2021届江苏省徐州市普通高中高三下学期4月三模考试数学试卷及答案

2021届江苏省徐州市普通高中高三下学期4月三模考试
数学试卷
★祝考试顺利★ (含答案)
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集U ，集合M ，N 是U 的子集．且M ⊆N ，则下列结论中一定正确的是
A ．(U M)(U
N)＝U B ．
M (
U
N)＝∅
C ．M (U
N)＝U D ．(U
M)N ＝∅
答案：B
解析：本题可以通过画韦恩图的方法进行判断，B 正确．
2．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初
赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为 A ．
112 B ．13
C ．12
D ．34 答案：D
解析：设高二年级3人相邻为事件A ，高一年级2人不相邻为事件B ，
38
38
10102367361010
()3
()()
4A A A P AB P B A A A A P A A ===．
3．已知1z ，2z 是复数，下列结论错误的是
A ．若120z z -=，则12z z =
B ．若12z z =，则12z z =
C ．若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅
D ．若12z z =，则22
12z z =
答案：D
解析：取11i z =+，21i z =-，则212i z =，2
22i z =-，故D 错误．
4．函数52sin ()33
x x
x x
f x -+=
-(x ∈[π-，0)(0，π])的大致图象为
A B C D 答案：A
解析：首先判断该函数是偶函数，排除B 、D ，当x ∈(0，π]，()0f x >，排除C ，故选A ． 5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一
年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正
确的是
A ．小寒比大寒的晷长长一尺
B ．春分和秋分两个节气的晷长相同
C ．小雪的晷长为一丈五寸
D ．立春的晷长比立秋的晷长长 答案：C
解析：小雪的晷长为一丈一尺五寸，故C 错误．
6．某圆锥母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大
值为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．1 答案：A
解析：取截面为△SMN ，P 为MN 的中点，设OP ＝x (0＜x ≤3，SB ＝2，OB ＝3，所以SO ＝1，
SP ＝21x +，MN ＝223x -，故S △SMN ＝1
2
•MN •SP ＝12
•21x +•223x -＝22(1)4x --+，所以当x ＝1时，S △SMN ＝2，此时的截面面积最大．
7．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 是其上一动点，点M(1，1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，
B 两点，下列结论正确的是 A ．PM PF +的最小值是2
B ．动点P 到点H(3，0)的距离最小值为3
C ．存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线x ＋y ﹣3＝0对称
D ．与抛物线C 分别相切于A 、B 两点的两条切线交于点N ，若直线AB 过定点，则点N 在抛物线C 的准线上 答案：A
解析：作PQ ⊥直线x ＝﹣1，垂足为Q ，则PM ＋PF ＝PM ＋PQ ，当P 、Q 、M 三点共线，且MQ ⊥直
线x ＝﹣1时，PM PF +的最小值是2，故A 正确，本题选A ．
8．已知函数()f x 是定义在区间(0，+∞)上的可导函数，满足()0f x >且()()0f x f x '+<（()f x '为
函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是 A ．()(1)()f a a f b >+ B ．()(1)()f b a f a >- C ．()()af a bf b > D ．()()af b bf a > 答案：C
解析：令()e ()x F x f x =，则()F x 在(0，+∞)上单调递减，
有e ()e ()e ()()a b a b f a f b f a f b ->⇒>，接下来证明e a b a b
-<， 即证明1
2ln 0a a a
--<，即可判断C 正确．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则
A ．22log log 2a b +≥-
B ．117
4
ab ab +
≥
C ．213a b +≤+．1
22
a b ->
答案：BD
解析：2
2222log log log log (
)22
a b a b ab ++=≤=-，A 错误，
21
322a b
+≥+，C 错误，其他选项都正确，选BD ． 10．已知202123202101232021(12)x a a x a x a x a x -=+++++，则
A ．展开式中所有项的二项式系数和为2021
2 B ．展开式中所有奇次项系数和为202131
2
-
C ．展开式中所有偶次项系数和为202131
2- D ．3202112232021
12222a a a a ++++=-
答案：ACD
解析：展开式中所有奇次项系数和为202131
2
+-，B 错误，其他选项都正确，选ACD
．
11．半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边
形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则
A ．BF ⊥平面EAB
B ．该二十四等边体的体积为
20
3
C ．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D ．PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为2 答案：BCD
解析：BF 与AE 所成角是60°，故A 错，其他选项均正确，选BCD ．
12．已知函数sin cos ()e e x x f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是
A ．()f x 在(0，
2
π
)是增函数 B ．(+)4
f x π
是奇函数
C ．()f x 在(0，π)上有两个极值点
D ．设()()f x g x x =，则满足1
()()44
n n g g ππ+>的正整数n 的最小值是2 答案：ABD
解析：()f x 在(0，π)上有一个极值点，故选项C 错误，其他选项均正确，选ABD ．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置
上）
13．由图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F 为AB ，CD
的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF ⋅的值为 ． 答案：7
4
-
解析：22
1117PQ EF (AD BC)(AD BC)(AD BC )224
4
⋅=-⋅+=-=-．
14．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个
概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12212.5(lgE lgE )m m -=-，其中星等为k m 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知“心宿二”的星等是 1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍．（结果精确到0.01，当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++） 答案：1.26
解析：1
2210
211E 111 1.25 2.5(lg E lg E )101 2.3 2.7() 1.257 1.26E 1010
-=-⇒=≈+⨯+⨯=≈．
15．已知双曲线E ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 与双
曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2的内切圆与边AB 、BF 2、AF 2分别相切于点M 、N 、P ，且AP 的长为4，则a 的值为 ． 答案：2
解析：122BF BF a -=，212AF AF a -=，两式相加得AB ＋AM ﹣BM ＝4a ，所以8＝4a ，a ＝2． 16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生 表
现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评．设随机变量X~B(n ，p )，记k p ＝
(1)k k
n k n C p p --，k ＝0，1，2，…，n ．在研究k p 的最大值时，小组同学发现：若(n ＋1)p 为
正整数，则k ＝(n ＋1)p 时，1k k p p -=，此时这两项概率均为最大值；若(n ＋1)p 为非整数，当k 取(n ＋1)p 的整数部分，则k p 是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一
枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为的概率最大．
答案：18
解析：[1
+⨯]＝[13.5]，取13，13＋5＝18．
(801)
6
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且cosB1
b=．
a=，sinA2（1）求sin(A＋C)和边长a；
（2）当22
+取最小值时，求△ABC的面积．
b c
解：（1）由正弦定理及与得：，
（R是△ABC的外接圆半径），
两式相除，得，
设，
因为B是△ABC的内角，
∴，
将代入，得，
；
（2）由（1）及余弦定理知，
∴
当且仅当时，取得最小值，
．
18．（本小题满分12分）
数列{}n a 中，27a =且24n n S na n =+(n N *∈)，其中n S 为{}n a 的前n 项和． （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）证明：
2222
123
111
111393
n a a a a n ++++
<-+(n N *∈)． 解：（1）由24n n S na n =+，取
，有，得，
当
时，
， 两式相减得， 即
， ，
两式再相减得，
即
，
为等差数列，又，
则
； （2
）要证，
即证，
，
故2222
123
111111
393
n a a a a n ++++
<-+(n N *∈)．
19．（本小题满分12分）
在如图所示的圆柱O 1O 2中，AB 为圆O 1的直径，C ，D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱O 1O 2的母线．
（1）求证：FO 1∥平面ADE ；
（2）若BC ＝FC ＝2，求二面角B —AF —C 的余弦值．
解：（1）证明：连接
，因为EA ，FC ，都是圆柱
的母线，
所以
，
因为C ，D 是AB 的两个三等分点，AB 为圆的直径， 所以，
又因为，，所以平面平面
，
又因为
平面，所以
平面ADE ；
（2）连接AC ，因为AB 为圆的直径，所以AC ⊥BC ，
又因为CF ⊥平面ABC ，所以CF ⊥CB ，CF ⊥AC ， 所以CA
、CB 、CF 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：
，
，
设平面ABF 的法向量为
，
，令x ＝1，则，
平面ACF的法向量为，
所以二面角B—AF—C的余弦值为．
20．（本小题满分12分）
某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当n＝2，1
p=时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为
2
500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
解：（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设X为该电子产品需要维修的系统个数，则，
，
∴ξ的分布列为：
；
（2）记2k﹣1个元件组成的系统正常工作的概率为，2k﹣1个元件中有i个正常工作的概率为，
因此系统工常工作的概率，
在2k﹣1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k＋1个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
a原系统中至少有k＋1个元件正常工作，概率为；
b原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为
；
c原系统中恰有k﹣1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为，
故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
21．（本小题满分12分）
某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．
（1）若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
（2，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
解：（1）以O为坐标原点，以OD所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意A(0，1)，E(3，0)，由∠OEF＝30°，
所以，所以，
所以直线EF的方程为：，
设，则，所以椭圆，当a 最大时直线EF 与椭圆相切，
整理可得：
，
，解得
舍)
所以椭圆的长半轴长为
；
（2）因为，
所以
，
所以椭圆的方程为：；
设
，则
，直线MN 的方程为：，
联立，整理可得：
， 设则
，
， 要保证MN 与半椭圆有交点，当N 位于B 时， 所以，当，即
，
有最大值为1，
综上所述，当时，△OMN 的面积最大．
22．（本小题满分12分）
已知函数21()ln (21)2
f x x x x a x =-+-(a ∈R)． （1）讨论函数()f x 的极值点的个数；
（2）已知函数e ()()x g x f x x '=-有两个不同的零点1x ，2x ，且1x ＜2x ．证明：21x x -<2421
21
a a a ---．
解：（1）函数21
()ln (21)2
f x x x x a x =-+-，故()f x 的定义域为，则
，令
，则
，
当时，，则单调递增， 当时，
，则
单调递减，
所以当时，
取得最大值
， 当
时，
，则
，所以()f x 在
上单调递减，此时()
f x 无极值点；
当
时，，因为
，
，
所以
在
上有且只有一个零点， 所以()f x 在上有且只有一个极值点，
又
所以
在
上有且只有一个零点， 所以()f x 在上有且只有一个极值点． 综上所述，当
时，()f x 无极值点；当
时，()f x 有2个极值点． （2）证明：函数， 则，
当时，，则
单调递减， 当
1时，
，则
单调递增，
所以当时，
取得最小值
，
因为函数有两个不同的零点且
所以
，即
所以
又，
令则
令则
所以单调递增，所以，
所以，所以单调递增，
所以，
所以，所以，
令，则，
当时，，则单调递增，
当1时，，则单调递减，
所以当时，取到最大值为，
所以，即，
所以，令，则，所以，
所以。