二次函数知识点梳理及经典练习（超详细）

⼆次函数知识点梳理及经典练习（超详细）⼆次函数知识点梳理及经典练习
【知识点梳理】
⼀、基本概念：
1．⼆次函数的概念：⼀般地，形如2
y ax bx c
=++（a b c
a≠）的函数，叫做
，，是常数，0⼆次函数。

这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数0
a≠，⽽b c
，可以为零．⼆次函数的定义域是全体实数．
2. ⼆次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于⾃变量x的⼆次式，x的最⾼次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是⼆次项系数，b是⼀次项系数，c是常数项．
⼆、⼆次函数基本形式
1. ⼆次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩
y ax c
=+的性质：（上加下减）
3. ()2
y a x h =-的性质：（左加右减）
4.()2
y a x h k =-+的性质：
三、⼆次函数图象的平移 1. 平移步骤：
⽅法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移⽅法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
⽅法2：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，
c bx ax y ++=2
变成m c bx ax y +++=2
（或m c bx ax y -++=2
）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2
（或c m x b m x a y +-+-=)()(2
）
2. 平移规律： “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．即“左加右减，上加下减”．
四、⼆次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的⽐较
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配⽅可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
=++
，其中2424b ac b h k a a -=-=
，．五、⼆次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开⼝⽅向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
⼀般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，、()20x ，
（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下⼏点：开⼝⽅向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、⼆次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开⼝向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--
，．
当2b
x a
<-时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2b
x a
>-
时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2b
x a
=-时，y 有最⼩值244ac b a -．
2. 当0a <时，抛物线开⼝向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??--
，．
当2b
x a
<-时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；当2b
x a
>-
时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；当2b
x a
=-时，y 有最⼤值244ac b a -．
七、⼆次函数解析式的表⽰⽅法 1.⼆次函数解析式表⽰⽅法：
（1）⼀般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.⼆次函数解析式的确定：
根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法．⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．⼀般有如下⼏种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，⼀般选⽤⼀般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最⼤（⼩）值，⼀般选⽤顶点式；（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选⽤顶点式．
⼋、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系 1. ⼆次项系数a : 0a ≠．
⑴当0a >时，抛物线开⼝向上，a 的值越⼤，开⼝越⼩，反之a 的值越⼩，开⼝越⼤；⑵当0a <时，抛物线开⼝向下，a 的值越⼩，开⼝越⼩，反之a 的值越⼤，开⼝越⼤．总结：a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向，a 的正负决定开⼝⽅向，a 的⼤⼩决定开⼝⼤⼩． 2. ⼀次项系数b : 在⼆次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
▲ab 符号判定：对称轴a
b x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0
3. 常数项c
⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下⽅，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结：c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的．
九、⼆次函数图象的对称
⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称：
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称：
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称：
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称： ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
⼗、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程：
1.⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系（⼆次函数与x 轴交点情况）：
⼀元⼆次⽅程20ax bx c ++=是⼆次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：
（1）当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是⼀元⼆次⽅程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
21AB x x =-=.
（2）当0?=时，图像与x 轴只有⼀个交点；（3）当0?<时，图像与x 轴没有交点.
①当0a >时，图像落在x 轴的上⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y >；②当0a <时，图像落在x 轴的下⽅，⽆论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴⼀定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. ⼆次函数常⽤解题⽅法总结：
⑴求⼆次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；
⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图像的位置判断⼆次函数2y ax bx
c =++中a ，b ，c 的符号，或由⼆次函数中a ，
b ，
c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷⼆次函数的图像关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x 轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标.
⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式2(0)ax bx c a ++≠本⾝就是所含字母x 的⼆次函数；下⾯以0a >时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的内在联系：
【基础题型概览】
⼀、⼆次函数的基本概念 1、y=mx m2+3m+2
是⼆次函数，则m 的值为（）
A 、0，-3
B 、0，3
C 、0
D 、-3
2、关于⼆次函数y=ax 2
+b ，命题正确的是（） A 、若a>0,则y 随x 增⼤⽽增⼤ B 、x>0时y 随x 增⼤⽽增⼤。

C 、若x>0时，y 随x 增⼤⽽增⼤
D 、若a>0则y 有最⼤值。

3、若函数y=(m 2
+2m －7)x 2
+4x+5是关于x 的⼆次函数，则m 的取值范围为。

⼆、简单作图 1、抛物线y x x =
-+1235
2
2，五点法作图。

2、y=ax 2+bx+c ，a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出⼤致图象。

三、⼆次函数的三种表达形式，求解析式
1、抛物线过（0，2），（1，1），（3，5），求解析式。

2、当x=3时，y 最⼩值=-1，且图象过（0，7），求解析式。

线段，求解析式。

四、图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、⼆次函数
c
bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所⽰，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断
正确的是（）
A ．ab ＜0
B 、bc ＜0
C ．a+b ＋c ＞0
D ．a －b ⼗c ＜0
2、已知⼆次函数
2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所⽰，有下列四个结论：2
0040b c b ac <>->①②③
④0a b c -+<，其中正确的个数有（） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、⼆次函数2y ax bx c =++的图象如图所⽰，则⼀次函数
2
4y bx b ac =+-
与反⽐例函数
4、已知抛物线y=ax 2
+bx,当
a>0,b<0时,它的图象经过( )
A.⼀、⼆、三象限
B.⼀、⼆、四象限 C ．⼀、三、四象限 D.⼀、⼆、三、四象限
5、已知⼆次函数y ＝ax 2
＋bx ＋
c(a ≠0)的图象如图所⽰，给出以下结论：
①a ＞
0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13
x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
五、⼆次函数的性质：顶点、对称轴、最值
1、抛物线
1822
-+-=x x y 的顶点坐标为( ). （A ）（-2，7）（B ）（-2，-25）（C ）（2，7）（D ）（2，-9）
2、向上发射⼀枚炮弹，经x 秒后的⾼度为y 公尺，且时间与⾼度关系为y=ax^2+bx 。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的⾼度相等，则再下列哪⼀个时间的⾼度是最⾼的？( ) (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒。

x
x
x
x
x
O
图4
3、⼆次函数
2
(1)2
y x
=++的最⼩值是（）
4、已知⼆次函数
2
2
2)
(2
2b
a
x
b
a
x
y+
+
+
-
=，b
a,为常数，当y达到最⼩值时，x的
5、当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开⼝___________.
六、平移问题
1、在平⾯直⾓坐标系中，将⼆次函数
2
2x
y=的图象向上平移2个单位，所得图象的解析
式为
A．
2
22-
=x
y B．2
22+
=x
y C．2)2
(2-
=x
y D．2)2
(2+
=x
y
2、将抛物线
2
2
y x
=向下平移1个单位，得到的抛物线是（）
A．
2
2(1)
y x
=+B．2
2(1)
y x
21
y x
=+D．2
21
y x
=-
3、将函数
2
y x x
=+的图象向右平移a(0)
a>个单位，得到函数232
y x x
=-+的图象，
则a的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
4、把抛物线
2
y x
=-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）.
A．
2
(1)3
y x
=---B．2
(1)3
y x
=-+-C．2
(1)3
y x
=--+ D．
2
(1)3
y x
七、⼆次函数的增减性
1.已知函数y=4x2－mx+5，当x>－2时,y随x的增⼤⽽增⼤；当x<－2时，y随x的增⼤⽽
2.已知⼆次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增⼤⽽增⼤，则m的取值范围是
3.已知⼆次函数y=－1
2
x2+3x+
5
2
的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且
3
的⼤⼩关系为______________.
⼋、函数之间的交点
九、关于⼆次函数的对称
⼗、⼆次函数与x轴、y轴的交点（⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系）
⼀个即可）
3、抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点
B.只有⼀个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
4、如图所⽰，⼆次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，
则△ABC的⾯积为( )
A.6
B.4
C.3
5、已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平⽅等于为
49
25
，则m的值为( )
A.－2
B.12
C.24
D.48
6、若⼆次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上⽅，则m 的取值范围是_____________.
7、已知抛物线y＝x2-2x-8.
（1）求证：该抛物线与x轴⼀定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的⾯积。

⼗⼀、⼆次函数的应⽤
1、如图是⼀个横断⾯为抛物线形状的拱桥，当⽔⾯在l 时，拱顶（拱桥洞的最⾼点）离⽔⾯2m ，⽔⾯宽4m 。

建⽴平⾯直⾓坐标系，则抛物线的关系式是（） A ．2
2y x =- B ．2
2y x = C ．2
1
2
y x
=-
D ．212y x
=
2、有⼀座抛物线形拱桥，在正常⽔位时⽔⾯AB 的宽为20m ，如果⽔位上升3⽶时，⽔⾯CD 的宽为10m ．
（1）建⽴如图1－2－56所⽰直⾓坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）现有⼀辆载有救援物质的货车从甲地出发需经过此桥开往⼄地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）货车正以
40km ／h 的速度开往⼄地，当⾏驶1⼩时，忽然接到通知；前⽅连降暴⾬，造成⽔位以每⼩时0．25m 的速度持续上涨（货车接到通知时⽔位在CD 处，当⽔位到达最⾼点O 时，禁⽌车辆通⾏）试问：如果货车按原来速度⾏驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每⼩时多少千⽶？
3、已知如图 1－2－53，△ABC 的⾯积为2400 cm 2
，底边BC 长为80cm ，若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形BDEF 为平⾏四边形，设BD=xcm ，S
□BDEF =y cm 2
．求：（1）y 与x 的函数关系式；（2）⾃变量 x 的取值范围；
（3）当x 取何值时，y 有最⼤值？最⼤值是多少？
x
y
O
4、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。

（1）问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？（2）当定价为多少元时，可获得最⼤利润？
【中考题型例析】 1. ⼆次函数解析式的确定
例1.求满⾜下列条件的⼆次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最⼩值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.
2. ⼆次函数的图象
例2.y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象如图所⽰,则点M(a,bc)在( ? ). A.第⼀象限 B.第⼆象限 C.第三象限 D.第四象限
x
y
O
例3.已知⼀次函数y=ax+c ⼆次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0),它们在同⼀坐标系中的⼤致图象是( ).
3.⼆次函数的性质
例4.对于反⽐例函数y=-
2x
与⼆次函数y=-x 2
+3,?请说出他们的两个相同点:①___________,?②_________;?再说出它们的两个不同
点:??①________________,??②_______________.
4.⼆次函数的应⽤
例5.已知抛物线y=x 2
+(2k+1)x-k 2
+k,
(1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点.
(2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满⾜x 12
+x 22
=-2k 2
+2k+1. ①求抛物线的解析式.
②设点P(m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点,?且关于此抛物线的对称轴对称.求m+m 的值.
【过关斩将】
⼀、选择题:
1.抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).
A.直线x=-3
B.直线x=3
C.直线x=-2
D.直线x=2
2.⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,c
a
)在( ).
A.第⼀象限;
B.第⼆象限;
C.第三象限;
D.第四象限
3.已知⼆次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则⼀定有( ).
A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解
析式是y=x2-3x+5,则有( ).
A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21
5.在同⼀直⾓坐标系中,⼀次函数y=ax+c和⼆次函数y=ax2+c的图象⼤致为( ).
6.已知⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,?图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
⼆、填空题
1.若将⼆次函数y=x2-2x+3配⽅为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_________.
2.请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的⼀个共同性质___________.
3.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析
式为___________.
4.已知⼆次函数的图象开⼝向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出⼀个满⾜条件的⼆次
函数的解析式:_____________.
5.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_________.
6.有⼀个⼆次函数的图象,三位学⽣分别说出了它的⼀些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
⼄:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三⾓形⾯积为3.
请你写出满⾜上述全部特点的⼀个⼆次函数解析式:___________________.
1.已知函数y=x 2
+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
(3)当x>0时,求使y ≥2的x 取值范围.
2.已知抛物线y=- 12
x 2与x 轴有A 、B 两个交点,且A 、B 两点关于y 轴对称.
(1)求m 的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;
(3)根据⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系将此题的条件换⼀种说法写出来.
3.如图,⼆次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交于B 、C 两点,?与y 轴交于A 点. (1)根据图象确定a 、b 、c 的符号,并说明理由;
(2)如果点A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,?求这个⼆次函数的解析式.
1.某公司推出了⼀种⾼效环保型洗涤⽤品,年初上市后,?公司经历了从亏损到盈利的过程.下⾯的⼆次函数图象(部分)?刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(⽉)之间的关系(即前t个⽉的利润总和s与t之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(⽉)之间的函数关系式;
(2)求截⽌到⼏⽉末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个⽉公司所获利润是多少万元?
2.如图,有⼀座抛物线形拱桥,在正常⽔位时⽔⾯AB?的宽为20m,如果⽔位上升3m时,⽔⾯CD的宽是10m.
(1)建⽴如图所⽰的直⾓坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有⼀辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往⼄地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每⼩时40km 的速度开往⼄地,当⾏驶1⼩时时,?忽然接到紧急通知:前⽅连降暴⾬,造成⽔位以每⼩时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时⽔位在CD 处,当⽔位达到桥拱最⾼点O时,禁⽌车辆通⾏),试问:如果货车按原来速度⾏驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,?要使货车安全通过此桥,速度应超过每⼩时多少千⽶?。