高一数学易错题集

高一数学易错题集
函数错题集函数错题集
1． （如中）方程组
1
1x y x y +=ìí-=-î的解集是___________ [错解一]{}0,1x y ==或{0,1{0,1}
} [错解二](){,01}x y x ory ==
[错解分析]用列举法把答案写成{}0,1x y ==或{0,1}，既不是列举法也不是描述法，既不是列举法也不是描述法，也就是不符
也就是不符合集合表示法的基本模式，而集合{0,1{0,1}
}(){0,1}¹．或用描述法把集合写成(){,01}x y x ory ==也是不正确的．这个集合的元素有无限多个，它表示这样的点()0,y 或(),1x [正解]()
{0,1}
2．（如中）"23""5"x y x y ¹¹+¹且是的____________条件条件 [错解]充分但不必要条件充分但不必要条件
[错解分析]未能搞清原命题与逆否命题的等价关系未能搞清原命题与逆否命题的等价关系 [正解]既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件
3．（如中）在R 内，下列对应是否是一一映射？若是，说明之，若不是，能否对x 或k 加以限制，使之成为一一映射？（1）x y kx ®= （2）x y x ®= [错解]上述对应皆为一一映射上述对应皆为一一映射
[错解分析]概念不清，考虑问题不严谨概念不清，考虑问题不严谨
[正解]（1）0k =时，不是一一映射，0k ¹时，是一一映射时，是一一映射 （2）不是一一映射，当0(0)x x ³£或时，是一一映射时，是一一映射
4．（如中）若函数2
2
2
(3)lg 4
x f x x -=-，则()f x 的定义域为的定义域为 [错解]{}
22x x orx ><-
[错解分析]()f x 与()
2
3f x -是两个不同的函数，有不同的定义域和对应法则是两个不同的函数，有不同的定义域和对应法则 [正解]{}
1x x >
5．（如中）函数1()(1)1x
f x x x
+=--的奇偶性是的奇偶性是 ______ [错解]()f x 为偶函数为偶函数
[错解分析]没有考虑定义域且变形是出现了错误没有考虑定义域且变形是出现了错误 [正解] ()f x 为非奇非偶函数为非奇非偶函数
6．（如中）函数2
(1)y x x =£-的反函数是________________ [错解](0)y x x =
³
[错解分析]一是符合错误，二是定义域未从原函数值域去确定一是符合错误，二是定义域未从原函数值域去确定 [正解](1)y x x =-³
７．（如中）当[]0,2x Î时，函数2
()4(1)3f x ax a =+--在2x =时取最大值，则实数a 的取值范围是______________ 
[错解]203a a ora ìü
³<íýîþ
[错解分析]对函数的单调性的概念不清,导致错误导致错误
[正解]2
3a a ìü³íýî
þ
8．（如中）若2
24x y +=，那么2
85x y +-的最大值为__________ [错解]10、12、15 
[错解分析]忽略了[]2,2y Î-的限制
[正解]11 
9．（如中）若不等式
2
10x nx m m
++>的解集为{}24x x <<，求这个不等式，求这个不等式 [错解]不等式可设为()()240x x -->
这个不等式21
0x nx m m ++>应与同解应与同解
1681n m m
-\== 22m \=±
当22m =时，322n =-；当22m =-时, 3
22n =
\所求的不等式为
2132
2202
22
x x -
+> 或
2132
220222
x x +->-
[错解分析]忽略了0m <的隐含条件的隐含条件
[正解] 2132
220222x x
+->-即2680x x -+->
10．（如中）设关于x 的二次方程2
2
7(13)20x k x k k -++--=的两根12,x x 满足
12012x x <<<<,求k 的取值范围. 
[错解] 12012x x <<<<
121213
02x x x x <+<ì\í
<<
î 解:222131372027(13)28(2)0k k k k k k +ì<<ï
ï
--ï
<
<íïD =+---³ïïî
得22(121,1)(2,121)33
k Î--È+
[错解分析]从第一步到第二步导致了范围的扩大从第一步到第二步导致了范围的扩大 [正解]设22()7(13)20f x x k x k k =-++--=
方程()0f x =的两个根12,x x 满足12012x x <<<< (0)0
(1)1(2)0f f f >ìï\<íï>î2222028030k k k k k k ì-->ï
Þ--<íï->î
解之得:21,34k k -<<-<<
(2,1)(3,4)k \Î--È
向量、三角函数
1（如01342
=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为a tan ，b tan ，
且a 、Îb ç
è
æ-
2
p ,÷ø
ö2p ，则2
tan b a +的值是的值是_________________. _________________.
错误分析：忽略了隐含限制b a tan ,tan 是方程01342
=+++a ax x 的两个负根，从而导致
错误. 
正确解法：1>a \a 4t a n t a n -=+b a 0<，o a >+=×13tan tan b a
\b a tan ,tan 是方程01342
=+++a ax x 的两个负根的两个负根 又÷øöçèæ-Î2,2,p
p b
a ÷øöçèæ-Î\0,2,p
b a 即÷ø
öçèæ-Î+0,22p b a 由tan ()b a +=b a b a tan tan 1tan tan ×-+=()1314+--a a
=34可得22tan -=+b a
答案: -2 . 
2 （如中）若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________. 
错误分析：只由b a ,的夹角为钝角得到,0<×b a 而忽视了0<×b a 不是b a
,夹角为钝角的充
要条件,因为b a ,的夹角为 180时也有,0<×b a 从而扩大x 的范围,导致错误. 
正确解法: a ，b 的夹角为钝角, ()×+-×=×\x x x b a 23
04322
<+-=x x
解得0<x 或 3
4
>x (1) 
又由b a
,共线且反向可得31-=x
(2) 由(1),(2)得x 的范围是
ççè
æ
÷øö-¥-31,÷øö
çèæ+¥÷øöçèæ-,340,31 答案: 
ççè
æ
÷øö
-¥-31,÷øöçèæ+¥÷øöçèæ-,340,31 . 3（如中）为了得到函数÷ø
öçèæ
-=62sin p x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（的图象（ ） A 向右平移
6p B 向右平移3p C 向左平移6p D 向左平移3
p
错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 
答案: B 4 （如中）函数÷øöçè
æ×+=2tan tan 1sin x
x x y
的最小正周期为的最小正周期为 ( ) A p B p 2 C 
2p
D 2
3p 错误分析:将函数解析式化为x y tan =后得到周期p =T ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 
答案: B 
5
（如中）已知a b a cos 4cos 4cos 52
2
=+,则b a 2
2
cos cos +的取值范围是
_______________.错误分析:由a b a cos 4cos 4cos
52
2
=+得a a b 2
2
cos 4
5cos cos -=代
入b a 2
2
cos cos
+中,化为关于a cos 的二次函数在[]1,1-上的范围,而忽视了a cos 的隐含
限制,导致错误. 
答案: úûùêëé2516,0. 
略解: 由a b a cos 4cos 4cos
52
2
=+得a a b 2
2
cos 4
5cos cos -= ()1
[]1,0c o s 2
Îb úû
ùêëéÎ\54
,0c o s a
将（1）代入b a 2
2
cos cos +得
b a 2
2
cos cos +=()
1
2cos 4
12
+--
a Îúû
ùêëé
2516
,0. 6 （如中）若()p ,0ÎA ,且
13
7cos sin =
+A A ,则=-+A
A A A cos 7sin 15cos 4sin 5_______________. 
错误分析:直接由13
7
cos sin =
+A A ,及1cos sin 2
2
=+A A 求A A cos ,sin 的值代入求得两
解,忽略隐含限制÷ø
öçèæ
Îp p ,2A 出错. 
答案: 
43
8. 7 （如中）在ABC D 中,°===60,8,5C b a ,则CA BC ×的值为的值为 ( ) 
A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析:错误认为°==60,C CA BC ,从而出错. 答案: B 
略解: 由题意可知°=120,CA BC , 
故CA BC ×=202185,cos -=÷ø
öç
èæ-´´=××CA BC CA BC . 8 （如中）关于非零向量a 和b
，有下列四个命题：，有下列四个命题：
（1）“b a b a
+=+”的充要条件是“a 和b
的方向相同”
；
（2）“b a b a
-=+” 的充要条件是“a 和b
的方向相反”； （3）“b a b a
-=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a
-=-” 的充要条件是“a 和b
的方向相同”
； 其中真命题的个数是其中真命题的个数是 （ ）
A 1 B 2 C 3 D 4 
错误分析:对不等式b a b a b a
+£±£-的认识不清. 
答案: B. 
9 （如中）已知向量÷øöçèæ-=÷øöçèæ=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b
x x a ,且,2,0úû
ùêëéÎp x 求 (1) b a ×及b a
+; 
(2)若()b a b a
x f +-×=l 2的最小值是2
3-,求实数l 的值. 错误分析:(1)求出b a
+=x 2cos 22+后,而不知进一步化为x cos 2,人为增加难度; 
(2)化为关于x cos 的二次函数在[]1,0的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 
答案: (1)易求x b a 2cos =×
, b a
+=x cos 2 ; 
(2) ()b a b a x f
+-×=l 2=x x cos 222cos ×-l =1cos 4cos 22
--x x l
=()12cos 22
2
---l l x úû
ùêëéÎ2,
0p
x []1,0c o s Î\x 从而:当0£l 时,
()1
min -=x f 与
,0£l 不合题意; 
当10<<l 时,()2
1,2
3122
min =
\-=--=l l x f ; 当1³l 时,(),2
341min -=-=l x f 解得8
5=l ,不满足1³l ; 
综合可得: 实数l 的值为21
. 
10 （如中）在ABC D 中,已知()()k AC AB ,1,3,2==,且ABC D 的一个内角为直角,求实数k 的值. 
错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若,90°=ÐBAC 即,AC AB ^
故0=×AC AB ,从而,032=+k 解得3
2
-=k ; (2)若
,
90°=ÐBCA 即
AC BC ^,
也就
是
=×AC BC ,而
(),3,1--=-=k AB AC BC 故()031=-+-k k ,解得2
133±=
k ; 
(3)若,90°=ÐABC 即AB BC ^,也就是,0=×AB BC 而()3,1--=k BC ,故
()0332=-+-k ,解得
.3
11=k
综合上面讨论可知,32-=k 或2
133±=k 或.311=k 数列
1．（如中）在等比数列{}n a 中，若379,1,a a =-=-则5a 的值为____________ [错解]3或3-
[错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正没有意识到所给条件隐含公比为正 [正解]3-
2．（如中）实数项等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若10531
32
S S =
，则公比q 等于________- [错解]1
8
[错解分析]用前n 项的和公式求解本题,计算量大,出错,应活用性质应活用性质 [正解]1
2
-
3．（如中）从集合{}1,2,3,4,,20×××中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有_________ [错解]90个
[错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面思考欠全面 [正解]180个
4．（如中）设数列{}{}(),0,n n n a b b n N *
>Î
满足12lg lg lg n
n b b b a n
++××××××++=，则{}n a 为等差数列是{}n b 为等比数列的____________条件条件
[错解]充分充分
[错解分析] 对数运算不清,判别方法没寻求到或半途而废判别方法没寻求到或半途而废 [正解]充要充要 5．（如中）若数列{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，则{},,n
n n S
b n N b n
*
=
Î也是等差数列，
类比以上性质，等比数列{},0,n n c c n N *
>Î，则n d =__________，{}n d 也是等比数列也是等比数列
[错解]
n
S n
[错解分析] 没有对n S n
仔细分析,其为算术平均数, [正解]12n n c c c ×××
6．（如中）已知数列{}n a 中，1
2
2
1
3,6,,
n n n
a
a
a
a
a ++=
=
=
-
则
则2003
a
等于______________ 
[错解]6或 3或3-
[错解分析] 盲目下结论,没能归纳出该数列项的特点没能归纳出该数列项的特点 [正解]6-
7．（如中）已知数列{}n a 中，2
n a n n l =+（l 是与n 无关的实数常数），且满足
1231n n a a a a a +<<<×××<<×××，则实数l 的取值范围是___________ 
[错解](),3-¥-
[错解分析]审题不清,若能结合函数分析会较好若能结合函数分析会较好 [正解]()3,-+¥
8．（如中）一种产品的年产量第一年为a 件，第二年比第一年增长1p ﹪，第三年比第二年增长2p ﹪，且
0,
0,
2p
>
>
+=
1212p p p p ，若年平均增长x ﹪，则有x ___p (填£³或或=) 
[错解]³
[错解分析]实际问题的处理较生疏,基本不等式的使用不娴熟基本不等式的使用不娴熟 [正解]£
⒐ （如中）设数列的前n 项和为224()n S n n n N +=++Î，求这个数列的通项公公式，求这个数列的通项公公式 [错解] 
()
1,21n n n n a S S a n n N -*
=-\=+Î
[错解分析]此题错在没有分析1n =的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有
()1n n n a S S n N *-=-Î
[正解] 1111,S 7,
221n n n n a n
a S S n -===³=-=
-时时, 因此数列的通项公式是()()
17221n n a n n =ì=í
³+î
⒑（如中）已知一个等比数列{}n a 前四项之积为1
16
，第二、三项的和为2，求这个等比数列的公比．的公比．
[错解] 四个数成等比数列，可设其分别为
33
,,,,a a
aq aq q q
则有41162
a a aq q ì=ïïíï+=
ïî
，解得21q =±或21q =-±，
故原数列的公比为2
322q =+或2
322q =-
[错解分析]按上述设法，等比数列公比2
0q >，各项一定同号，而原题中无此条件，各项一定同号，而原题中无此条件 [正解]设四个数分别为2
3
,,,,a aq aq aq
则462
1
162
a q aq aq ì
=ïí
ï+=î， ()4
2
164q q \+=
由0q >时，可得2
610,322;q q q -+=\=± 当0q <时，可得21010,546q q q ++=\=-- 不等式不等式
1、 （如中）设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是
A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1 
错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2、 （如中）设,,1x y R x y Î+>则使成立的充分不必要条件是成立的充分不必要条件是
A 1x y +³ B 11
22
x y >
>或 C 1x ³ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3、 （如中）不等式(1)20x x -+³的解集是的解集是
A {|1}x x > B {|1}x x ³ C {|21}x x x ³-¹且 D {|21}x x x =-³或
错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4、 （如中）（如中）某工厂第一年的产量为某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均
增长率为x,则
A 2a b x += B 2a b x +£ C 2a b x +> D 2
a b
x +³
1317)713)913)21b -的最大值为的最大值为
224
21
3
(1)(1)12
22
b b b b -
--+x y a x y +且
错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由
22
2
2
,22
2m n m n m n m n
+³£+得
，即
2x y x y
+£+，故的最小值是2。

)()x
y
++
的最小值为的最小值为 。

a +
³)()x y
++22
2222(2
x y xy xy xy xy
xy
+-==+2(2--2(2-,x
y
=
=
且号成立的条件是
2
2xy ==，与14
£相矛盾。

相矛盾。

)()x y ++1y x xy x y +++=1()22
xy xy xy
++=+
11 则210()24x y t xy +<=£=，由2()f t t t =+在10,4æùçú
èû上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254。

9、（如中）是否存在常数（如中）是否存在常数 c ，使得不等式2222x y x y c x y x y
x y x y +££+++++对任意正数对任意正数 x,y 恒成立？恒成立？
错解：证明不等式2222x y x y x y x y x y x y
+£+++++恒成立，故说明c 存在。

存在。

正解：令x=y 得
2233c ££，故猜想c=23,下证不等式222322x y x y x y x y x y x y +££+++++恒成立。

恒成立。

要证不等式
2223x y x y x y +£++，因为x,y 是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y ）(x+2y),也即证222231232(225)x xy y x y xy ++£++,即2xy ≤22
x y +，而此不等式恒成立，同理不等式2322x y x y x y
£+++也成立，故存在c=23使原不等式恒成立。

使原不等式恒成立。

10、（如中）已知适合不等式2
435x x p x -++-£的x 的最大值为3，求p 的值。

的值。

错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x 的最大值为3”的含义。

”的含义。

正解：因为x 的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于2
4(3)5x x p x -+--£，
即2242x x x p x --£-+£+，则22520(1){320(2)
x x p x x p -+-£-++³，
设（1）（2）的根分别为12213443(),()x x x x x x x x >>、、，则2433x x ==或 若23x =，则9-15+p-2=0，p=8 
若43x =，则9-9+p+2=0,p=-2 
当a=-2时，原方程组无解，则p=8 。