【典型题】高一数学下期末模拟试题及答案

【典型题】高一数学下期末模拟试题及答案
一、选择题
1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=，
sin B =
，ABC S =△b =（ ）
A ．
B ．
C D 2．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ）
A ．
B ．
C ．(2,
D ．（2，4）
3．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1
B ．y = x+1
C ．y =88+
12
x D ．y = 176
5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为
A．1
2
尺
B．
8
15
尺C．
16
29
尺D．
16
31
尺
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
A．1B．2C．3D．4
7．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A．
4
5
B．
3
5
C．
2
5
D．
1
5
8．已知()
2019
1
1,0
2
log,0
x x
f x
x x
⎧
+≤
⎪
=⎨
⎪>
⎩
，若存在三个不同实数a，b，c使得
()()()
f a f b f c
==，则abc的取值范围是（）
A．(0,1)B．[-2,0)C．(]
2,0
-D．（0,1）
9．已知0,0a b >>，并且111
,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．9
10．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
11．与直线40x y --=和圆2
2
220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22
112x y +++= B ．()()22
114x y -++= C ．()()2
2
112x y -++=
D ．()()2
2
114x y +++=
12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
二、填空题
13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面
SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积
为______．
15．若三点1
(2,3),(3,2),(
,)2
A B C m --共线，则m 的值为 ． 16．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
17．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论：
①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；③()f x 最大值为2；④()
f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．
18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
19．函数sin 3y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个
单位长度得到．
20．若()1,x ∈+∞，则1
31
y x x =+
-的最小值是_____． 三、解答题
21．在中角所对的边分别是
，
，
，
．
求的值； 求
的面积．
22．已知不等式的解集为
或
.
（1）求
；（2）解关于的不等式
23．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；
（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；
（3）若1
k 2
=
，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．
24．已知：a b c 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若5
2
b =
，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. （3）若()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
25．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东
12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .
（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值. 26．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，21n n a S =．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3
n
n n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简
sin 5sin 2A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c
，由sin B =
，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于
sin 5sin 2A c B b
=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5
2a c =
由于在ABC
中，sin 4B =
，4
ABC S =△
1sin 24
ABC
S ac B =
=
，
联立521
sin 2sin a c ac B B ⎧
=⎪⎪
⎪=
⎨⎪⎪=
⎪⎩
，解得：5a =，2c = 由于B
为锐角，且sin 4
B =
，所以3cos 4B ==
所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=
，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
2．A
解析：A 【解析】
由()4f x f x -=（
）得：4T =，当010]x ∈
（，
时，函数的图象如图：
()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a
<⎧⎨
>⎩，解得610a ∈（，），故选A.
点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.
3．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+
1
2
x 成立，故选C 5．C
解析：C 【解析】
试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为
，
,求公差，
，解得：
尺，故选C.
考点：等差数列
6．B
解析：B 【解析】
分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，
20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203
N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054
N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．
7．C
解析：C 【解析】
选取两支彩笔的方法有2
5C 种，含有红色彩笔的选法为1
4C 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为142542
105
C p C ==
=. 本题选择C 选项. 考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】
()20191
1,
02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
9．D
解析：D 【解析】 ∵
111
,,2a b
成等差数列， ()1111441445529a b a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭
，， 当且仅当a =2b 即3
3,2
a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】
对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知
平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .
对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面
ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.
对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以
AB 与平面MNP 相交.
对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .
综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
11．C
解析：C
【解析】
圆2
2
220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-
，过圆心()1,1-与直线
40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直
线40x y --=
=
，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=
=0a b +=，解得
1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
()()
2
2
112x y -++=.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
12．B
解析：B 【解析】
分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得
51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得3243
3(32)224222
d d d ⨯⨯⨯+
⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.
二、填空题
13．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式
解析：1
n
-
【解析】
原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：
1
111n n S S +-= ，即
111
1n n S S +-=-，
即数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n
n n S =-+--=- ，即1n S n
=-
. 【点睛】这类型题使用的公式是1
1{n
n n S a S S -=- 12
n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是
消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.
14．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半
解析：36π 【解析】
三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932
r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
15．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：
12
【解析】
试题分析：依题意有AB AC k k =，即
53
152
2
m --=
+，解得12m =. 考点：三点共线．
16．如果l⊥αm∥α则l⊥m 或如果l⊥αl⊥m 则m∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l⊥αm∥α则l ⊥m 正确；（2）如果
解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；
（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
17．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析
解析：①③ 【解析】 【分析】
利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】
对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，
且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当
2
x π
π<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数
()y f x =在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，命题②错误；
对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又
22f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；
对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >，
又
()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.
因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.
18．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
解析：1
3
【解析】 【分析】 【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163
=； 故答案为
13
． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
19．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3
π
【解析】
试题分析：因为sin 2sin()3
y x x x π
==-，所以函数sin y x x =的的
图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移
3
π
个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
20．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值
解题的关键是配凑积为定值属于基础试题 解析：323+
【解析】 【分析】
由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1
=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】 解：
x 1>，()11
y 3x 3x 13x 1x 1
∴=+
=-++-- ()123x 13233x 1≥-⋅
+=+-，（当且仅当3
13
x =+
取等号） 故答案为233+． 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．
三、解答题
21．（1）；（2）
【解析】 【分析】
)利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可得
的值；
由
，可得
为锐角，由可得
，利用两角和的正弦函数公式可求
的值，利用三角形面积公
式即可得解． 【详解】
，
，
．
，
由正弦定理可得：
，C 为锐角，
由
可得：
，
，
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理的应用，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
22．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅． 【解析】 【分析】
（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集． 【详解】
（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }， 所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；
由根与系数的关系，得，
解得a ＝1，b ＝2；
（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0， 即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅． 【点睛】
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．
23．（1）k=±1；（2）（31-，）∪（133）直线CD 过定点（112
-，
）． 【解析】 【分析】
（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径2，由此能求出k ．
（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围．
（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，
1
22
t -），其
方程为22
1202x tx y t y ⎛⎫
-+--= ⎪⎝⎭
，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+
y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1
,12-）． 【详解】
解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切，
∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径
， 即
=，
解得k=±1．
（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=
+，12
2
2
x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1， 当∠AOB 为锐角时，
OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）
=(
)()2
12
121k
x x
2k x x 4+-++
=2
2
62k 1k
-+＞0， 解得k 2＜3，
又k 2＞1，∴
k 1-＜或1＜k
． 故k 的取值范围为（
1-）∪（1
（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，
1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1
t 22
-+）=0， ∴2
2
1x tx y t 2y 02⎛⎫
-+--=
⎪⎝⎭
， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上， 两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫
--=
⎪⎝⎭
，即（x+y 2）t-2y-2=0，
由y 0{?2220x y +
=+=，得1
{?21
x y =
=-，
∴直线CD 过定点（1
12
-，
）． 【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 24．（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）设(,)c x y =，根据条件列方程组解出即可；
（2）令(2)(2)0a b a b +⋅-=求出a b ⋅，代入夹角公式计算；
（3）利用()
0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围. 【详解】 解：设(,)c x y =， ∵25c =，且//c a ，
∴22
2020y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩
或24x y =-⎧⎨=-⎩， ∴(2,4)c =或(2,4)c =--；
（2）∵2a b +与2a b -垂直， ∴(2)(2)0a b a b +⋅-=， 即222320a a b b +⋅-=， ∴52
a b ⋅=-
， ∴52cos 1||||
5a b
a b θ-⋅=
==-⋅
，
∴a 与b 的夹角为π； （3）
a 与a λ
b +的夹角为锐角
则()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，
()2
5(12)0a a
a a
b b λλλ+==+>∴⋅++⋅，
解得：53
λ>-
， 若存在t ，使()
a b a t λ=+，0t >
()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++
则()1,2(1,2)t λλ=++，
122t t t t λλ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：10t λ=⎧⎨=⎩
， 所以5
3
λ>-且0λ≠，
实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题． 25．（1）1tan 3cos 2
t θθ=+-；（2）6π
【解析】 【分析】
（1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值． 【详解】
（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02
π
θ<<，
所以2tan PC θ=，2
cos AC θ
=，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为 2122tan 1tan 3242cos 4cos 2
AC BC t θθ
θθ-=
+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθ
θθ
-=+-=+， 令2sin 0cos y θ
θ
-=>，则22sin 2cos 14y y θθ=++
解得3y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6
π
θ=
时，所花时间t 最小．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
26．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1
13n n
n T +=-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由条件得()2
41n n S a =+，由1n =得1a ，当2n ≥时，
()2
1141n n S a --=+，两式作差得22
11422n n n n n a a a a a --=+--，整理得12n n a a --=，由
等差数列公式求通项即可； （Ⅱ）由()1
213
n n b n =-⋅，利用错位相减即可得解. 试题解析： （Ⅰ）
21n a S =， ()2
41n n S a ∴=+．
当1n =时，()2
1141S a =+，得11a =． 当2n ≥时，()2
1141n n S a --=+，
()()()22
11411n n n n S S a a --∴-=+-+，
2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
0,n a > 12n n a a -∴-=．
∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，
()12121n a n n ∴=+-=-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213
n n b n =-⋅
， ()231111
135213333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①
()()23111111
132********
n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——② ①–②得()2312
111
112213
33333n n n T n +⎛⎫
=
+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪⎝⎭
()21111
113322113313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得1
13
n n n T +=-．
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n n
b n =-⋅， 设()()()()1
1111
2112323333n n n n n
b n An B A n B An A B -⎡⎤=-⋅
=+⋅--+⋅=-+-⋅⎣⎦， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,
1.A B =-⎧⎨=-⎩
()()()()1111111
211133333
n n n n n n b n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，
∴
()12011211
1111111223113
3333
33n n n n n
n T b b b n n -+⎛⎫⎛⎫⎡
⎤=++⋅⋅⋅+=⨯-⨯+⨯-⨯+
+⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.。