2022-2023年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D为CA延长线上一点，且AD＝AB．（1）求∠D的度数；
（2）求tan15°的值．（保留根号）
2．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈
1.732）
3．已知：△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点．
（1）如图1，BH⊥AD于点H，若AD＝BD，求证：BC＝2AH．
（2）如图2，∠BAC＝120°，点D在CB延长线上，点E在BC上且∠DAE＝120°，若AB＝6，DB＝2，求CE．
（3）如图3，D在CB延长线上，E为AB上一点，且满足：∠BAD＝∠BCE，＝，若tan∠ABC＝，BD＝5，直接写出BC的长为．
4．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
5．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE＝6米，塔高DE＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
6．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．
（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；
（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）
（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）
7．2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
8．如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
9．如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是该图的平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们]之间的水平距离BC＝2m，折臂底座CD＝1.5m，上折臂AE＝5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝75°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，求路灯AB的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
10．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．
（1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．
（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈
0.73）
11．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
12．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA＝OB＝120cm，支撑脚OC＝OD＝120cm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂支架PQ＝MN＝80cm，且OP＝OM＝40cm．
（1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；
（2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N 也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．
13．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈
0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
14．如图1是一个长方体形家用冰箱，长宽高分别为0.5米、0.5米、1.7米，在搬运上楼的过程中，由于楼梯狭窄，完全靠一名搬运师傅背上楼．
（1）如图2，为便于搬运师傅起身，冰箱通常与地面成60°角，求此时点D与地面的高度；
（2）如图3，在搬运过程中，冰箱与水平面成80°夹角，最低点A与地面高度为0.3米，门的高度为2米，假如最高点C与门高相同时，刚好可以搬进去．若他保持冰箱与平面夹角不变，他要下蹲几厘米（结果保留整数）才刚好进门？（sin80°≈0.98，cos80°≈
0.16，tan80°≈5.67）
15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．
（1）求枪身BA的长度；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝
68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规
定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）
16．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
17．大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B 处平行于地面水平线，测得AB＝60cm，AC，BC与AB的夹角分别为45°与60°．
（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
18．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）
（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）
19．交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7m，测速仪C和E 之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
20．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）
21．某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口AC改造为车库斜坡入口AD．已知入口高AB＝4m，且AB⊥BD，点C处测得∠ACB＝45°，新坡面坡角∠ADB ＝30°．
（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）
（2）入口处水平线AE＝6m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝1.3m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：≈
1.4，≈1.7）
22．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B 测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）
参考答案
1．解：（1）∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠D，
∵∠BAC＝30°，∠BAC＝∠ABD+∠D，
∴∠D＝15°；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，AC＝BC，
∵AB＝AD，
∴AD＝2BC，
∴CD＝CA+AD＝BC+2BC＝（+2）BC，
∵∠D＝15°，∠C＝90°，
∴tan15°＝＝，
即tan15°的值是2﹣．
2．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4，
由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，
∴AB＝4﹣2，
∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
3．（1）证明：如图1，
过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC，
∴BN＝BC，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
在△ABN和△BAH中，
，
∴△ABN≌△BAH（AAS），
∴BN＝AH，
∴BC＝AH，
∴BC＝2AH；
（2）解：如图2，在AC上取一点F，使EF＝EC，连接EF，
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠C＝∠CFE＝30°，
∴∠ABD＝∠AFE＝150°，
∴△ABD∽△AFE，
∴，即，
∴＝，
设EF＝a，则AF＝a，
∵EF＝CE＝a，∠C＝30°，
∴CF＝a，
∴6﹣a＝a，
∴a＝，
∴CE＝EF＝；
（3）解：如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE＝2m，BE＝3m，则AB＝AC＝5m，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
∴BP＝CP＝4m，BC＝8m，
∵∠BAD＝∠BCE＝∠G，∠ABD＝∠GCA＝150°，
∴△ABD∽△GCA，
∴，即＝，
∴CG＝5m2，
∵AG∥CE，
∴，
∴，
∴m＝，
∴BC＝8m＝．
故答案为：．
4．解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
5．解：∵AB⊥EF，DE⊥EF，
∴∠ABC＝90°，AB∥DE，
∴△F AB∽△FDE，
∴＝，
∵FB＝4米，BE＝6米，DE＝9米，
∴＝，得AB＝3.6米，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝53°，cos∠BAC＝，
∴AC＝＝＝6米，
∴AB+AC＝3.6+6＝9.6米，
即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．
6．解：（1）∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，
∴sin24°＝，
∴CD＝AC sin24°＝30×0.40＝12cm；
∴支撑臂CD的长为12cm；
（2）过点C作CE⊥AB，于点E，
当∠BAC＝12°时，
∴sin12°＝＝，
∴CE＝30×0.20＝6cm，
∵CD＝12，
∴DE＝，
∴AE＝＝12cm，
∴AD的长为（12+6）cm或（12﹣6）cm．
7．解：∵∠AOB＝150°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
8．解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，
∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），
∵AB＝10米，
∴BC＝AC﹣AB＝20（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，
∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），
∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），
∴广告牌ED的高度约为4.9米．
9．解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥MN，垂足为G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，
则EF＝GB，DH＝GC，EG＝FB，HG＝DC＝1.5m，∠HDC＝90°，EF∥DH，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°，
∵EF∥DH，
∴∠FED＝∠EDH＝45°，
∵∠AED＝75°，
在Rt△AEF中，AE＝5m，
∴AF＝AE＝2.5（m），
EF＝AF＝2.5（m），
∴EF＝GB＝2.5m，
∵BC＝2m，
∴GC＝GB﹣BC＝（2.5﹣2）m，
∴DH＝GC＝（2.5﹣2）m，
在Rt△EDH中，EH＝DH•tan45°＝（2.5﹣2）m，
∴FB＝EG＝EH+HG＝2.5﹣2+1.5＝（2.5﹣0.5）m，
∴AB＝FB+AF＝2.5+2.5﹣0.5＝2+2.5≈6.3（m），
∴路灯AB的高为6.3m．
10．解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，由题意可知，∠ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米，
在Rt△PDQ中，∠PDQ＝45°，PQ＝1.2﹣0.2＝1米，
∴DQ＝PQ＝1（米），
∴PF＝AB﹣DQ＝3﹣1＝2（米），
（2）当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时，则∠DPQ＝36°，PQ＝1.6﹣0.2＝1.4（米），∴DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），
∴PF＝3﹣1.022≈1.98（米），
∵1.98＞1.8，
∴能通过．
11．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，
由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，
在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．
12．解：（1）过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点O作OF ⊥AG，垂足为F，
则OE＝FG，∠FOE＝90°，
∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，
∴∠DOE＝∠COD＝30°，
∴OE＝OD•cos30°＝120×＝60（cm），
∴FG＝OE＝60cm，
∵OA⊥OD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，
∴∠AOF＝∠DOE＝30°，
在Rt△AOF中，OA＝120cm，
∴AF＝OA＝60（cm），
∴AG＝AF+FG＝（60+60）cm，
∴点A距离地面的高度为（60+60）cm；
（2）过点M作MK⊥OB，垂足为K，过点M作ML⊥OD，垂足为L，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∵OB∥CD，
∴∠BOC＝∠OCD＝60°，
在Rt△MKO中，OM＝40cm，
∴KO＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），
MK＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），
在Rt△MNK中，MN＝80cm，
∴NK＝＝＝20（cm），
∵OB＝120cm，
∴BN＝OB﹣OK﹣NK＝120﹣20﹣20＝（100﹣20）cm，
在Rt△OML中，∠COD＝60°，
∴ML＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），
OL＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），
在Rt△MN′L中，MN′＝MN＝80cm，
∴N′L＝＝＝20（cm），
∴ON′＝N′L﹣OL＝（20﹣20）cm，
∵OB′＝OB＝120cm，
∴B′N′＝OB′﹣ON′＝（140﹣20）cm，
∴B′N′﹣BN＝140﹣20﹣（100﹣20）＝40（cm），
∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．
13．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．
14．解：（1）过点D作DE⊥MN，垂足为E，
由题意得：
∠∠BAM＝60°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝180°﹣∠BAM﹣∠BAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝0.5米，
∴DE＝AD＝0.25（米），
∴此时点D与地面的高度为0.25米；
（2）过点B作BF⊥MN，垂足为F，过点C作CG⊥MN，垂足为G，过点B作BH⊥CG，垂足为H，过点A作AK⊥BF，垂足为K，交CG于点J，
则BK＝HJ，JG＝0.3米，∠BHC＝∠ABC＝90°，BH∥AK，
在Rt△ABK中，∠BAK＝80°，AB＝1.7米，
∴BK＝AB•sin80°≈1.7×0.98＝1.666（米），
∴HJ＝BK＝1.666米，
∵BH∥AK，
∴∠HBA＝∠BAK＝80°，
∴∠CBH＝∠ABC﹣∠HBA＝10°，
∵∠BHC＝90°，
∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝80°，
在Rt△BCH中，BC＝0.5米，
∴CH＝BC•cos80°≈0.5×0.16＝0.08（米），
∴CH+HJ+JG＝0.08+1.777+0.3≈2.05（米），
∴最高点C与地面的距离约为2.05米，
∴2.05﹣2＝0.05（米），
∴他要下蹲5厘米才刚好进门．
15．解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，
则BA＝HP，AB∥MQ，
∵∠ABM＝113.6°，
∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，
在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，
∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），
∵MP＝26.1cm，
∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），
∴枪身BA的长度约为8.5cm；
（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，
则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，
∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，
∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，
在Rt△MNK中，MN＝30cm，
∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），
∵KQ＝50cm，
∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），
∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，
∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．
16．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．17．解：（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，
设CM＝xcm，
在Rt△ACM中，∠MAC＝45°，
∴AM＝＝x（cm），
∵AB＝60cm，
∴BM＝AB﹣AM＝（60﹣x）cm，
在Rt△BMC中，∠CBM＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x≈38.1，
经检验：x＝38.1是原方程的根，
∴CM＝38.1cm，
∴点C到AB的距离为38.1cm；
（2）过点E作EN⊥AB，垂足为N，
由题意得：
∠EBN＝∠ABC＝60°，
在Rt△BEN中，BE＝6cm，
∴EN＝BE•sin60°＝6×＝3≈5.19（cm），
∴坐垫E到地面的距离为：5.19+30+38.1＝73.29（cm），
∵坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，∴大勇同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
18．解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，
在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），
∵AB＝25米，
∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），
∴FC＝GB＝14米，
∵14米＞6米，
∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；
（2）延长光线交直线BC于点E，
则∠AEB＝29°，
在Rt△ABE中，AB＝25米，
∴BE＝≈≈45（米），
∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．19．解：（1）由题意得：
∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，
在Rt△ACD中，CD＝7米，
∴AD＝≈＝14（米），
在Rt△BEF中，EF＝7米，
∴BF＝＝≈4.1（米），
∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），
∴A，B两点之间的距离约为760米；
（2）小汽车从点A行驶到点B没有超速，
理由：由题意得：
760÷38＝20米/秒，
∵20米/秒＜22米/秒，
∴小汽车从点A行驶到点B没有超速．
20．解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE＝DN，DB＝NE，
∵斜坡AB的坡度i＝3：4，
∴＝，
∴设BE＝3a米，则AE＝4a米，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝5a（米），∵AB＝75米，
∴5a＝75，
∴a＝15，
∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，
设NA＝x米，
∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，
在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，
∴MN＝AN•tan58°≈1.6x（米），
∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，
在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.4，
解得：x＝57.5，
经检验：x＝57.5是原方程的根，
∴MN＝1.6x＝92（米），
∴大楼MN的高度约为92米．
21．解：（1）∵AB⊥BD，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4m，∠ACB＝45°，
∴BC＝＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BD＝＝＝4（m），
∴CD＝BD﹣BC＝（4﹣4）m，
∴斜坡底部增加的长度CD为（4﹣4）m；
（2）延长EF交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为H，由题意得：
∠FHG＝∠AEG＝90°，AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ADB＝30°，
∴∠AGF＝90°﹣∠EAD＝60°，
在Rt△AEG中，AE＝6m，
∴EG＝AE•tan30°＝6×＝2（m），
∵EF＝1.3m，
∴FG＝EG﹣EF＝2.1（m），
在Rt△FHG中，FH＝FG•sin60°＝2.1×≈1.8（m），∴限制高度约为1.8米．
22．解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，
∴∠BDP＝∠ADP＝90°，
在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），
BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），
在Rt△P AD中，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝＝＝10（海里），
∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，
∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；
（2）补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∴∠AFB＝∠CFB＝90°
由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠P AD＝45°，
在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝（5+5）海里，
在Rt△BCF中，∠C＝45°，
∴BC＝＝＝（10+10）海里，
∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．。