 为上顶点，AF 1
交椭圆E 于另一点B ，且2ABF ∆的周长为8，点F 2到直线AB 的距离为2。

（I ）求椭圆E 的标准方程；
（II ）求过D （1，0）作椭圆E 的两条互相垂直的弦，M 、N 分别为两弦的中点，求证：直
线MN 经过定点，并求出定点的坐标。

22．（本小题满分14分）
已知函数2,ln )(,,0,
0,)2()(2=+=⎩⎨⎧≤>-=x b x c x g x bx x e ax x x f x 且是函数
)(x f y =的极值点。

（I ）求实数a 的值；
（II ）若方程0)(=-m x f 有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；
（III ）若直线l 是函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线，且直线l 与函数)(x g y =
的图象相切于点],[),,(1000e e x y x P -∈，求实数b 的取值范围。

参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每题5分，满分60分。

1—6 BBDADC 7—12 DABBCD
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每题4分，满分16分。

13．i +-1 14．π5 15．8 16．79
三、解答题：本题共6大题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤II
17．本题主要考查同角三角函数值、诱导公式、两角和的三角函数、运用正弦定理解决与三
角形有关问题的能力，考查学生的运算能力以及化归与转化的数学思想方法，满分12分
解：（I ）⎪⎭
⎫
⎝⎛∈==
2,0,,10103sin ,55cos πB A B A ， 10
10
cos ,552sin =
=
∴B A
…………4分
.2
2
sin cos cos sin )sin()](sin[sin =
+=+=+-=∴B A B A B A B A C π
…………5分 由.4
),2
,
0(π
π
=
∴∈C C
…………6分
（II ）根据正弦定理得
,10
6
sin sin sin sin =⋅=⇒=C B AB AC B AC C AB ……10分 .5
6
sin 21=⋅⋅=
∴∆A AC AB S ABC
…………12分
18．本题主要考查在实际背景下，将统计与概率相结合，考查了样本的平均数与方差的计算，
以及求随机事件的概率，考查了归纳推理、应用数学知识解决实际问题的能力，满分12分。

解：（I ）依题中的数据可得：
,7)9876(51
,7)109754(51=+++==++++=
乙甲x x …………2分 2.5526])710()79()77()75()74[(51222222
==-+-+-+-+-=甲s
2])79()78()77()76()75[(51222222
=-+-+-+-+-=乙s …………4分
,,2
2乙甲乙甲s s x x >=
∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大。

…………6分 （II ）设事件A 表示：该车间“质量合格”，
则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为： （4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9） （5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9） （7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种 …………9分 事件A 包含的基本事件为： （4，9） （5，8），（5，9） （7，6），（7，7），（7，8），（7，9） （9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9） （10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种 …………11分
.25
17
)(=
∴A P 答：即该车间“质量合格”的概率为
.25
17 …………12分
19．本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，
化归转化思想及运算能力等。

满分12分
解：（I ）（法一）}{n a 的等差数列
n a n n n na d n n na S n )1(22
)
1(2)1(1211-+=⨯-+=-+
=∴…………2分 又由已知,3,21,1,2112=∴=-=∴+=a a p n pn S n
…………4分
12)1(1+=-=∴n d n a a n
;12,1+==∴n a p n
…………6分
（法二）由已知,211+==p S a
,23,44,442212+=∴+=++=p a p a a p S 即
…………2分
又此等差数列的公差为2，,1,22,212=∴=∴=-∴p p a a
,321=+=∴p a
…………4分
,12)1(1+=-+=∴n d n a a n
;12,1+==∴n a p n
…………6分
（法三）由已知211+==p S a ，
22)]1(2)1([2,2221+-=-+--+=-=≥∴-p pn n n p n pn S S a n n n n 时当
…………2分
,232+=∴p a
由已知,1,22,212=∴=∴=-p p a a
…………4分
,12)1(,3211+=-+=∴=+=∴n d n a a p a n
;12,1+==∴n a p n
…………6分
（II ）由（I ）知1
21
121)12)(12(2+-
-=+-=
n n n n b n …………8分
n n b b b b T ++++=∴ 321
)1
21121()7151()5131()3111(+--++-+-+-=n n 1
221211+=+-=n n
n
…………10分
又,2,2,4222==
∴=+=c b c b a
∴椭圆E 的方程是.12
42
2=+y x
…………6分
（II ）解法一：设过点D （1，0）作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于P 1、Q 1、P 2、Q 2、
M 、N 分别为P 1Q 1，P 2Q 2的中点，
当直线P 1Q 1的斜率不存在或为零时，P 1Q 1、P 2Q 2的中点D 及原点O ，直线MN 为x 轴 …………7分 所以定点必在x 轴上，
当直线的斜率存在且不为零时，
设).1(:11-=x k y Q P
由0424)21(:42)1(22222
2=-+-+⎩⎨⎧=+-=k x k x k y y x x k y 得消去 22221212122214)2(k k
k k k x x k x x +-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-+=+∴
…………9分
)1
2,122(222+-+∴k k
k k M
同理)1(2321222212),2
,22(
22
22
222
2k k k k k k k
k k K k k
k N MN
-=+-
++++=∴++ )22
()1(232:2
22k
x k k k k y MN +--=+-
取y=0，得3
2
)2(3423)1(22222
3222=++=-⋅+-+=k k k k k k k k k x 为定值。

MN ∴与x 轴交于定点，定点坐标)0,3
2
(
…………12分
解法二：设过定点D （1，0）作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于P 1、O 1、P 2、Q 2、M 、N 分别为P 1Q 1、P 2Q 2的中点，
当直线的斜率存在且不为零时，设,1
:11+=my x Q P 由,032)2(:4
21222
2=-++⎩⎨⎧=++=my y m x y x my x 得消去 又*,29
,91820109)12(2109N n n n n n n T n ∈>+>∴>+∴>
又即 10
9
>
∴n T 使成立的最小正整数n 的值为5 …………12分
20．本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻
辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想。

满分12分。

（I ）证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴…………1分 又∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ， …………2分 ∵PDICE=D
∴BC ⊥平面PCD 又∵PC ⊂面PBC ∴PC ⊥BC …………4分
（II ）解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G —DEC 的高。

…………5分
∵E 是PC 的中点，1)222
1
(212121=⋅⋅⋅===
∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S ……6分 9
21323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC
G DEG C S GC V V …………8分 （III ）连结AC ，取A C 中点O ，连结EO 、GO ，延长GO 交AD 于点M ，
则PA//平面MEG 。

…………9分 下面证明之
∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，
∴EO//平面PA ， …………10分
又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA//平面MEG
…………11分
在正方形ABCD 中，∵O 是AC 中点， OCG ∆∴≌OAM ∆
,32=
=∴CG AM ∴所求AM 的长为.3
2
…………12分
21．本题主要考查直线、椭圆的基础知识，考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与
转化思想，满分12分。

解：（I ）,84)()(212122==+++=++a BF BF AF AF BF AF AB
2=∴a
…………2分
设22b a c -=
，因为A （0，b ）
， ∴直线AB 的方程为
0,1=+-=+-bc cy bx b
y
c x 即， ∴点F 2到直线AB 的距离,22||2
2
===
++=
bc a
bc
c
b b
c bc
d …………4分
2
4
2222)()1()1(222212121+=++-=++=++-=+∴m m m y y m my my x x
…………8分
),1
2,122(),2,22(22222+++-+∴m m
m m N m m m M 同理
,)
1(23222122212
2
2222-=+-
++++=∴m m m m m m m
m m K MN
),22
()1(232:2
22m x m m m m y MN +--=++
整理得),32
()
1(232
--=
x m m y
∴直线MN 过定点)0,3
2(
…………11分
当直线P 1Q 1的斜率不存在或为零时，P 1Q 1、P 2Q 2的中点为点D 及原点O ，直线MN 为x 轴， 也过此定点，
∴直线MN 过定点)0,3
2(
…………12分
22．本题主要考查函数与导数的基本知识，几何意义及其应用，同时考查，同时考查学生分
类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想以及转化与归化的能力。

满分14分。

解：（I ）x e ax x x f x )2()(,02-=>时
x x x e a x a x e ax x e a x x f ]2)1(2[)2()22()('22--+=-+-=∴
…………2分
由已知，,0)2('=f
,0222222,0]2)1(222[2
=--+∴=--+∴a a e
a a
得a=1
…………3分
（II ）由（I ）,)2()(,02x e x x x f x -=>时
x x x e x e x x e x x f )2()2()22()('22-=-+-=∴
令)2(20)('舍去得-===x x x f
…………4分
当0>x 时
所以，当)2,0(∈x 时，)(x f 单调递减，)0,)222(()(2
e x
f -∈
当),)222(()(,)(,),2(2
+∞-∈+∞∈e
x f x f x 单调递减时
),)222(()(,02+∞-∈>∴e x f x 时
…………5分
要使方程0)(=-m x f 有两不相等的实数根，即函数)(x f y =的图象与直线m y =有两个不同的交点。

（1）当0>b 时，m=0或2
)22(e
m -= …………6分
（2）当b=0时，)0,)222((2
e m -∈
…………7分 （3）当),)222((,02
+∞-<e
m b 时
…………8分
（III ）0>x 时，x x e x x f e x x x f )2()(',)2()(22-=∴-=
22)2(',0)2(e f f ==∴
函数)(x f 的图角在点))2(,2(f 处的切线l 的方程为：),2(22-=x e y ……9分
直线l 与函数)(x g 的图象相切于点],[),,(1000e e x y x P -∈， b x c y +=∴00ln
x c x g =
)('，所以切线l 的斜率为,)('0
0x c x g = 所以切线l 的方程为)(:00
0x x x c
y y -=
- 即l 的方程为：00
ln x c b c x x c
y ++-=
…………10分
得⎪⎩⎪⎨⎧--==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-=++-=2
002
20204ln 24ln 2e
x c c b e c c x c b c e x c 得)2ln (20002--=x x x b 其中],[10e e x -∈ …………11分
记)2ln (2)(00020--=x x x e x h 其中],[10e e x -∈
02020ln 2))1(ln 1(2)('x e x e x h -=+-=∴
…………12分
令10)('00==∴x x h 得
又2
4)(e e h -=
221444)(e e e e h >-=-
…………13分
]2,4[)(],,[22010e e x h e e x --∈∴∈-
所以实数b 的取值范围的集合：}24|{22e b e b -≤≤- …………14分。