第五课时：一元二次方程(分式方程)及应用

知识梳理：
知识点1 分式方程的概念及解法
1.分式方程的概念;
分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程根本依据】
2.分式方程的解法步骤
(1)去分母：给方程两边都乘以________，把它化
为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)________．
3.增根(无解）：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。

【名师提醒：分式方程解法中的验根是一个必备
的步骤，不能省略】
提分必练：
1.分式方程3x ＝2x －1的解是( )
A ．x ＝－3
B ．x ＝－3
5
C ．x ＝3
D ．无解
2.若分式方程x x －1－m 1－x
＝2有增根，则这个增
根是________．m=___________。

3.解分式方程2x －1＋x ＋21－x
＝3
知识点 2 分式方程的应用(高频考点) 1．列分式方程解应用题的六个步骤 (1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以
及量与量之间的等量关系；
(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；
(3)列：根据等量关系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)检：双检验．A .检验是否是分式方程的解； B ．检验是否符合实际问题； (6)答：写出答案． 2．常见关系 分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等常见的公式及数量关系. 知识点3 一元二次方程的概念 1. 概念：只含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____的________方程叫一元二次方程．
2.一般形式是：_______________________． ____________________________________。

【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排
列，并且一般首项为正】
知识点4 一元二次方程的解法 直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全
平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，
即形如ax 2
=b 或(x ＋m)2＝n(n>0)的方程. 配方法：1、化二次项系数为 即方程两边
都 二次项的系数。

2、移项：把 项移到方程的 边
3、配方：方程两边都加上 把左边配成
完全平方的形式
4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接
开平方法解方程
公式法：如果方程aX 2 +bx+c=0(a ±0)
满足b 2
-4ac ≥0，求根公式为________________，适用于所有的一元二次方程。

因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A .B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根 提分必练：
解方程：
1.x2－3x＋2＝0；
2. x2－1＝2(x＋1
知识点5 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系;
1.根的判别式：关于X的一元二次方程
aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号___________表示。

2.判别式与根的关系：
(1)当b2－4ac>0⇔方程有________的实数根；
(2)当b2－4ac<0⇔方程没有实数根；
(3)当b2－4ac＝0⇔方程有________的实数根（4）当b2－4ac》0⇔方程有________的实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】
3.一元二次方程根与系数的关系：
关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个根分别为X1X2
则X1+X2 = X1X2=
关于X的一元二次方程x 2+px+q=0(a≠0)有两个根分别为X1X2
则X1+X2 = X1X2=
根与系数常见变形关系：
______________________________________
_____________________________________
_____________________________________
【名师提醒：在使用韦达定理解决问题时，需要满足b2－4ac______；如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】
知识点6 一元二次方程的实际应用1.解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
2.常见题型
增长率（降低）问题：公式a（1+x）2=b
利润问题：总利润= × 或
总利润= —
几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程
利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间
利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，
利润率＝利润÷进货价．
树的分支问题：x2+x+1=总数
传播问题：传染源（1+x）2=总数
单循环问题：比赛总场数
=
-
2
)1
(x
x
双循环问题：比赛总场数
=
-)1
(x
x
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【聚焦遵义中考】
分式方程解的概念及解法1．若x＝3是分式方程
a－2
x－
1
x－2
＝0的根，则a的值是()
A．5B．－5C．3D．－3
2．解分式方程
2
x－1
＋
x＋2
1－x
＝3时，去分母后变形为()
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3(1－x) D．2－(x＋2)＝3(x－1) 3．分式方程
3
x＝
2
x－1
的解是()
A．x＝－3 B．x＝－
3
5C．x＝3 D．无解4．若代数式
2
x－1
－1的值为零，则x＝________. 5．若关于x的方程
x－1
x－5
＝
m
10－2x
无解，
则m＝________.
6．已知关于x的方程
3x＋n
2x＋1
＝2的解是负数，则n的取值范围为________．
7．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，求方程m 2x －4－x x －2＝1
n
的解．
对
分式方程的应用
1.“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元． (1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
2.某商店用1050元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用1440元购进第二批这种文具盒，但第二批每个文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10个．
(1)求第一批每个文具盒的进价是多少元？ (2)卖完第一批后，第二批按24元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的文具盒全部按同一标准一次性打折销售，但要求这批文具盒利润不得少于288元，问最低可打几折？
命题点3 一元二次方程的实际应用
1．2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x ，可列方程为________．
2．为落实“两免一补”政策，某市2012年投入教育经费2500万元，预计2014年要投入教育经费3600万元．已知2012年至2014年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2013年该市要投入的教育经费为________万元． 命题点4 一元二次方程根的判别式
1.关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，则b 的取值范围是________．
2.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A ．x 2＋3＝0
B ．x 2＋2x ＝0
C ．(x ＋1)2＝0
D ．(x ＋3)(x －1)＝0
3.已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )
A ．a ＞2
B ．a ＜2
C ．a ＜2且a ≠1
D ．a ＜－2
4.关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋6＝0有实数根，则整数a 的最大值是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 命题点5 一元二次方程根的根与系数的关系 1.已知x ＝－2是方程x 2＋mx －6＝0的一个根，则方程的另一个根是________． 2．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1
x 2
的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 3.已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个解与方程x ＋1x －1
＝3解相同． (1)求k 的值；
(2)求方程x 2＋kx －2＝0的另一个解．
4. 已知关于x 的一元二次方程
x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1、x2，且满
足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值
命题点6一元二次方程的应用
1.某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第1周以每个10元的价格售出200个，第2周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元
2.低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知
A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？。