【人教版数学七年级下册】《8.4 三元一次方程组的解法》PPT课件
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类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程 的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20.③
能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？
探究新知
考点 1 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
探究新知 知识点 1 三元一次方程组的概念
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、 2元、5元的纸币各多少张？
问题： 1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
探究新知 （三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数
x1
A.
x
y
2
x z 10
x y 10
C.
x
z
2
y z 15
x3y 2z 1
B. 2x y 4z 0
3x 2y z 3
x yz 1
D. x 3y 4z 7
xyz 12
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要
求每一个一次方程都含有三个未知数．
探究新知 知识点 2 三元一次方程组的解法
探究新知
对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因 此，我们把三个方程合在一起写成
x y z 12,
x
2
y
5z
22,
x 4 y.
这个方程组中含有 三 个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数是 1 .
探究新知 由此，我们得出三元一次方程组的定义
含有三个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都 是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次 方程组．
分析：方程①中 只含x, z, 因此,可 以由②③消去y, 得到一个只含x, z
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④ 的方程, 与方程① 3x 4z 7, 组成一个二元一
①与④组成方程组 11x 10z 35. 次方程组.
解这个方程组，得
x z
5, -2.
探究新知
例1 解三元一次方程组
探究新知
考 点 1 三元一次方程组的判断
下列是三元一次方程组的是( D )
2x 5
A.
x
2
y
7
x y z 6
x y z 7
C.
xyz
1
x 3y 4
4
x
-
y
z
2
B. x - 2y 3z 9
y
-3
x y 2
D.
y
z
1
源自文库
x z 9
巩固练习
下列方程组不是三元一次方程组的是( D)
据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种 食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、
钙和维生素的量（单位）
食物 铁
钙 维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
探究新知
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出 方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿
y=8,z=6. 把y=8代入④，得x=9.
x=9, 所以原方程组的解是 y=8,
z=6.
探究新知
考点 2 三元一次方程组求字母的值 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当
x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
你还有其它解 法吗？试一试， 并与这种解法 进行比较.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得
y 1. 3
x 5，
因此，三元一次方程组的解为
y
1， 3
z -2．
探究新知
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加减”进行 消元 ，把 “三元” 转化为 “二元” ， 使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再 转化为解 一元一次方程 .
巩固练习
x 1
已知
y
2
z 3
是方程组
ax by 2 by cz 3 cx az 7
的解,则a+b+c的值是___3_________.
探究新知
考点 3 利用三元一次方程组解答实际问题 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35 单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根
营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位 的维生素，得方程组
人教版 数学 七年级 下册
8.4 三元一次方程组的解法
导入新知
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法 消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入 二元一次方程组 消元
加减 化二元为一元
一元一次方程 化归转化思想
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
学习目标
3. 会解较复杂的三元一次方程组. 2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程 中进一步体会“消元”思想. 1. 了解三元一次方程组的概念.
②－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1， 4a＋b=10.
探究新知
a＋b=1，
4a＋b=10.
解这个方程组，得
a=3， b=-2.
把
a=3，代入①，得 b=-2
c=-5.
a=3，
因此 b=-2，
c=-5.
即a,b,c的值分别为3，-2，-5.
面值
张数
钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合计
12
22
注
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍， 即x=4y
探究新知
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们 自然会想到设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、 z 张，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
三元一次 消元 二元一次 消元 一元一次
方程组
方程组
方程
巩固练习
解方程组
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20. ③
类似二元一次方程组 的“消元”,把“三 元”化成“二元”.
解：由方程②得 x=y+1. ④ 把④分别代入①③得 2y+z=22, ⑤ 3y-z=18. ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
怎样解三元一次方程组呢？
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20.③
能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？
探究新知
考点 1 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
探究新知 知识点 1 三元一次方程组的概念
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、 2元、5元的纸币各多少张？
问题： 1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
探究新知 （三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数
x1
A.
x
y
2
x z 10
x y 10
C.
x
z
2
y z 15
x3y 2z 1
B. 2x y 4z 0
3x 2y z 3
x yz 1
D. x 3y 4z 7
xyz 12
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要
求每一个一次方程都含有三个未知数．
探究新知 知识点 2 三元一次方程组的解法
探究新知
对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因 此，我们把三个方程合在一起写成
x y z 12,
x
2
y
5z
22,
x 4 y.
这个方程组中含有 三 个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数是 1 .
探究新知 由此，我们得出三元一次方程组的定义
含有三个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都 是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次 方程组．
分析：方程①中 只含x, z, 因此,可 以由②③消去y, 得到一个只含x, z
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④ 的方程, 与方程① 3x 4z 7, 组成一个二元一
①与④组成方程组 11x 10z 35. 次方程组.
解这个方程组，得
x z
5, -2.
探究新知
例1 解三元一次方程组
探究新知
考 点 1 三元一次方程组的判断
下列是三元一次方程组的是( D )
2x 5
A.
x
2
y
7
x y z 6
x y z 7
C.
xyz
1
x 3y 4
4
x
-
y
z
2
B. x - 2y 3z 9
y
-3
x y 2
D.
y
z
1
源自文库
x z 9
巩固练习
下列方程组不是三元一次方程组的是( D)
据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种 食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、
钙和维生素的量（单位）
食物 铁
钙 维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
探究新知
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出 方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿
y=8,z=6. 把y=8代入④，得x=9.
x=9, 所以原方程组的解是 y=8,
z=6.
探究新知
考点 2 三元一次方程组求字母的值 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当
x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
你还有其它解 法吗？试一试， 并与这种解法 进行比较.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得
y 1. 3
x 5，
因此，三元一次方程组的解为
y
1， 3
z -2．
探究新知
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加减”进行 消元 ，把 “三元” 转化为 “二元” ， 使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再 转化为解 一元一次方程 .
巩固练习
x 1
已知
y
2
z 3
是方程组
ax by 2 by cz 3 cx az 7
的解,则a+b+c的值是___3_________.
探究新知
考点 3 利用三元一次方程组解答实际问题 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35 单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根
营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位 的维生素，得方程组
人教版 数学 七年级 下册
8.4 三元一次方程组的解法
导入新知
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法 消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入 二元一次方程组 消元
加减 化二元为一元
一元一次方程 化归转化思想
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
学习目标
3. 会解较复杂的三元一次方程组. 2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程 中进一步体会“消元”思想. 1. 了解三元一次方程组的概念.
②－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1， 4a＋b=10.
探究新知
a＋b=1，
4a＋b=10.
解这个方程组，得
a=3， b=-2.
把
a=3，代入①，得 b=-2
c=-5.
a=3，
因此 b=-2，
c=-5.
即a,b,c的值分别为3，-2，-5.
面值
张数
钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合计
12
22
注
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍， 即x=4y
探究新知
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们 自然会想到设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、 z 张，根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
三元一次 消元 二元一次 消元 一元一次
方程组
方程组
方程
巩固练习
解方程组
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20. ③
类似二元一次方程组 的“消元”,把“三 元”化成“二元”.
解：由方程②得 x=y+1. ④ 把④分别代入①③得 2y+z=22, ⑤ 3y-z=18. ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得