常熟市2022-2023学年高二下学期期中数学试题含解析

常熟市2022~2023学年第二学期期中试卷

高二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数2

1()23ln 2

f x x x x =

--的单调递减区间为（ ） A ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B ．(1,3)-

C ．(0,3)

D ．(3,)+∞

2．已知函数2

()ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，则a b +=（ ） A ．-2

B ．-1

C ．0

D ．1

3．苏州有很多闻名的旅游景点.现有两位游客幕名来到苏州，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A 为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B 为“两人选择的景点不同”，则条件概率

()P B A =（ ）

A ．

7

16

B ．

78

C ．

37

D ．

67

4．若函数2

()ln 2f x x ax x =+-在区间(1,2)内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,8

⎛⎤-∞ ⎥⎝

⎦

B ．31,

82⎛⎫

⎪⎝⎭

C ．1,2⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

D ．1

,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

5． 用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中为偶数的共有（ ） A ．24个

B ．30个

C ．36个

D ．42个

6．函数2

()|ln |8

x f x x =- 的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）

A ．1512种

B ．1346种

C ．912种

D ．756种

8．若对任意的12,(,)x x m ∈+∞，且12x x <，有

1221

12

ln ln 1x x x x x x ->-，则m 的取值范围是（ ）

A ．)

2

e ,⎡+∞⎣

B ．[e,)+∞

C ．1

,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

D ．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分． 9．下列命题正确的有（ ） A ．若C C m

k

n n =，则m k = B ．若10A 1094m

=⨯⨯⨯，则7m =

C ．1

1A A A m

m m n n

n m -++=

D ．1

1C C m m

n n m n --=

10．已知2021

23202101232021(12)

x a a x a x a x a x -=++++

+，则（ ）

A ．展开式中所有项的二项式系数和为2021

2

B ．20210242020312a a a a -+++

+=

C ．2021135202131

2

a a a a -+++

+=

D ．

123

2021

232021

1222

2a a a a ++++

=- 11．已知函数2

()sin x f x x x π

=-

-，则下列说法中正确的是（ ）

A ．()f x 的零点个数为4

B ．()f x 的极值点个数为3

C ．x 轴为曲线()y f x =的切线

D ．若()()12f x f x =，则12x x π+=

12．已知函数2

()ln f x x x

=

+，则以下结论正确的是（ ）

f x的单调减区间是(0,2) A．函数()

B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点

C ． 存在正实数k ，使得()f x kx >成立

D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．已知函数()2ln f x x x =+，若过点(0,1)-的直线与曲线()y f x =相切，则该直线斜率为______．

14．二项式9

2x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭展开式的常数项为______．

15．已知函数2

()e ()x

f x k x k =-∈R ，若函数()f x 至少有两个零点，则k 的取值范围是______． 16．已知()f x '是函数()f x 的导函数，在定义域(0,)+∞内满足()()e 0x

xf x xf x '--=，且(1)2e f =，若

1e 11e 2f a ⎛

⎫-≤ ⎪⎝⎭

，则实数a 的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知函数()ln 1f x x x x α=-+在2

e x =处取得极值． （1）求()

f x 的单调区间；

（2）若2

()2f x c c <-在31,e x ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数c 的取值范围．

18．（本小题满分12分）

7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名． （1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？

（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？

（3）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？ 19．（本小题满分12分）

下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD ，上部是圆弧AB ，该圆弧所在的圆心为O ，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH （其中E ，F 在圆弧AB 上，G ，H 在弦AB 上）．过O 作OP AB ⊥，交AB 于M ，交EF 于N ，交圆弧AB 于P ，已知10OP =， 6.5MP =（单位：m ），记通风窗EFGH 的面积为S （单位：2

m ）．

（1）设(m)MN x =，将S 表示成x 的函数；

（2）通风窗的高度MN 为多少时，通风窗EFGH 的面积S 最大？