第9章 强度理论及组合变形

第9章 强度理论及组合变形

概述

如图9-1所示的各种处于复杂应力状态的点，当单元体微分面上的正应力满足正应力强度条件][σσ≤i

，同时切应力满足切应力强度条件][ττ≤ij 时，依然不能判别其在强度上是否

安全。那么它们在什么情况下安全？又在什么情况下危险？本章的强度理论部分就要回答这个问题。

材料力学主要研究杆件以及杆件结构系统在外力作用下的强度，刚度和稳定性问题，而材

料力学最复杂的问题是杆件的组合变形问题，最一般的组合变形杆件危险点的应力状态通常是复杂应力状态，如图9-2所示。因此，本章强度理论的诸多结论主要用于组合变形杆件的强度计算和设计，所以，本章组合变形部分主要研究杆件各种组合变形情况下的强度计算。

9.1 强度理论概念

根据材料力学的强度观点，构件在强度方面的安全性实质上可考察构件中的危险点是否安全，若危险点安全，则整个构件也安全；若危险点不安全，则整个构件就不安全。假设构件中A 点是最危险的点，问题：当A 点处于任意应力状态时，亦即A 点的应力状态可以是简单应力状态，也可以是复杂应力状态，那么该点在什么情况下强度是安全的？又在什么情况下强度是不安全的？如何判断？

如果A 点的应力状态是简单应力状态，如图9-3所示。那么可以根据强度条件：

][σσ≤ ][ττ≤ （9-1）

判别A 点的安全性。如果危险点是单向应力状态，则σ是A 点处的最大正应力(图9-3(a))；如果危险点是纯剪应力状态，则τ是A 点处的最大切应力(图9-3(b))。从而也就知道杆件在强度上是否安全。

][σ是材料的许用正应力；][τ是材料的许用切应力。大量事实说明，工程材料的破坏形式

图9-1 复杂应力状态

y

σx

σz σxy τxz

τyx

τyz τzx

τzy τx

σ

y σxy τσ

τ

(a)

(b

(c)

A

B

F

M

m

图9-2 组合变形危险点的应力状态

σ

τ

主要有两种，一是脆性断裂，二是塑性屈服，脆性断裂的极限应力为强度极限)(b b τσ，而塑性屈服的极限应力为屈服应力)(s s τσ，考虑到诸多偶然因素的影响（如材料缺陷，加工误差，实际工作环境，载荷非理想化等等），所以通常将极限应力除以一个适当的安全系数1>n ，这样就得到材料的许用正应力][σ和许用切应力][τ。

以上判别处于简单应力状态点A 的强度的方法可以这样来理解：由于A 点单元体微分面上只有唯一的应力σ（单向应力状态）或τ（纯剪应力状态）（图9-3），显然A 点的强度是由这唯一的应力σ或τ控制，所以σ或τ可认为是A 点的强度控制参数。于是可得如下结论：处于简单应力状态的点的强度控制参数只有唯一的一个，即σ或τ；当该点的强度控制参数达到其许可值][σ或][τ时，该点的强度也达到临界状态。因此可以用式（9-1）来判别处于简单应力状态的点的强度是否安全。另外，由于简单应力状态在实验室里很容易通过材料试件的简单拉伸以及扭转得到，因此，各种材料的许用应力][σ或][τ可通过材料实验以及选择合理的安全系数n 而得到。从而也很容易就可建立处于简单应力状态的点的强度条件式（9-1），这样也就可以判别危险点是简单应力状态的杆件在强度上是否安全了。材料力学中处于拉伸压缩，扭转以及横力弯曲的杆件，其危险点的应力状态都是简单应力状态，所以它们的强度均可由式（9-1）来确定。

如果A 点的应力状态是复杂应力状态，如图9-2所示。这时很明显，A 点的强度控制参数不再是唯一的了，那么又如何判别该点的强度呢？考察最一般的应力状态，如图9-4（a ）所示，容易想到，一点的强度是由该点的应力状态所决定。而该点的应力状态根据上章应力状态分析的内容可知，是由该点的任意一个应力状态矩阵决定的，一点的应力状态矩阵有无穷多个，而最简单的是该点主单元体所对应的应力状态矩阵，如图9-4（b ）所示，即：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=32

1

00

00

00

T σσσ （9-2） 其中，321,,σσσ是所考察点的主应力。另外，主应力是过一点所有截面上的正应力的极值应力，而大量事实说明，材料的破坏总是和某种极值应力有关，所以，根据上述分析可以认为：一点的强度是由该点的三个主应力321,,σσσ决定的，也就是说，对于一般的应力状态来说，一点的强度控制参数有三个，即该点的三个主应力321,,σσσ。

图9-3 简单应力状态的强度控制参

(a)

(b)

A

]

[σσ≤σ

σ

]

[ττ≤τ

A

需要注意的是，简单应力状态是一般应力状态的特殊情况，也应该满足上述结论，而简单应力状态的强度判别式已经说明具有式（9-1）的形式，因此，仿照简单应力状态的强度条件，一般应力状态的强度判别式可写为：

][),,(321σσσσσ≤=f eq （9-3）

其中，函数

),,(321σσσf 是强度控制参数321,,σσσ的某种组合，

][σ是材料的许用应力，可通过材料的简单拉伸试验获得，eq σ称为等效应力或相当应力。

式（9-3）是一个人为构造的判别式，人们希望通过这个判别式可以确定处于任意应力状态的点在强度上是否安全。但问题是函数

),,(321σσσf 应该是什么形式？也就是说强度控制

参数321,,σσσ具有什么样的组合就可由式（9-3）判别处于任意应力状态的点在强度上的安全性？因此，通过一系列的理论和实验寻找函数

),,(321σσσf ，也即寻找强度控制参数

321,,σσσ的某种合理的组合，从而建立起的满足实际情况的判别式（9-3），就称为强度理

论或强度准则。

建立合理的满足实际情况的一般应力状态的强度准则，即式（9-3），实际上面临的是一个困境。首先，没有任何一个已知的理论可以通过逻辑推理演绎得到函数),,(321σσσf ；其次，

通过材料实验寻找函数

),,(321σσσf 实际上也是不可能的，这是因为由三个参数

321,,σσσ控制的实验不仅要做很多组，而且实验设备和条件也不可能对三个参数321,,σσσ任意连续变化时的实验进行精确控制。因此，在理论逻辑推理以及实验两方面试

图建立强度准则（9-3）实际上是不可能的，那么，如何走出这个困境呢？

科学研究特别是面对未知领域的研究通常采用一种行之有效的方法，那就是：假说——建立理论——实践检验，这是任何一个科学理论的必经之路。而材料力学的强度理论的建立就是通过这一过程克服上述理论和实验上的困难的，具体步骤是：

1 假说材料的破坏机理：对于某类材料，无论该材料的点处于什么应力状态，假设其破

y

σx

σz σxy τxz

τyx τyz τzx

τzy τ1

σ2

σ3

σ图9-4 一般应力状态的强度控制参数

(a)

(b)