推荐学习高中数学2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课后训练新人教B版必修

向量数量积的坐标运算与度量公式

1．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为( )

A．(3，－2) B．(3,2)

C．(－3，－2) D．(－3,2)

2．已知m＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则n的坐标为( )

A．(b，－a)

B．(－a，b)

C．(－a，b)或(a，－b)

D．(b，－a)或(－b，a)

3．已知a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m 的取值范围为( )

A．m＞2或m＜

4 3 -

B．

4

3

-＜m＜2

C．m≠2

D．m≠2且m≠

4 3 -

4．设向量a＝(1,0)，b＝

11

,

22

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，则下列结论中正确的是( )

A．|a|＝|b| B．a·b

C．a－b与b垂直 D．a∥b

5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．

6．已知O为坐标原点，OA＝(3,1)，OB＝(－1,2)，OC⊥OB，BC∥OA，则满足OD＋OA＝OC的向量OD的坐标为__________．

7．(2012·天津期末)定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊗b＝mq－np，给出下面五个判断，其中正确的有__________．(填正确的序号)

①若a与b共线，则a⊗b＝0；②若a与b垂直，则a⊗b＝0；③a⊗b＝b⊗a；④对任意的λ∈R，有(λa)⊗b＝λ(a⊗b)；⑤(a⊗b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2.

8．(2012·山东济宁期末)已知a＝(1,2)，b＝(－3,1)．

(1)求a－2b；

(2)设a，b的夹角为θ，求cos θ的值；

(3)若向量a＋k b与a－k b互相垂直，求k的值．

9．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|k a＋b||a－k b|(k＞0)．

(1)用k表示数量积a·b；

(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ.

参考答案1．解析：设c＝(x，y)，

∵c⊥a，

∴2x－3y＝0.①

又b·c＝1，

∴x－2y＝1.②

综合①②知x＝－3，y＝－2.

∴c的坐标为(－3，－2)．

答案：C

2．解析：设向量n的坐标为(x，y)．

由|m|＝|n|，得a2＋b2＝x2＋y2.①

由m⊥n，得ax＋by＝0.②

解①②组成的方程组，得

,

x b

y a

=

⎧

⎨

=-

⎩

或

,

.

x b

y a

=-

⎧

⎨

=

⎩

所以n的坐标为(b，－a)或(－b，a)．

答案：D

3．解析：a与b的夹角大于90°⇔a·b＜0，

而a·b＝(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝3m2－2m－8.

解不等式3m2－2m－8＜0，得

4

3

-＜m＜2.

答案：B

4．答案：C

5．解析：向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．因为λa＋b与a－2b垂直，

所以3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝

1

7 -.

答案：17

- 6．解析：设OD ＝(x ，y )，则OC ＝OD ＋OA ＝(x ＋3，y ＋1)，

∴BC ＝OC －OB ＝(x ＋4，y －1)．

∵OC ⊥OB ，

∴－(x ＋3)＋2(y ＋1)＝0，即x －2y ＋1＝0.①

又∵BC ∥OA ，

∴3(y －1)－(x ＋4)＝0，即x －3y ＋7＝0.②

由①②，解得x ＝11，y ＝6.

∴OD ＝(11,6)．

答案：(11,6)

7．答案：①④⑤

8．解：(1)a －2b ＝(1,2)－2(－3,1)＝(1＋6,2－2)＝(7,0)．

(2)cos θ＝

||||⋅a b a b 10=-. (3)因为向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直，所以(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.因

为a 2＝5，b 2＝10，所以5－10k 2＝0⇒k ＝

9．解：(1)由|k a ＋b |a －k b |，

得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2

，

∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2，

即(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.

∵|a |＝1，|b |＝1，

∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2222184k k k k

++=. (2)由(1)，得a ·b ＝211144k k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，由函数的单调性的定义，易知f (k )＝

114k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当k ＝1时，a ·b 的最小值为f (1)＝14×(1＋1)＝12

. 此时a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝||||⋅a b a b ＝1

1212

=， 又∵θ∈[0，π]，

∴θ＝60°.