一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)

一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)
初三数学备课组备课时间：上课时间：课型：任课班级：
主备人：
导学案：一元二次方程
研究目标：
1.理解方程是数学模型，能够将实际问题转化为一元二次
方程；
2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、
一次项系数及常数项。

研究重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程
的概念。

研究过程：
活动一：知识链接（5分钟）
1.下列方程中是一元二次方程的是：
1) 2x+3x=9，(2) (x+1)(x-1)=0，(3) 2y^2=0，(4) 2x+3/x-
1=0。

5) 3m=2，(6) 2x^2+3y-5=0.
2.把方程(2y-1)(2y+1)=1 化为一般形式为：ax^2+bx+c=0；其二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c。

3.若(m-3)x^n-2+3nx+3=0 是关于x的一元二次方程，则
m=？n=？
4.下面哪些数是方程x^2-x-6=0 的根？-4，-3，-2，-1，1，2，3，4.
活动二：自主交流探究新知（25分钟）
1.自学教材P17-19，回答以下问题：
1) 一元二次方程的定义：只含有一个求知数（一元），
并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2) 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x
的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax^2+bx+c=0，其中a≠0，这种形式叫做一元二次方程的一般
形式。

其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

注意：方程ax^2+bx+c=0 只有当a≠0 时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0 时就是一元一次方程了。

所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。

活动五：拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）
2.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。

1.当a不等于0时，关于x的方程a(x^2+x)=3x^2-(x+1)是一元二次方程。

2.一元二次方程的解是方程中使等号左右两边值相等的未知数的值。

同时，需要指出方程的各项系数。

3.关于x的方程(m^2-m)xm+1+3x=6可能不是一元二次方程，因为它的次数可能大于二次。

活动一】知识链接（5分钟）
1.如果x^2=25，则根据平方根的意义，直接开平方得x=5或x=-5.如果x换元为2x-1，即(2x-1)^2=5，则也可以用直接开平方的方法求解。

2.(1) 解：由方程(2x-1)^2=5，得2x-1=±√5，即2x-1=√5或2x-1=-√5.∴x1=(1+√5)/2，x2=(1-√5)/2.(2) 解：由方程
x^2+6x+9=2，得(x+3)^2=2.∴x+3=±√2，即x1=-3+√2，x2=-3-√2.
活动二】自主交流探究新知（15分钟）
1.(1) 解：由方程2x=8，得x=4.(2) 解：由方程2(x-1)=4，得x=3.(3) 解：由方程x^2+6x+9=22，得
(x+3)^2=13.∴x+3=±√13，即x1=-3+√13，x2=-3-√13.(4) 解：由方程4m-9=0，得m=9/4.(5) 解：由方程9x^2+12x+4=1，得
9x^2+12x+3=0，即3x^2+4x+1=0.∴x1=-1，x2=-1/3.
活动三】课内小结（3分钟）
1.形如x^2=p(p≥0)或(mx+n)^2=p(p≥0)的一元二次方程可以利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。

研究目标】
1.理解因式分解法的实质是将一个多项式分解成若干个因式的乘积。

2.能够熟练运用因式分解法解一元二次方程。

研究重点】
因式分解法解一元二次方程。

研究过程】
活动一】知识链接（5分钟）
1.分解因式：（1）8x-32 = 8(x-4)；（2）x^2-4x+4 = (x-
2)^2；（3）x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)
2.填空：填上适当的数，使下列等式成立：
2(1)x^2+5x+__ = (x+__)(2x+2)
如果ab = 0，那么a=0或b=0，这是因式分解法的根据。

如：如果(x+1)(x-1) = 0，那么x+1=0或x-1=0，即x=-1或x=1.
活动二】自主交流探究新知（20分钟）
1.因式分解法的实质是将一个多项式分解成若干个因式的
乘积，从而得到方程的解。

2.解法步骤：
1）将方程化为标准形式：ax^2+bx+c=0，其中a≠0；
2）将左边的多项式进行因式分解，得到(ax+m)(nx+p)=0
的形式；
3）根据乘积为0的性质，得到方程的解x=-m/a或x=-p/n。

3.解方程：
1）x-9 = 0，化为标准形式x^2-9x+0=0，因式分解得到
x(x-9)=0，解得x=0或x=9；
2）4x^2-12x+9 = 0，化为标准形式4x^2-6x-6x+9=0，因式分解得到(2x-3)^2=0，解得x=3/2；
3）3x-1 = 3-2x，移项得到5x=4，解得x=4/5；
4）6x+15 = 2x(2x+5)，化为标准形式6x+15-4x^2-10x=0，因式分解得到(2x+5)(-2x+3)=0，解得x=-5/2或x=3/2.
活动三】合作探究（15分钟）
1.解方程：2x^2-3x+1=0.
2.解方程：x^2-2x-3=0.
3.解方程：x^2+8x+12=0.
活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟）
1.若x^2-4x+p=(x+q)^2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2.方程3x+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3.解方程：（1）8x-16=0；（2）2(x-3)^2=72
活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）
1.如果a、b为实数，满足3a+4+b-12b+36=0，求ab的值。

2.用直接开平方法解方程：2(1-x)-18=0.
3.解关于x的方程(x+m)^2=n(n≥0)。

4.已知关于x的一元二次方程(m-2)x+3x+m-4=0有一个解
是x=2，求m的值。

研究目标】
1、理解配方法的意义，掌握配方法解一元二次方程的步骤；
2、掌握填空、解方程等配方法的应用。

研究过程】
活动一】知识链接（5分钟）
填上适当的数，使下列等式成立：
1)x+12x+18=(x+6)² (2)x-4x+4=(x-2)²
3)x+8x+16=(x+4)² (4)x²-2x-15=(x-5)(x+3)
活动二】自主交流探究新知（15分钟）
请阅读教材第25-26页，解方程x²+6x-16=0，完成下面框图：
x²+6x-16=0
移项得：x²=-6x+16
在两边同时加上9，得：x²+6x+9=25
化简得：(x+3)²=25
解得：x=-8或x=2
用配方法解下列方程：
1.2x²-3xy-5y=0
解：将方程化简为2x²=3xy+5y，再将右边的项配成一个完全平方，得：2x²=3xy+5y+9/4-9/4
化简得：(2x-3y/2)²=9/4+y²/4
解得：x=(3y±√(16y²-45y))/4
2.x²+7x/4-65/16=(x-13/4)²
解：将右边的项展开得：x²-13x/2+169/16，化简得：3x²-35x-29=0
将方程化简为3x²=35x+29，再将右边的项配成一个完全平方，得：3x²=35x+29+1225/36-1225/36
化简得：(6x-35/6)²=1225/36-29/3
解得：x=(35±√105)/6
活动三】课内小结(学生归纳总结)（3分钟）
配方法是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一次方程来解；
配方的步骤为：将方程的常数项移到方程右边，加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方，利用直接开平方法解之；
当方程的二次项系数不是1时，可以将方程的各项除以二次项系数，化为一元二次方程。

活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟）
1.用配方法解下列方程，配方错误的是（）
A。

x²+2x-99=(x+1)²
B。

t²-7t-4=(x-4)²
C。

x²+8x+9=(x+4)²
D。

3x²-4x-2=(x-2)²
2.若2x²-3xy-5y=0，则22x的值为多少？
解：将方程化简为2x²=3xy+5y，再将右边的项配成一个完全平方，得：2x²=3xy+5y+9/4-9/4
化简得：(2x-3y/2)²=9/4+y²/4
所以22x=2(2x-3y/2)²-9/2-y²/2.
般形式的代数式，用配方法推导一元二次方程求根公式：首先，将一元二次方程ax2+bx+c=0化为一般形式，即
x2+(b/a)x+c/a=0；
然后，将x2+(b/a)x加上一个完全平方数，使其变为
(x+b/2a)2，即x2+(b/a)x+c/a=(x+b/2a)2-b2/4a2+c/a；
接着，将式子化简得到(x+b/2a)2=b2-4ac/4a2；
最后，两边开平方，得到x=(-b±√(b2-4ac))/2a，即一元二次方程的求根公式。

活动四】巩固练（12分钟）
解下列方程：
1）x2-6x+1=0
首先，a=1，b=-6，c=1，代入求根公式得：
x=(6±√(36-4))/2，化简得：
x=3±√2；
所以，方程的解为x=3+√2或x=3-√2.
2）3x2+6x-24=0
首先，a=3，b=6，c=-24，代入求根公式得：
x=(-6±√(36+288))/6，化简得：
x=-2或x=4；
所以，方程的解为x=-2或x=4.
3）2x2+6=6x
首先，将式子移项得到2x2-6x+6=0，然后代入求根公式得：
x=(6±√(36-48))/4，化简得：
x=1±√2；
所以，方程的解为x=1+√2或x=1-√2.
活动五】拓展延伸（独立完成7分钟，班级展示2分钟）
已知代数式a-5a+7，先用配方法说明，不论a取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当a取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
解：将a-5a+7化简得-4a+7，不论a取何值，-4a+7的值都是正数；
当a=7/4时，-4a+7的值最小，最小值为-7/4.
研究过程】
活动一】知识链接（5分钟）
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a、b、c满足条件时，它的求根公式是叫做一元二次方程的求根公式。

活动二】合作探究（10分钟）
1、解一元二次方程2x^2+5x-3=0.
解：根据求根公式，有x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a，代入系数a=2，b=5，c=-3，得x=[-5±√(5^2-4×2×(-3))]/(2×2)。

化简得x=[-5±√49]/4，即x1=-3/2，x2=1/2.
2、用公式法解方程x^2-6x+8=0.
解：根据求根公式，有x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a，代入系数
a=1，b=-6，c=8，得x=[6±√(6^2-4×1×8)]/2.
化简得x=[6±√16]/2，即x1=2，x2=4.
3、不解方程，判断下列方程实数根的情况：
1)2x^2-3x-4=0
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，代入系数a=2，b=-3，c=-4，得Δ=(-3)^2-4×2×(-4)=25.
因为Δ>0，所以方程有两个实数根。

2)x^2-6x+9=0
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，代入系数a=1，b=-6，c=9，
得Δ=(-6)^2-4×1×9=0.
因为Δ=0，所以方程有一个实数根。

3)x^2+3x+4=0
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，代入系数a=1，b=3，c=4，
得Δ=3^2-4×1×4=-7.
因为Δ<0，所以方程无实数根。

活动三】课内小结(学生归纳总结)（3分钟）
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是Δ=b^2-4ac，根据Δ的正负情况可以判断方程有无实数根或有几个实数根。

活动四】快乐达标（学生先独立完成14分钟，后组内互查2分钟.）
1、一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。

2、用公式法解方程x^2-5x+6=0，得x1=2，x2=3.
3、不解方程，判断下列方程实数根的情况：
1)x^2+2x+1=0
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，代入系数a=1，b=2，c=1，得Δ=2^2-4×1×1=0.
因为Δ=0，所以方程有一个实数根。

2)2x^2+4x+3=0
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，代入系数a=2，b=4，c=3，得Δ=4^2-4×2×3=-8.
因为Δ<0，所以方程无实数根。

3)3x^2-6x+3=0
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，代入系数a=3，b=-6，c=3，
得Δ=(-6)^2-4×3×3=0.
因为Δ=0，所以方程有一个实数根。

活动五】拓展延伸（独立完成4分钟，班级展示2分钟）
1)已知x+y+z=6，x^2+y^2+z^2=14，xy+yz+zx=5，求x、y、z的值。

解：根据(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)，代入已知条件，得6^2=14+2×5，即x^2+y^2+z^2=14+2×5=24.
再根据(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2，代入已知条件，得(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2×24-6^2=12.
因为(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≥0，所以12≥0，即12=0.
因为12=0，所以x=y=z=2.
2)求证：无论x、y取任何实数，多项式x^2+y^2-2x-
4y+16的值总是正数。

解：根据完全平方公式，有x^2-2x+1=(x-1)^2，y^2-
4y+4=(y-2)^2.
所以x^2+y^2-2x-4y+16=(x-1)^2+(y-2)^2+9，由于(x-1)^2
和(y-2)^2都≥0，所以x^2+y^2-2x-4y+16≥9，即x^2+y^2-2x-
4y+16总是正数。

这里的b-4ac叫做一元二次方程的判别式，通常用符号△
表示。

它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根。

例如，对于方程x^2-x+1=0，可以用b^2-4ac来判断它是否有实数根。

快乐达标
利用方程的判别式来判断方程的根的情况，不需要解方程。

例如，对于方程x^2+2x-8=0和3x^2=4x-1，可以直接用判别式
b^2-4ac来判断它们的实数根的情况。

x-3x+2)-6x^2=0和x^2+(3+1)x=0是两个有问题的方程，
需要删除。

一元二次方程的解法——根与系数的关系
研究目标：通过观察、归纳、猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据；使学生会运用根与系数关系
解决有关问题；培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

研究重点：根与系数的关系及推导。

应用判别式来确定方程中的待定系数，例如对于方程
x^2-2x+m-2=0，若它有两个相等的实数根，则判别式b^2-
4ac=0，即2^2-4(1)(m-2)=0，解得m=4.这时方程的根为x=1.
拓展延伸
利用判别式来确定方程中的待定系数，例如对于方程
x^2+6x-16=0，x^2-2x-5=0和2x^2-3x+1=0，可以分别用判别式b^2-4ac来确定待定系数的值，从而求出方程的根。

自主交流探究新知
若x1、x2为方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则根与系数之间有以下关系：
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
1.一元二次方程的两个根分别为x1和x2，那么它们的和为x1+x2，积为x1x
2.它们与原来的方程的系数的关系为：
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

2.(1) 首先判断方程的判别式D=b^2-4ac是否大于等于0，若大于等于0，则有实数根。

代入题目中的方程，得到D=4(k-
1)^2-4(k-2)(k+1)=4k^2-16k+12=(2k-3)^2-3，因为k=0，即
D>=0，所以此方程总有实数根。

2) 若两个实数根的平方和等于4，则有x1^2+x2^2=4，又因为x1x2=(k+1)/(k-2)，所以x1+x2=(k-2)x1x2/(k+1)。

代入
x1+x2和x1x2的公式，得到(k-2)^2(x1^2+x2^2)=(k+1)^2，即(k-2)^2*4=(k+1)^2，解得k=-3或k=5.
快乐达标：
1.(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-1/2-1+1=-3/2
2.x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4-2*(-3)=10，所以
11=x1x2*(x1^2+x2^2)=x1x2*10，解得x1x2=11/10.
3.由韦达定理可知x1+x2=7/2，x1x2=2/4=1/2，所以
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=49/4-1=45/4.
4.(1) 当m=-1时，方程变为x^2+2x-1=0，解得x1=-1+√2，x2=-1-√2，它们互为相反数。

当m=1时，方程变为-x+1=0，
解得x=1，但因为-1不是方程的根，所以此时方程无实数根。

5.C，根据Vieta定理可知，两根的和为-(-1+5)=6，积为(-
1+5)*(-1-5)=24.
6.(1) 方程左边可化为(x+3)^2-5，所以它的两根分别为
x1=-3+√5，x2=-3-√5，它们的和为-6，积为2-√5.(2) 方程左边
可化为(2x-1)^2-3，所以它的两根分别为x1=(1+√3)/2，x2=(1-
√3)/2，它们的和为1，积为1/4.
1）明确问题中涉及的量和其关系；
2）根据问题中给出的条件列出方程；
3）解方程得到未知量的值；
4）根据问题的要求判断解的合理性并作出回答。

2、列一元二次方程的一般形式为_______
活动二】探究活动（20分钟）
一）独立思考²解决问题
1、某个正方形的面积是x2，若它的周长比另一个正方形
的周长多4，这个正方形
的面积是(x+2)2，求这个正方形的边长．
2、一个圆的半径是r，另一个圆的半径比第一个圆的半径多6，它的面积比第一个
圆的面积多112.5π，求第一个圆的半径．
3、一个长方体的底面积是6，它的高是1，另一个长方体的底面积比第一个长方体
的底面积多1，它的高比第一个长方体的高多1，求第二个长方体的体积．
二）合作探究²解决问题
4、一个圆的半径是r，它的周长是2πr，另一个圆的周长比第一个圆的周长多8。

求第二个圆的面积．
5、一个正方体的表面积是54，另一个正方体的表面积比第一个正方体的表面积
多24，求第二个正方体的体积．
活动三】课内小结(学生归纳总结)（3分钟）
通过以上应用题的解法，你发现了什么规律？如何将实际问题转化为数学问题？
活动四】快乐达标（学生先独立完成10分钟，后组内互查2分钟.）
1、一个正方形的面积是x2，若它的周长比另一个正方形的周长多8，这个正方形
的面积是(x+2)2，求这个正方形的边长．
2、一个圆的半径是r，另一个圆的半径比第一个圆的半径多4，它的面积比第一个
圆的面积多32π，求第一个圆的半径．
3、一个长方体的底面积是9，它的高是1，另一个长方体的底面积比第一个长方体
的底面积多1，它的高比第一个长方体的高多2，求第二个长方体的体积．
研究目标】掌握各种几何图形的面积公式，能够解决相关应用问题。

研究重点】掌握各种几何图形的面积公式。

活动一】知识链接（5分钟）
1.直角三角形的面积公式是：底边乘以高除以二。

2.一般三角形的面积公式是：底边乘以高除以二。

3.正方形的面积公式是：边长的平方。

4.长方形的面积公式是：长乘以宽。

5.梯形的面积公式是：上底加下底乘以高除以二。

6.菱形的面积公式是：对角线相乘除以二。

7.平行四边形的面积公式是：底边乘以高。

8.圆的面积公式是：半径的平方乘以π。

活动二】自主交流探究新知（5分钟）
阅读课本P38问题1、P41问题2，自主研究各种几何图形的面积公式。

活动三】课内小结(学生归纳总结)（3分钟）
各种几何图形的面积公式：
直角三角形：底边乘以高除以二。

一般三角形：底边乘以高除以二。

正方形：边长的平方。

长方形：长乘以宽。

梯形：上底加下底乘以高除以二。

菱形：对角线相乘除以二。

平行四边形：底边乘以高。

圆：半径的平方乘以π。

活动四】快乐达标（学生先独立完成25分钟，后组内互
查2分钟）
题目：在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米。

求道路宽为多少米？
解题思路：先求出矩形的面积，再减去草坪的面积，得到道路的面积，最后根据道路的位置关系，列出方程求解。

答案：道路宽为5米。

反思：本节课主要研究了各种几何图形的面积公式，并通过解决实际问题来应用这些公式。

在研究过程中，需要注意掌握每种图形的特点和公式的应用条件，以及如何列出方程解决问题。

活动三】快乐达标
1.某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次涨价的百分率。

设平均每次涨价的百分率为x，正确的方程是A、100（1+x）2=120.解方程得x=10%。

符合题意，每次涨价为10%。

2.XXX的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后
售价为128元。

正确的方程是B、168（1-x）2=128.解方程得
x=20%。

符合题意，每次降价为20%。

3.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，求每年的平均增长率。

设每年的平均增长率为x，根据题
意列出方程：200(1+x)^2+200(1+x)+200=728.解方程得x=20%。

符合题意，每年的平均增长率为20%。

活动四】拓展延伸
1.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡
平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场
要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价0.2元。

2.XXX承包了一块长方形土地，长32米，宽20米，为
了便于灌溉，他在土地上修筑了两条一样宽的水渠。

为了使余
下部分面积还剩540平方米，水渠的宽应为2米。

变式1方程
为(32-2x)(20-2x)=540，解得x=4，水渠的宽为2x=8米。

变式
2水渠的宽度为10米。

1.水渠的宽度是32m或20m。

2.老王种植白菜获得丰收，成本为2元/千克，以3元/千
克的价格出售，每天可出售200千克。

为了促销，他决定降价销售。

调查发现，每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。

每天的固定成本为24元，XXX每天盈利200元。

问题是，每
千克白菜的售价应该降低多少元？
3.XXX算了算2013年种植白菜共获利4320元，他记得
自己2011年种植白菜共获利3000元，若从2011年到2013年，每年获利的年增长率相同。

1）求平均每年获利的增长率。

2）若获利的年增长率继续保持不变，预计2014年他将获利多少元？
4.方程3x^2 - 6x + 1 = 0，用配方法解得方程可变形为(x-
3)^2 = 4/3.
5.方程x^2 - 2x - 3 = 0的解为x = -1或x = 3.
6.方程x(x-2)+x-2=0的解为x=2或x=-1.
7.方程kx^2 - 2kx + 1 = 0有两个不相等的实数根，当k2
时成立。

8.方程x^2 - kx + 2 = 0有两个实数根，当k^2 - 8 ≥ 0时成立。

9.方程x^2 - 6x + k = 0有两个实数根，当k ≤ 9时成立。

10.方程x^2 - kx + 2k = 0有两个实数根，当k ≥ 0时成立。

11.方程x^2 - 2x + k = 0有两个实数根，当k ≤ 1时成立。

12.方程x^2 - 4x + k = 0有两个实数根，当k ≥ 4时成立。

13.方程x^2 - (k+1)x + k = 0有两个实数根，当0 ≤ k ≤ 1时成立。

14.方程x^2 - kx + 2 = 0有两个实数根，当k^2 - 8k + 16 ≥ 0时成立。

15.方程kx - x + 1 = 0有两个不相等的实数根，当0 < k < 2时成立。

16.方程x^2 - 23x - k = 0有两个相等的实数根，当k = 529时成立。

17.方程ax + 2(a+2)x + a = 0有实数解，当a ≥ -2时成立。

18.设m、n是方程x^2 + 2x + 1 = 0的两根，则2(m^2 + n^2) = 5(m + n)^2.
7、解方程$x-2x=5$。

8、解方程：$x-2x=2x+1$。

29、解方程：$x-4x+2=$。

210、已知一元二次方程：$x-3x-1=$的两个根分别是
$x_1$、$x_2$，则$x_1x_2+x_1x_2$的值为（）A.−3 B.3 C.−6 D.6
11、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。

已知两次降价的百分率都为$x$，那么$x$满足的方程是（）$100(1+x)=81$。

12、若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x-ax+a=0$的一
个根，则$a$的值为（）A.1或4 B.−1或−4 C.−1或4 D.1或−4.
19、设$a$，$b$是方程$x^2+x-2013=0$的两个不相等的实数根，$2ax+a^2=$的一个根，$a^2+2a+b$的值为。

220、若$a$，$b$是方程$x-2x-3=0$的两个实数根，则
$a^2+b^2=$。

21、方程$(k-1)x^2-kx+1=0$有两个实数根，则$k$的取值范围是$\frac{1}{2}<k\leq1$。

13、若$\alpha$，$\beta$是一元二次方程$x+2x-6=0$的两根，则$\alpha+\beta=$（）A.−8 B.32 C.16 D.40.
14、如果关于$x$的一元二次方程$kx^2-2k+1x+1=0$有两个不相等的实数根，则（）$k<1$。

22、某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。

设平均每次降价的百分率为$x$，根据题意所列方程正确的是$36(1-2x)=25$。

23、某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米。

如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是$\frac{1}{2}$。

24、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上建一个游泳池，游泳池的长和宽分别是长方形的长和
宽的$\frac{2}{3}$。

若游泳池占据了长方形的$\frac{1}{5}$，
则游泳池的面积是$400m^2$。

修建矩形地面上的道路和种草坪问题：
为了使每一块花草的面积都为78平方米，需要设计三条
同样宽的通道，其中两条与矩形的AB边平行，另一条与AD
边平行，其余部分种花草。

设通道的宽为x米，则根据题意可列方程78 = (17-2x)(x) + (22-2x)(x) + 2x(x)，化简得到 x^2 - 19x + 156 = 0.解方程得到x = 13或12.因为x需要小于矩形的长和宽，所以通道的宽应设计为12米。

在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米。

设道路宽为x 米，则根据题意可列方程300 = (22-2x)(17-2x)，化简得到 x^2 - 19x + 56 = 0.解方程得到x = 7或8.因为x需要小于矩形的长
和宽，所以道路的宽应设计为7米。

组织篮球赛问题：
XXX要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之
间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加
比赛？设应邀请x支球队参赛，则每对共打x-1场比赛，比赛
总场数用代数式表示为28 = x(x-1)/2.解这个方程，得到x = 8
或-7.因为参加比赛的球队数量不能为负数，所以应邀请8支
球队参加比赛。

黄果树风景区旅游问题：
XXX为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风
景区旅游，推出了如图所示的收费标准。

某单位组织员工去旅游，共支付给旅行社旅游费用元。

设该单位共有x名员工去旅游，则根据题意可列方程 = 1500x + 800(x-15)，化简得到 x = 45.因此，该单位这次共有45名员工去具有喀斯特地貌特征的
黄果树风景区旅游。

Rt△XXX问题：
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q
同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，
它们的速度都是1m/s。

几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积
的一半？设PC=x，QC=y，则根据题意可列方程xy = 6(8-x)(x)。

又因为△PCQ和△ACB相似，所以PC/AC = QC/CB，即 x/(8-y) = y/6.解这个方程组，得到x = 2，y = 3.因此，PCQ的面积
为(1/2)xy = 3平方米，Rt△ACB的面积为(1/2)AC*CB = 24平
方米。

所以，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半时，有3xy = 36平方米，即xy = 12平方米。

代入方程xy = 6(8-
x)(x)中，解得x = 1.2秒。