五年级第24讲三角形面积

DC BD S S S S S S AEC ABE EDC EBD ADC ABD
===∆∆∆∆∆
∆DE
AE
S S S S S S DBC ABC DEC AEC DEB AEB ===∆∆∆∆∆∆第 24讲 三角形面积
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．
为便于实际问题的研究，我们会常常用到以下结论： 1．等底等高的三角形面积相等
2．底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如右图
3．如果两个三角形的高相等，那么它们的面积比等于它们的底之比，如下图
例1（“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题）如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，
4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
乙甲
E D
C
B
A
A
B
C
D
E
甲
乙
D C
B
A
【解析】显然乙部分图形是不规则的四边形，我们无法直接计算出它的面积，通常我们通过连接对角线把它划分成两个三角形来进行计算，然后在通过面积比等于底边之比来进行运算。

解：连接AD ． 因为3BE =，6AE = 所以3AB BE =，S △ABD ＝3S △BDE
又因为4BD DC ==，
所以S △ABC ＝2S △ABD =6S △BDE ，所以5S S =乙甲 变式训练
1．如图，三角形ABC 的面积是1，BE=2AB ，BC=CD ，求三角形BED 的面积。

2. 如右图，已知在△ABC 中，BD=3AD ，CE=2AE ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．
E
D
C
B
A
例2（2005少年智力冬令营试题）如图，三角形ABC 的面积为2平方厘米，AE ＝ED ，BD=2CD ，求阴影部分的面积。

【解析】 阴影部分为两个三角形，但三角形AEF
的面积无法直接计算。

由于AE=ED,
连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

解：连接DF ，因为BD=2CD ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

C D C
D
又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5S △DCF 。

由于S △ABC ＝2平方厘米，所以S △DCF ＝2÷5＝0.4（平方厘米），则阴影部分的面积为0.4×2＝0.8（平方厘米）。

变式训练
3．如图所示AE=ED ，DC ＝1
3
BD ，S △ABC ＝21平方厘米。

求阴影部分的面积。

4．如图所示，DE ＝1
2 AE ，BD ＝2DC ，阴影部分的面积S △EBD ＝5平方厘米。

求三角形ABC
例3（2004年祖冲之杯小学数学邀请赛试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于_______.
F
E
D C
B
A
3332
1F E
D
C B
A A
B
C
D
E
F
【解析】 显然四边形DFEC 是一个不规则的四边形，因此还是要把它划分成两个三角形来
进行计算，就本题而言，我们可以连接CF ，也可以连接DE.
解：
方法一：连接CF ，则有12ABF ACF S BD S DC ==△△，
1ABF CBF S AE
S EC
==△△, 设1BDF
S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，
如图所标
C
D
C
D
A
所以551212
DCEF ABC S S =
=△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到11
33
ABD ABC
S S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以1
1ABD ADE
S BF FE S ==△△， 1111111
22323212
DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，
而211
323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512
． 变式训练
5．在下图中，三角形ABC 被分成四块，其中三块的面积分别是4、6、12平方厘米，四边形AEOF 的面积是多少？
6．如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面
积各占ABC △ 面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
1.如图所示，AE=ED ，DC ＝1
3
BD ，S △ABC ＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

2.（1996我爱数学少年夏令营试题）如图所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ，
若三角形ABC 的面积是1，则阴影部分的面积是_______ 。

3．（1999我爱数学少年夏令营试题）如图所示，AE ：EC=1：2，CD
：DE=1：4，BF ：
FA=1：3，△ABC 的面积S=1，那么四边形AFHG 的面积为_________。

4．（2000我爱数学少年夏令营试题）如图所示，四边形F M C G 和F D H G 都是梯形。

D 为B C 的中点，B A =3B E ，M A =4M F ，△A B C 的面
积为1。

那么梯形F D H G
的面积是______ 。

B
C
D
5．（2003年小学数学奥林匹克预赛试卷）如图所示，在三角形ABC中，BD=2DC，AE=2ED。

FC=7，那么AF=______。

6．（2005年我爱数学夏令营数学竞赛）．如图，在三角形ABC中，已知AF∶FC＝1∶2，BE∶EC＝2∶3。

若三角形ABC的面积为9平方厘米，则三角形GBE的面积为________平方厘米。

7．（2007年我爱数学夏令营数学竞赛）如图，AC:CD=5:1，，那么AE:EB=________。

8．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）如图，在三角形ABC中，CD的长是BD长的2倍，E是AC的中点，则三角形ABC的面积是三角形ADE面积的倍。

B
9．（2010年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）如图，已知CD=5cm，DE=4cm，EF=9cm，FG=3cm。

直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是42cm2，右边的面积是62cm2，那么三角形ADG面积是cm2
10．（2004年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛）如图在ABC
△中，
1
3 DC EA FB
DB EC FA
===,
求
GHI
ABC
△的面积
△的面积
的值
.
I H
G
F
E
D C B
A。