最新数学沪科版初中九年级上册23.2第4课时坡度问题2公开课教学设计

232 解直角三角形及其应用

第4课时坡度问题

教学目标

【知识与技能】

会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题

【过程与方法】

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法

【情感、态度与价值观】

使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义重点难点

【重点】

解决有关坡度的实际问题

【难点】

理解坡度的概念和有关术语

教学过程

一、创设情境,导入新知

师在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循教师多媒体课件出示

例如图,一段路基的横断面是梯形,高为42米,上底的宽是1251米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°求路基下底的宽(精确到01米)

师已知一个大坝的横截面是梯形,坝顶宽6 ,坝高23 ,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡D的坡度i=1∶25,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到01 )

学生思考

二、问题探究

1回忆旧知识

师我们先回忆一下坡度与坡角的概念

学生看课本

老师作图

师坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比,通常用小写字母i表示,坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角,一般用α表示坡度与坡角的关系是坡度越大,坡角越大

2练习

教师多媒体课件出示

(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为;

(2)坡度通常写成1∶的形式如果一个坡度为1∶25,则这个坡角为;

(3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为,坡度为;

(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)

若AB=10,D=4,高h=4,则坡度i= ,AD= ;

若AB=10,D=4,i=,则h=

师我们再看几个练习,以加深对坡度和坡角的理解

教师找学生回答,然后集体订正

【答案】(1) (2) 20°48'(3)4∶3 5 06

三、例题讲解

【例1】如图,一船以20n ile/h的速度向东航行,在A处测得灯塔在北偏东60°的方向上,继续航行1h到达B处,再测得灯塔在北偏东30°的方向上已知灯塔四周10n ile内有暗礁,问这船继续向东航行是否安全?

分析这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔到AB航线的距离是否大于10n ile

解过点作D⊥AB于点D,设D= n ile

在Rt△AD中,AD==

在Rt△BD中,BD==

由AB=AD-BD,得

AB=-=20,

即-=20,

解方程,得=10>10

答这船继续向东航行是安全的

【例2】如图,铁路路基的横断面是四边形ABD,AD∥B,路基顶宽B=98 ,路基高BE=58 ,斜坡AB的坡度i=1∶16,斜坡D的坡度i'=1∶25,求铁路路基下底宽AD的值(精确到01 )与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值

解过点作D⊥AD于点F,得

F=BE,EF=B,∠A=α,∠D=β

∵BE=58 ,=,=,

∴AE=16×58=928(),DF=25×58=145()

∴AD=AE+FE+DF=928+98+145≈336()

由tanα=i=,tanβ=i'=,得

α≈32°,β≈21°

答铁路路基下底宽为336 ,斜坡的坡角分别为32°和21°

【例3】已知在直线y=+b上有任意两点P1(1,y1)、P2(2,y2) ,这条直线向上方向与轴正方向所夹的锐角为α

求证tanα==

证明由α是锐角,可知直线y=+b是上升的,即函数y=+b的值随值的增大而增大

如图,设1<2,则y1<y2过点P1、P2作轴的垂线,垂足分别为Q1、Q2,再过点P1作轴的平行线P1R 交P2Q2于点R,得∠P2P1R=α

在Rt△P2P1R中,tanα===

∵P1、P2都在直线y=+b上,

∴y1=1+b, ①

y2=2+b ②

由②-①,得y2-y1=(2-1),

∴=

即tanα==

四、巩固练习

1为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值为( )

A B D

【答案】D

2如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高A为6米,背水坡AB的坡度i=1∶2,则斜坡AB的长为米

【答案】6

3某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 ,此时

他与出发地的垂直距离为2 ,则这个坡面的坡度为

【答案】1∶2

4如图,斜坡A的坡度为1∶,A=10米,坡顶有一旗杆B,旗杆的顶端点B与点A用一条彩带AB 相连,AB=14米,求旗杆B的高度

【答案】设旗杆高为,在Rt△AD中,D=A=5,AD=A=5,则在△ADB中,AD2+BD2=AB2,即

(5)2+(5+)2=142,解得=6,所以旗杆高6米

5如图,梯形ABD是拦水坝的横断面示意图(i=1是指坡面的铅直高度DE与水平长度E的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABD的面积(结果保留三个有效数字,参考数据≈1732)

【答案】520

师请同学们认真思考上面的问题,然后在草稿纸上完成解答过程

教师巡视,对有疑问的学生进行指导

五、课堂小结

师本节课,我们学习了什么内容?

学生回答

师你们还有什么不懂的地方吗?

学生提问,教师解答

教学反思

在教学过程中要多给学生提供练习的机会,让学生自己作辅助线在解直角三角形时让学生讨论,各抒己见在有多种方法时,让学生讨论哪一种方法简单这节课应用了坡比、坡度与解直角三角形的结合,而坡比、坡度的概念有些同学可能忘记了或记得不牢,难于灵活应用,所以在本节课开头我带领学生复习并练习了这些概念,使他们能熟练地在下面的练习中应用