柯西不等式练习题.docx
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（完整版）柯西不等式练习题.docx柯西不等式练习题1.(09 绍兴二模 )设x, y, z R, x2y2z2 1 。
（1）求x y z的最大值；（ 2）求x y 的取值范围。
2.（09 宁波十校联考）已知x, y, z (0,) ，且 x y z 11925，求y的最小值。
x z3.（09 温州二模）已知x, y, z R ，且z y z 1。
（1）若2x23y26z21，求x, y, z的值；（2）若2x23y 2tz 2 1 恒成立，求正数t 的取值范围。
4、（ 09 嘉兴二模）设x, y, z R ，且 x2y 3z 1。
（1）求证：| x y z || y z || z |1；（2）求u (x1)2( y2)2( z3)2的最小值。
5.（09 诸暨模考）已知x, y, z 都是正数，且x 2 y3z 6 ；（1）求证：x2y2z218；（2）问123有最大值还是最小值？并求这个最值。
7x y z6.（093x 5 。
宁波一模）已知2求证：4x 42x 315 3x78 。
7（09 舟山一模）已知a, b, c, d 满足 a b c d 3,a22b23c26d 2x 。
（1）求证：当a 0时，x 9。
（2）当x 5时，求实数a的最值。
8.（09 稽阳联考）（ 1）已知正数x, y, z 满足x y z 1，求x2y2z2的最小值。
1 z 1 x 1 yx y z，求 t 的最大值。
9．已知t2y2x24z210.(09 金丽衢十二校第一次联考)已知 3x 4y 4z 1，求 x2y2z2的最小值。
11（ 09 浙江五校联考）（1）求函数f (x)38(x R)的最小值。
2sin 2 x 13cos2 x 212、（ 09湖州一模）已知 a, b,c R ，且a b c 1 。
（1）求1 1 + 1的最小值；（ 2）求证 :a2b2c21.a b c1a 1 b 1 c413、（ 09 杭州一模）已知x, y, z是正数，且满足条件x y z3 xyz（1）求x y z的最小值；（ 2）若xyz 3，且x22y 2z2 1 ，求 x 的取值范围。
柯西不等式习题教师版_含答案
新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b的最大值为 。
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a．b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ 答案：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)
可用柯西不等式的基本不等式训练题（含详解）柯西不等式()（a+b ）c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正 当且仅当cd ab=取=号 1．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则的最小值是（ ） A ．B ．4C ．D ．5 2．若直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其中mn 、均为正数，则12m n +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 4．已知正数,x y 满足811x y +=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．105．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．106．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m > C ．0m < D ．4m ≤ 7．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是( )A ．B ．263C ．4D ．153 8．若直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，则2+a b 的最小值等于（ ）A．9B ．8C ．3+D ．4+ 9．若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 10．若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 11．已知x ，y 是正数，且141x y+=，则x y +的最小值是______． 12．已知()222log log log x y x y +=+，则 11x y+=______2x y +的最小值为 ______．参考答案1．C【解析】试题分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．解：∵a+b=2，∴=1 ∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a 时等号成立） 故选C点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．2．A【解析】【分析】由直线过点()1,2，可得121a b+=，利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,2， 所以121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b+=++=++≥+=， 当且仅当4b a a b =，即2,4a b ==时等号成立. 故选：A【点睛】本题主要考查了均值不等式的灵活运用，考查了运算推理能力，属于中档题.3．D【解析】试题分析：210kx y k -+-=变形为()21k x y +=+，所以过定点()2,1--，代入直线得21m n +=()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n=时等号成立，取得最小值8考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值4．A【解析】【分析】()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后运用基本不等式求出最小值 【详解】 811x y+=()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当16y x x y=，即12x =，3y =时，2x y +取得最小值18 故选A【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题 5．A【解析】【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解.【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A.【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．A【解析】【分析】利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值，即可得解. 【详解】解：0x 、0y >()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时， 等号成立，∴8m ≤，故选：A .【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.7．D【解析】【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．【详解】 解：圆222610x y x y ++-+=，22(1)(3)9x y ∴++-=圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称， ∴该直线经过圆心(1,3)-，把圆心(1,3)-代入直线30(0,0)ax by a b -+=>>，得：330a b --+=33a b ∴+=，0a >，0b >∴1311313311(3)101053333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当33b a a b=时取得最小值为153 故选：D ．【点睛】本题考查代数和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用． 8．A 【解析】【分析】把(1,2)代入直线方程得,a b 满足的等量关系，用“1”的代换把2za b +凑配出基本不等式中的定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵直线1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，∴121a b+=，∴12222(2)()559a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当22a b b a =，即3a b ==时等号成立，∴2+a b 的最小值为9．故选：A ．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，常常需要凑配出定值，“1”的代换是常用凑配方法．9．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 10．8【解析】【分析】由直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=， 因为00a b ＞，＞所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4a b b a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题11．9【解析】【分析】利用 “1”的代换，将x y +化为45x y y x++，进而利用基本不等式求最小值即可； 【详解】∵x ，y 是正数，且141x y+=∴()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =即2y x =（此时3x =，6y =）时取等号；故x y +的最小值为9.故答案为：9【点睛】本题考查了利用基本不等式中“1”的代换求最值，注意不等式中等号成立的条件，属于简单题；12．1，3+【解析】试题分析：由()222log log log x y x y +=+得且，所以，2x y +=(2x y +),当且仅当时取得等号考点：基本不等式。
柯西不等式习题
柯西不等式教学题库大全一、 二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2(a +b)(c + d )^(ac+bd) (a,b,c,d^R,当且仅当ad = be 时,等号成立 .)二、 二维形式的柯西不等式的变式(I) Ua?+/ c 2 +d 2 兰 ac +bd (a , b, c,∈ R ,当且仅当 ad = be 时,等号成立 .)(2)y ∣a 2 +b 2 +d ?兰 ac + bd (a , b , c, ∈ R ,当且仅当 ad = bc 时，等号成立.)(3)(a ■ b)(c ■ d) _ (ac ∙ ∙. bd )2(a , b , c , d _ 0 ,当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)二、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法 (1)巧拆常数：例3、若a > b > c 求证: (4)添项:ab C 3 例 4: a, b,c 二 R 求证：b+cc+aa+b2【1】、设a~=(—2,1,2), b =6 ,贝U a ∙b 之最小值为 __________ ；此时b = ___________ 。
答案：一18； (4,—2 —)解析：a∙b兰 a ∣b /. a b ≤18 二 一18 兰 a b 兰 18a b 之最小值为-18，此时b = -2a = (4,—2,—4)【2】 设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2 y 2 Z = 16，则 a b 的最大值为 ［解］a= (1，0，- 2)，b = (x ，y ，Z) / a ∙b= X - 2z由柯西不等式［12 ■ 0 ■ (- 2)2］(x 2 ■ y 2 ■ z 2) - (X 0 - 2z)2=■ 5 16 - (X - 2z)2 =- 4.5_ X 一 4、5=■ - 4 I 5 _ a . b 一 4 5 ， 故a . b 的最大值为4衣-K. —K.［3］空间二向量a = (1,2, 3)，b =(x, y, z)，已知b = 56 ,则(1) a b 的最大值为多少？ (2)此时b = ?Ans : (1) 28: (2) (2,4,6)或存在实数 k ,使〉=k :时,等号成立.)例1：设a 、b 、C 为正数且各不相等。
柯西不等式习题
高二理科数学选修4-5柯西不等题库大全1.求函数的最大值。
2. 求函数的最大值。
3. 求函数的最大值。
变1：已知，求的最大值。
变2：已知，求的最大值。
变3：已知，求的最小值。
变4：已知，求的最小值。
（1）巧拆常数：例1：设、、为正数且各不相等。
求证：（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：（3）改变结构：例3、若>>求证：（4）添项：例4：求证：【1】、设，则之最小值为________；此时________。
【2】设(1，0， 2)，(x，y，z)，若x2 y2 z2 16，则的最大值为。
【3】空间二向量，，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时【4】设a、b、c为正数，求的最小值。
【5】. 设x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则x 2y 3z之最大值为【6】设x，y，z R，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z之最小值为时，(x，y，z)【7】设，，试求的最大值M与最小值m。
【8】、设，试求的最大值与最小值。
【9】、设，试求之最小值。
【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。
【11】设x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1)2 (y 2)2 (z 3)2之最小值为【12】设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。
【13】设a，b，c均为正数且a b c 9，则之最小值为【14】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。
【16】. 空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，，（，，均非象限角），求的最小值。
【18】、设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，【20】. 设x，y，z R且，求x y z之最大值，最小值。
【21】. 求2sincos sin cos cos 的最大值与最小值。
【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.。
柯西不等式习题
五、课后作业1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5] 解析：∵a 2＋b 2＝10，∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2，即20≥(a ＋b )2，∴－25≤a ＋b ≤2 5.答案：A2．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则)11)(11(yx ++的最小值为( ) A ．4 B ．2C ．1D ．14 解析：)11)(11(y x ++≥2)11(xy+＝4，故选A. 答案：A 3．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( ) A. 2B ．1C ．3D ．9解析：∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤4x 2＋5y 2·12＋12＝1·2＝ 2.∴2x ＋5y 的最大值为 2.答案：A4．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n n ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．不确定 解析：由柯西不等式知(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12·()111n ⋯＋＋＋个 12≥a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n . 即得 a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ，∴P ≥Q .答案：B5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n ，则P 与Q 的大小________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ×d n ≤(am )2＋(nc )2×⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2＝am ＋nc × b m ＋d n＝Q .答案：P ≤Q6．函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值为________．解析：由柯西不等式得(x －6＋12－x )2≤(12＋12)·[(x －6)2＋(12－x )2]＝12，∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)．答案：2 37．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，当且仅当m a ＝n b时等号成立，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5.答案： 58．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________．解析：y ＝2cos x ＋31－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2x ≤(cos 2x ＋sin 2x )[22＋(32)2]＝22. 当且仅当cos x sin 2x ＝232，即tan x ＝±322时，函数有最大值22. 答案：229．已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________． 解析：利用柯西不等式．由于(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛ x ·1x ＋y ·2y ＋ ⎭⎫z ·3z 2＝36， 所以1x ＋4y ＋9z≥36. 当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．∴1x ＋4y ＋9z的最小值为36. 答案：3610．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：1211．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3147. 答案：314712．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：－23≤c ≤1. 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式得：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.∴－23≤c ≤1. 13．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：由柯西不等式，得[x ＋(－2)y ＋(－3)z ]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)，即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)，即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x ＝y －2＝z －3，即当x ＝27，y ＝－47，z ＝－67时，x 2＋y 2＋z 2的最小值为87. 14．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的最值． 解：由柯西不等式，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时等号成立， 代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2， 代入b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1. 15．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6 的最大值． 解： 根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)] ≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230.当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.。
完整版柯西不等式单元测试题1
《柯西不等式》单元测试题（1）班级_______________ 姓名_________________一、选择题：1.已知a, beR, a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为（）A. 4 B・2皈.8 D・9m n2•设x, y, m , n>0,且x+y = l，则u=x+y 的最小值是（）A .④$ B. y/in -bjn C . m + n D . （m + n）23.若a, beR ,且a2+ b2= 10,则a— b的取值范围是（）A.[-恥，矯]B . [- C • [ — *s/~^0，V^]D .[-点迁4.已知4x?+5y2=l,则2x + p 5y的最大值是（）B . 1C . 3D . 9+ 1+- 1+一15.已知x, ye R，且xy= 1,贝ij x y的最小值为（）1A. 4 B ・ 2 C ・ 1 D. 742 2a b6.设a、b£R+,且aHb, P=b +a，Q = a+b，则（）A. P>Q B ・ P$Q C ・ P〈Q D・ PW Q二、填空题：1 17.已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b的最小值为_____________________ ;8.函数y= （x— 5+ — x的最大值是__________ :9•设，，,,, 都是正实数，— +J —, 珂—干a b c d m n P aocd 、Q m*a nc的大小 ________10.函数y=2cos x + 3 pl — cos 2 x的最大值为________________11.函数y= 1—x+Q 2x+ 1的最大值为 _________________ .三、解答题：12.若2x+3y=l,求4x24- 9y2的最小值，并求出最小值点.1 113.设&, be R+ ,若a+b=2,求a+ b的最小值.14.已知a^Jl— b2+b^Jl— a2 = l,求证：a2+ b2= 1.1 8 8 115.设a+b= 2，求证：a +bM2「参考答案:一、选择题：1.已知d, beR , a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为( )A. 4 B . 2 . 8 D . 9答案：Bm n2.设x, y, m , n>0,且x+y = l，则u=x+y 的最小值是( )A .価 +申 $ B. yjm ~hjn C . m + n D . (m + n)2答案：A3•若, WR,且2+ 2=10,则一的取值范围是( )a b a b a bA.[一亦，2^5]B . [- 2^/10, 2^/10]C .[一厂0,厂10]D .苛5,护]9 9 0 9 9■ ■ ■M M解析：V(a + b)[l + (-l)]>(a-b),| a — b W-^20 = 2-^5, /. a — b w [ —2^5, 2寸.答案： A4.已知4x?+5护=1,则2x+两y的最大值是( )A.才B . 1 C . 3 D . 9解析：V2x+ V 5y= 2x • 1#" 5y • 12+^f A• l2 + l/=斗2孑2.2x+ 的最大值为答案: A1 15.已知x, ye R +,且=1,则 1 + 一1 + 一的最小值为0X y1A. 4 B ■2C . ID.41 1 1 9T解析：1+ X 1+y A 1 + xy =4, 故选A.答案： A+ ¥6.设a、beR ,且dH b, P=b + a，Q = &+b，则( )A. P>Q B ・ P$Q C. P<Q D・ PW Qa2 b2解析：•・• b+ a (a+ b)a b=Vb 2+ 石[(乂 + ( b)^]a +b }2>0,・•・a + >0.・・・ 亠+b —a hua 2b 2即 a= b, b + a >a+ b.即 P>Q . 答案： A 二、填空题:7. 已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b 的最小值为解析：・・・1 +1= ( + )1+1 2a b2a 寸T )/0,又••• a^b,而等号成立的条件是=[(2+ ( b)2]2=2 +b123 =+ -石 3 答案：对弋2.8.函数 y= x — 5+ 2 6 — x 的最大值是解析：根据尊面不等式，知y=lX x'^5 + 2 X 6—xW 124- 22X x — 5答案:都是正实数,= +P abed= +Q m a nc答案： PWQ厂m nam + nc • d m n+ =Q ・m na b4ncmn10.函数y=2cos x + 3\/ 1— cos 2 x 的最大值为 y= 2cos x+ 3 寸 1— cos 2 斗 cos 2 x + sin 2 x [2 2+ 3 2 2] = 22.解析:=2cos x+ 3 2sin 2xWcos x 2 3^2 _当且仅当即x=土卫一时，函数有最大值厂Vsh2 x S/ 2 1an 2 22 答案：^2211・函数=2寸+ 的最大值为_________ .yx x_____ ____________解析：y= 2\ll-x+ \] 2x+ \=^寸2-2x+l • p2x+ 1W 2. 寸2 — 2x 2+ 寸2x+ 1 =©•萨3.当且仅当＜2—2x • 1 = ^/2 • Qx+ 1取等号.即2- 2x=4x+ 2,・•・x= 0时取等号.答案：3三、解答题：12.若2x+3y=l,求4x2+ 9y2的最小值，并求出最小值点.解：由柯西不等式@/+9y2)(l 2 + ]2)鼻仪x + 3y) 2=1,2 2 1A4x + 9y 三2当且仅当2x • 1= 3y • 1,即2x=3y时取等号.rh 2x= 3y,力2x+ 3y= 1y=-6A4x2 + 9y2的最小值为乩最小值点为13.设a, bWR+,若a+b= 2,求1+ 1的最小值.a b(a+ b) a+ b・：2 a+ b 24,即a + b 22.・••当a= b= 1时，a+ b的最小值为2.当且仅当时取等号,14.已知a^yi— b2+b-^l— a2 = 1,求证：a2+ b2= 1.证明：由柯西不等式，得(a 1—b 2+ b 1 —^2)[a 2(1 _ a 2)][b 2 + (1 —b 2)]= b -/l — b 2当且仅、"l / _ =、 i 寸，上式取等号，y 1 — 3,2 3/. ab=^/— a 2 • ft/- b 2, a 2b 2= (1 - a 2)(l — b 2)・于是 a 2+b 2= 1.1 8 8 115・设 a+b= 2，求证：a + b 2 2? •11 2 2 2I=23 2 1 +1 a + b2 1— — —1 12sX 22(a+b) = 2仁 .••原不得式成立.证明：芒+异已1（12 + "F 2）［（2a 4) 2 + (b 4)2]14 4 2^2(1X a +1X b )1=(-4+4 2_1 1)—_ — ' r2 i a b 2 211222 9 ■4 421 + 1a+b2 2 2 2 2= 2X41(1 + 1)[( a)+ (b)]}2。
高中数学-公式-柯西不等式.docx
第一课时3.1二维形式的柯西不等式(一)2.练习：已知°、b、c、d 为实数，求证(a2 + b2)(c2+d2)>(ac+bdf①提出定理1：若a、b、c、d 为实数,则(a2 + lr )(c2 + J2) >(6fc + bd)2.证法一：(比较法)(a2 +b2)(c2 + J2)-(ac + bd)2=....= (ad-be)2 >0证法二：(综合法)(a2 +b2)(c2 +d2)=a2c2 -\-crd1 +b1c1 +b2d2=(ac + bd)2 + (ad -be)2 > (ac + bd)2.(要点：展开配方)证法三：(向量法)设向量m = (a,b), n = (c,d),贝^\\m\=\la2 +b2 , |n|= yjc2 +d2 .T trf n = ac + bd 9n=\m\\n \ cos<m.n>，证法四：(函数法)设/(x) = (a2 + b2)x2 - 2(ac + bd)x + c2 + d2，贝9 f(x) = (ax-c)2 +(bx-d)120 恒成立.・•・ A = {-2{ac + bd)f -4(a2 + b2)(c2 + J2) 0,即..…③二维形式的柯西不等式的一些变式：4cr -^h1A/C2+d2 >| ac+hd \或y/a2 +lr \l(r +d~ >\ac\-^-\hd\或如+戾Jc2+d? »ac + bd ・④提出定理2：设o,0是两个向量，贝I J|Q0|S|Q||0|.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）一讨论：上面时候等号成立？（0是零向量，或者％0共线）⑤练习：己知a、b、c、d 为实数,求证\/a2 + b1 + \/c2 + J2＞yj（a-c）2 +（/?-J）2 .证法：（分析法）平方一应用柯西不等式一讨论：其儿何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：_______ _________ _____________________①出示定理3：设兀|,廿，2，丿2 ^尺，则肩 ++ Jxj+ ”2 » J（X| _兀2尸+ O| _ •分析其儿何意义一如何利用柯西不等式证明-变式：若西,必,兀2，力，兀3，〉'3丘尺，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西床等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时3」二维形式的柯西不等式（二）教学过程：______ _________ ___________________（/ + b2）（c2 + ）»（皿 + bd）2: J兀］2 + yj + Qxj +）叮＞』（西一勺尸+（必一力），3.如何利用二维柯西不等式求函数二的最大值？要点：利用变| ac + bd \＜ ^a2 +b2 y{c2+d2 .二、讲授新课：1・教学最大（小）值：①出示例1：求函数y = 3厶-1 + J10-2兀的最大值？分析：如何变形？-＞构造柯西不等式的形式〜板演________________—变式：y = ＞/3x-l + J10-2兀—推广：y = ajbx+c + dje-fic,（a,b,c,d,e,f w&）②练习：已知3x + 2y = l,求x2 + ^2的最小值.解答要点:（凑配法）x2 +y2 =—（x2 + y2）（32 +22）＞—（3x+2j）2 =—.-13 13 132.教学不等式的证明：①出示例2：若x,y e, x+y = 2 f求证：丄+丄＞2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比一构造）要点:讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、bw© ,求证：（d + b）（—+ —）^4.a b3.练习：①已知兀,且—+ — = 1,则x+y的最小值.兀>'要点：x+ y = （— + —）（x+ y）= .... f 其它证法兀y②若x,y,zw/?+，且x+y + z = l,求x2 + /+z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若兀,y,zw/?+，且x+y + z = l ,求yfx + Jy +\fz的最大值.第三课时3.2 一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯两不等式？如何将二维形式的柯两不等式拓广到三维？答案：（a2+b2）（c2+〃2）n（dc+加）2；（a2 + Z?2 4- c2）（d2 +e2+f2）> （ad + be + cf）2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式|&0曰&||0|,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：〃维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设44，,Q…2,4 wR ,则（q? + 电 + aj）0]2 + 优2 + + b：） > （afy + a2b2 + +ci rl b fl）2讨论：什么时候取等号？（当且仅当半=学=吋取等号，假设勺工0）*优仇联想：设8 =如+也++讷,A = a l2+a22+ a； , C = b；+b/+ +” ,则<B2-AC>0,可联想到一些什么？"③讨论：如何构造二次函数证明兄维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令f（x）=（壬 + a；+ …+ a；）x~ + 2（马勺 + ①b, + …+ ci n b n）x +（b「+/?》+••• + /?；）,则/（x） =（6Z I x + /?1）2+（%兀 + 化）2 +•••+ （a“兀+b“）2 >0.又dj+%2+... + a”2>0,从而结合二次函数的图像可知，△ = [2（d]b] + a2b2 + ）『—4（d]2 + + a：）（bj + bj + + b：） WO即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：+ 6f22 + 町X丄（吗+$+…+ %）2.（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：己知13x + 2y + z = l,求X2 4- y2 4- z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？一板演一变式：②练习：若x.y.zeR^ ,且丄+丄+ - = 1,求X + —+ -的最小值.兀y z 2 31 1 4③出示例2：若a>b>c,求证： -------- + ----- > ------ .a-h b-c a-c要点：（Q — C）（—「+亠） = [（d-b） + （b-c）]（—「+ 亠》（1 + 1）2=4a—b b — c a — b b — c②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a{<a2<…<a n;b} <b2<…<b n. c l9c2, ••• c“是b l9b2, ••• ,b n的任一排列，则有+ a2h2 + • • • + a n b n（同序和）>qq + a2c2+ …+ a n c n（乱序和）>a}h n + a2b n_} + ・・・ + a tl h}（反序和）当且仅当a x =(72 =…=ci“或勺=/?2=・•- =b tl 时，反序和等于同序和. (要点：理解長思想，记住其形式］2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设即禺,…,％是几个互不相同的正整数，求证：分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式?证明过程:设b },b 2.-,b n 是ms …心的一个排列,且b Y <b 2<--<b n ,则勺>\,b 2 …也>n . 又1＞丄〉丄＞•••＞」，由排序不等式，得2- 3- nra +鱼+色+ ... +玉” +色+乞+ (2)1 22 32 H 2_ ' 22 32 才―…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知 a,b,c 为正数,求证：2(/ + 戾 +cP)＞a 2(b + c)+b 2(a-}-c)-}-c 2(a+b).解答要点：由对称性，假设aSbWc ，贝\]a 2<h 2<c\于是 a 2a + b 2h + c 2c > a 2c + b 2a + c 2h , a 2a + b 2h + c 2c > crb + b 2c + c 2a , 两式相加即得. 1冷£ +・士"+斜守+…厂/?2。
高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式训练北师大版选修4_5word格式
简单形式的柯西不等式一、选择题1. 以下说法：①二维形式的柯西不等式中 a ，b ， c ， d 没有取值限制 .②二维形式的柯西不等式中a ，b ，c ，d 只好取数，不可以为代数式 .③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α ＝ β .此中正确的个数有 ( )A.1 个B.2 个C.3 个D.0 个分析 由柯西不等式的观点知，只①正确， a ， b ， c ， d 是实数，没有其取值限制 .答案 A2 912. 函数 y ＝ x ＋ 1－2x x ∈ 0，2 的最小值是 ()A.20B.25C.27D.182 92 9 分析 y ＝ x ＋1－2x ＝ [2 x ＋ (1 － 2x )] x ＋1－2x＝ [( 2x ) 2＋ ( 1－2x ) 2]2 2 9 2＋x1－2x2922≥ 2x · x ＋ 1－ 2x1－2x ＝ (2 ＋ 3) ＝ 25.答案 Ba2 b23. 设 a 、 b ∈ (0 ，＋∞ ) ，且 a ≠ b ， P ＝ b ＋ a ， Q ＝ a ＋b ，则 () A. > B. ≥P Q P Q C. P <QD.P ≤Qa2 b2a 2b 222分析 ∵ b ＋ a ( a ＋ b ) ＝ b＋a[( a ) ＋ (b ) ]≥a· b ＋ b· a2＝ ( a ＋ b ) 2，ba∵ >0， >0，∴ ＋a2 b2 ≥ （a ＋b ）2 .>0. ∴ ＋＝ ＋aba bbaa ＋ba ba a ＝b又∵ a ≠ b ，而等号建立的条件是· · b ，baa2 b2即 a ＝ b ，∴ b ＋ a >a ＋ b . 即 P >Q .答案A二、填空题2 2 24. 设 a 、 b 、 c 是正实数，且 a ＋ b ＋c ＝ 9，则 a ＋ b ＋ c 的最小值是 ________.2 2 22 2 分析 ∵ ( a ＋ b ＋ c )a ＋b ＋c ＝ [( a ) ＋ (b ) ＋( 22 22 22 2c ) ]a＋ b ＋c222 22 2 2≥ a ·a ＋b · b ＋c · c ＝18. ∴ a ＋b ＋ c ≥ 2.答案 25. 若 a 2＋ b 2＋ c 2＝ 2，x 2＋ y 2＋ z 2＝ 4，则 ax ＋ by ＋ cz 的取值范围是 __________.分析∵ ( a 2＋b 2＋ c 2)( x 2＋ y 2＋ z 2) ≥ ( ax ＋ by ＋ cz ) 2，∴ ( ax ＋ by ＋ cz ) 2≤ 8，∴－ 2 2≤ ax ＋ by ＋ cz ≤ 2 2.答案[ －2 2，2 2]6. 设 a ， b ， m ，n ∈ R ，且 a 2＋ b 2＝ 5， ma ＋ nb ＝ 5，则 m2＋n2的最小值为 ________.分析运用柯西不等式求解 .依据柯西不等式 ( ma ＋ nb ) 222222222m2＋n2的 ≤ ( a ＋b )( m ＋ n ) ，得 25≤ 5( m ＋ n ) ，m ＋ n ≥5， 最小值为.5答案 5三、解答题7.若2＋3y ＝1，求 4 2＋9 y 2的最小值，并求出最小值点 .xx解 由柯西不等式 (4 x 2＋ 9y 2)(1 2＋12) ≥ (2 x ＋ 3y ) 2＝ 1，221∴4x ＋ 9y ≥2.当且仅当 2x · 1＝ 3y ·1，即 2x ＝ 3y 时取等号 .12x ＝3y ，x ＝4，由得1 2x ＋3y ＝ 1.y ＝ 6.2211 1∴4x ＋ 9y 的最小值为 2，最小值点为 4，6.1 1 8. 设 a ， b ∈ (0 ，＋∞ ) ，若 a ＋ b ＝ 2，求 a ＋b 的最小值 .1 1解 ∵ ( a ＋b ) a ＋b＝[(a 2＋(2121 2)) ]ba ＋ b11 2≥a · ＋b ·＝ (1 ＋ 1)2＝4.a b1 11 1∴2 a ＋b ≥ 4，即 a ＋ b ≥ 2.当且仅当 a · 1b ·1＝ ，即 a ＝ b 时取等号，ba1 1∴当 a ＝ b ＝ 1 时， a ＋ b 的最小值为 2.9. 已知 a 2＋ b 2＝ 1，a ， b ∈ R ，求证： | a cos θ ＋b sin θ | ≤1.证明 ∵ ( cos θ ＋ sin θ) 2≤( a 2＋ b 2)(cos22θ)abθ ＋ sin ＝1· 1＝ 1，∴ | a cos θ ＋ b sin θ | ≤1.。
(原创)最新柯西不等式习题及解析
柯西不等式习题及解析一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤题型参考：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。
答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】 设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为 。
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。
高中数学选修4-5柯西不等式习题.docx
高中数学·选修 4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共 10 小题）1．（2012?九江一模）设变量x， y 满足 |x ﹣ 2|+|y﹣2| ≤1，则的最大值为（）A． B ． C ．﹣D．2．（2014?孝感二模）已知x， y， z 均为正数，且x+y+z=2 ，则 ++的最大值是（）A． 2B． 2C． 2D． 33．（2014?湖北模拟）设 x、 y、 z 是正数，且 x2+4y2+9z2=4， 2x+4y+3z=6 ，则 x+y+z 等于（）A． B ． C ． D ．4．（ 2014 秋?秦安县校级期中）已知a2+b2 +c2=1，若 | 对任意实数 a， b，c， x 恒成立，则实数m的取值范围是（）A． [8 ，+∞）B．（﹣∞，﹣ 4] ∪[2 ，+∞）C．（﹣∞，﹣ 1] ∪[8 ，+∞）D． [2 ，+∞）5．（ 2014 春?和平区期中）已知 a， b，c∈R，且 a+b+c=0， abc ＞ 0，则 ++的值（）A．小于 0B．大于 0C．可能是 0 D．正负不能确定6．（2015?安徽模拟）若实数2223ab﹣3bc+2c2）a， b， c 满足 a +b +c =1，则的最大值为（A． 1B． 2C． 3D． 47．（2012?湖北）设 a， b， c， x， y， z 是正数，且222222）a +b +c =10，x +y +z =40， ax+by+cz=20 ，则 =（A． B ． C ． D ．8．（ 2013 春?永定区校级月考）函数（）A． 6B． 2C． 5D． 29．（2013?湖北一模）已知222是 a+b+c∈[ ﹣ 1， 1] 的（）a， b，c∈R，则 2a +3b +6c =1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．（2014?湖北模拟）实数a i（ i=1 ，2，3，4，5，6）满足（ a2﹣ a1）2 +（ a3﹣ a2）2 +（ a4﹣ a3）2+（ a5﹣ a4）2+（ a6﹣ a5）2=1 则（ a5+a6）﹣（ a1+a4）的最大值为（）A． 3B． 2C． D ． 1二．填空题（共10 小题）11．（ 2013 秋?福建月考）选修4﹣ 5：不等式选讲22222已知实数a， b， c，d， e 满足 a+b+c+d+e=8， a +b +c +d +e =16，试确定 e 的最大值．12．（2014?黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014?荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e 满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c 2+d2+e2=16，则 e 的取值范围是．14．（2015?抚顺模拟）已知正数x， y，z 满足 x+2y+3z=1，则 ++的最小值为．15．（ 2015?郴州模拟）己知 x，y∈（ 0，+∞），若+3＜ k 恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是．16．（ 2015 春?齐齐哈尔校级期末）若存在实数x 使 +＞a 成立，求常数 a 的取值范围．17．（2013?惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、 b、 x、y 满足 a2+b2=1， x2+y2=3，则 ax+by 的最大值为．18．（2014?宝鸡二模）已知实数x、 y、z 满足 x+2y+3z=1，则 x2+y2+z2的最小值为．19．（2014?天门模拟）（选修 4﹣ 5：不等式选讲）已知实数a， b， c，d 满足 a+b+c+d=3，a2 +2b2 +3c2 +6d2=5，试求 a 的最值．20．（2015?龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤ M，则M的最小值为．三．解答题（共10 小题）21．（2014?泰州模拟）若不等式222|a ﹣1| ≥x+2y+2z 对满足 x +y +z =1 的一切实数 x、 y、 z 恒成立，求 a 的取值范围．22．（2015?福建）已知a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，函数 f （ x）=|x+a|+|x﹣ b|+c 的最小值为 4．（1）求 a+b+c 的值；（2）求 a2+b2+c2的最小值为．23．（2015?福州校级模拟）已知正数222a， b， c 满足 a +b +c =6．（Ⅰ）求 a+2b+c 的最大值 M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m| ≥M恒成立，求实数 m的取值范围．24．（2014?江苏模拟）选修4﹣ 5：不等式选讲若正数 a，b， c 满足 a+b+c=1，求的最小值．25．（2015?上饶二模）（ 1）设函数，求f （ x）的最小值，（2）当 a+2b+3c=m（ a， b，c∈R）时，求 a2+b2+c 2的最小值．26．（2015?咸阳三模）已知x，y∈R+，且 x+y=2（Ⅰ）要使不等式 +≥|a+2| ﹣|a ﹣ 1| 恒成立，求实数 a 的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015?南昌三模）已知关于x 的不等式m﹣|x ﹣ 2| ≥1，其解集为 [0 ， 4] ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a， b 均为正实数，且满足a+b=m，求 a2+b2的最小值．28．（2015?兴庆区校级一模）（1）设函数 f （ x）=|x ﹣ |+|x ﹣ a| ，x∈R，若关于x 的不等式 f （x）≥a在 R 上恒成立，求实数 a 的最大值；（ 2）已知正数x，y， z 满足 x+2y+3z=1 ，求 ++的最小值．29．（ 2015 春?重庆校级期中）已知函数 f （ x） =|x+1| ， g（ x）=m﹣ 2|x ﹣ 4| ，若 2f （ x）≥ g（ x）恒成立，实数 m的最大值为 a．（Ⅰ）求实数 a 的值；（Ⅱ）已知实数x，y， z 满足 x+y+z=a ，求 2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015?江西模拟）（ 1）已知函数 f （ x） =|x ﹣ 1|+|x+3| ，求 x 的取值范围，使 f （ x）为常函数；（ 2）若 x， y，z∈R， x2+y2+z 2=1，求 m=x+y+z 的最大值．1． B2． C3． A4． B5． A6． C7． C8． D9． A10． B11．12．13．14． 18 15． k＞ 16 ．（- ∞， 8）17．18．19．20．。
柯西不等式专项练
柯西不等式专项练☻知识梳理1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd +???2. 变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈， ；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈， 几何意义:3. 应用：4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.检验真本领221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.10B ⎡-⎣ .0C ⎡⎣ .D ⎡⎣ .222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是562536A. . ..653625B C D3.______y =函数 224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是6、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.10、若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
人教A版数学选修4第二节 一般形式的柯西不等式 .docx
第二节 一般形式的柯西不等式一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c的最小值为( )．A ．9B ．3 C. 3D ．1解析 [(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2 即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.又∵a ＋b ＋c ＝3，∴1a ＋1b ＋1c≥3，最小值为3.答案 B2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为 ( )．A ．1B ．n C.nD ．2解析 由柯西不等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2得1·1≥(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2， ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1. 所求的最大值为1. 答案 A3．已知a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 有( )．A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值3D ．最小值3解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ c a 2· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ b a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ c b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫ a b× b a＋ b c× c b＋ c a× a c 2＝9. 答案 B 二、填空题4．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为________．解析 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2，即4(16－e 2)≥(8－e )2，即64－4e 2≥64－16e ＋e 2. ∴5e 2－16e ≥0，故0≤e ≤165. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1655．设a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2与a ＋b 的大小关系是________．解析 ∵a ＋b ＝(a )2＋(b )2·12＋12·12≥12(a ·1＋b ·1)＝a ＋b 2.∴a ＋b ≥a ＋b 2. 答案 a ＋b ≥a ＋b 2三、解答题6．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的最值．解 由柯西不等式得，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2， 解得，1≤a ≤2当且仅当2b 1/2＝3c 1/3＝6d 1/6时等号成立，代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2.b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1. 7．设a 1>a 2>…>a n >a n ＋1，求证：1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0. 证明 ∵a 1－a n ＋1＝(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)， ∴[(a 1－a 2)＋(a 2－a 3)＋…＋(a n －a n ＋1)]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1≥(a 1－a 2·1a 1－a 2＋a 2－a 3·1a 2－a 3＋…＋a n －a n ＋1·1a n －a n ＋1)2＝n 2>1. ∴(a 1－a n ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1. 即1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1>1a 1－a n ＋1， 故1a 1－a 2＋1a 2－a 3＋…＋1a n －a n ＋1＋1a n ＋1－a 1>0.8．设x ＋y ＋z ＝1，求函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解 根据已知条件和柯西不等式，我们有1＝x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋112(2x 2＋3y 2＋z 2)12＝116·u ， 故u ≥611.而等号成立的条件是： 2x ＝λ2，3y ＝λ3，z ＝λ，即x ＝λ2，y ＝λ3，z ＝λ，代入条件x ＋y ＋z ＝1得λ＝116， 此时，x ＝311，y ＝211，z ＝611， 故当x ＝311，y ＝211，z ＝611时， 函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值是611.。
柯西不等式的最小值问题配套练习题.docx
柯西不等式的最小值问题配套练习1. 已知正数 a ， b 满足 a 3 b 3 2 ，证明： (a 2 b 2 )(a 4 b 4 )4 .2. 设 a 、 bR ， a b 1，则11的最小值为 ________.a b22 2 9 3. 设 a 、 b 、 c 为各不相等的正数，求证：a bb cc a.a b c4. （2017 年南师附中高三模拟第 21(D) 题）已知实数x ， y ， z 满足 x y z 2 ，求 2x 23 y 2 z 2 的最小值 . 5. 已知 a 0, b 0, c 0 ，函数 f ( x) x a x bc 的最小值为 4.（ I ）求 a b c 的值； （ II ）求 1a 21 b2 c 2 的最小值 .49参考答案：1. 证明：由柯西不等式得 , (a 2 b 2 )(a 4 b 4 )a 2 a 4b 2 b 4 2,即 (a 2 b 2 )(a 4 b 4 ) (a 3 b 3 )2 ，故 (a 2 b 2 )( a 4 b 4 ) 4 .解析：本题考查柯西不等式的应用，难度很小.1 1 11 21 12. 解：由柯西不等式得a bb，即，ababa4ab当且仅当a ba=b 1时取等号 . 1 1 即 2ab说明：该题既可用柯西不等式解，还可用基本不等式解 . 过程如下：1 1 1 1 (a b)1ba 1 2 2b a4 当且仅当 b = a即 a=b 1 时a b a ba ba ba b2 取等号 .这种解法主要体现了转化的思想，将1 代换为 a b .3. 证明：22 2 a b(b c)(c a)a bb cc a2222(a b)(bc)a)，ab c c (cba即222 2(a bc) 18 ，a b bcc a故 2229 .a bb cc aa bc11+12x11 2 4. 解： 2x 2 3y 2 z 23y z1 =222 323即2x 2 3y 2 z 24= 24 当 且 仅 当2 x3y z 即1 1 1 11 1 1 12 32 3x6, y4, z12时取等号 .11 11115. 解：（I ）因为 f (x) x ax b cx ax bc= a b c当且仅当 a xb 时，等号成立 .又 a 0,b0 ，所以 a b =a b ，所以 f ( x) 的最小值为 ab c .又 f (x) 的最小值为 4，所以 a b c4 .（ II ）由（ I ）知： a b c4 ，由柯西不等式得1 a2 1 b 22c 2 4 9 1a2 b3 c 14 923= a b2c =16即 1a 2 1b 2c 284971 a 1 b c，即 a8 ,b 18 ,c2时等号成立 . 当且仅当 232 317 7 7故 1 a 21 b2 c 2的最小值为 8. 497解析：本题的第（ 1）小题，考查绝对值不等式；第（ 2）小题，考查柯西不等式 .整体考察了推理论证能力，体现了化归与转化思想.。
数学自我小测：一般形式的柯西不等式
自我小测1．已知a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝1，x错误!＋x错误!＋…＋x错误!＝1,则a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值是（)A．1 B．2 C．3 D．42．已知实数a，b,c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最大值是（)A．1 B．2 C．3 D．43．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是（)A．1 B．n C．n2D．错误!4．若实数x＋y＋z＝1，则2x2＋y2＋3z2的最小值为（）A．1 B．6 C．11 D．错误!5．已知a＋b＋c＝1,且a,b，c＞0，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为( )A．1 B．3 C．6 D．96．设a，b，c为正数，则（a＋b＋c）错误!的最小值是________．7．设x,y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________．8．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，则x2＋4y2＋z2的最小值为________．9．在△ABC中，设其各边长分别为a,b，c,外接圆半径为R,求证：（a2＋b2＋c2)错误!≥36R2。
10．已知二次三项式f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时,必有f （x1）·f(x2)≥1。
参考答案1．解析:（a1x1＋a2x2＋…＋a n x n）2≤（a2，1＋a错误!＋…＋a错误!)·（x 2，1＋x错误!＋…＋x错误!)＝1×1＝1.当且仅当a i＝x i＝错误!（i＝1，2，…，n）时等号成立．∴a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值是1。
答案:A2．解析：由柯西不等式，得(2b2＋3c2＋6d2)错误!≥（b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2,当且仅当错误!＝错误!＝错误!时等号成立．又b＋c＋d＝3－a，2b2＋3c2＋6d2＝5－a2,故5－a2≥（3－a）2，解得1≤a≤2，即a的最大值是2。
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1.(09 绍兴二模 ) 设x, y, z R, x2y2z2 1 。
（1）求x y z的最大值；（2）求x y 的取值范围。
2. （ 09 宁波十校联考）已知x, y, z (0,) ，且 x y z 1，求1925
的最小值。
x y z
3. （ 09 温州二模）已知x, y, z R ，且 z y z 1。
（1）若2x23y 26z21，求x, y, z的值；
（2）若2x23y2tz2 1 恒成立，求正数t 的取值范围。
4、（ 09 嘉兴二模）设x, y, z R ，且 x 2 y 3z 1。
（1）求证：| x y z || y z || z |1；
（2）求u ( x1)2( y2)2( z3)2的最小值。
5. （ 09 诸暨模考）已知x, y, z都是正数，且x 2 y3z 6 ；
（1）求证：x2y2z218；（ 2）问123有最大值还是最小值？并求这个最值。
7x y z
6. （ 09 宁波一模）已知3x 5 。
2
求证： 4x 42x315 3x78 。
7（ 09 舟山一模）已知a, b, c,d 满足 a b c d 3, a22b23c26d 2x 。
（1）求证：当a 0时，x 9。
（2）当x 5时，求实数a的最值。
8. （ 09 稽阳联考）（1）已知正数x, y, z 满足x y z 1，求
x
2
y
2
z
2的最小值。
1 z 1 x 1 y
x y z
，求 t 的最大值。
9．已知t
2y2
x24z2
10.(09金丽衢十二校第一次联考)
已知 3x 4y 4z 1，求 x2y2z2的最小值。
11（ 09 浙江五校联考）（ 1）求函数 f (x)38( x R) 的最小值。
2 x 13cos2
2sin x 2
12、（ 09湖州一模）已知 a,b, c R ，且a b c1。
（1）求1 1 + 1的最小值；（2）求证 :a2b2c2 1 .
a b c1a1b 1 c4
13、（ 09 杭州一模）已知x, y, z是正数，且满足条件x y z
3 xyz
（1）求x y z的最小值；（2）若xyz 3，且x2 2 y2z21，求 x 的取值范围。
14、（ 09 绍兴一模）已知a,b, c0, a24b23c29 。
（1）求abc的最大值；（ 2）记t
113
，求 t 的最小值。
a2b2c2
15．已知正数a,b, c满足a b c1,（1）求证 :abc 1 ；
bc ca ab9
（2）求(a
b)2(b c)2(c a)2的最小值 . 2b c2c a2a b
16. （ 09 浙江高考）已知x, y, z 满足x y z 1。
（1）求证：x2y2z21
；（ 2）求4x4y4z2的最小值。
y2z z2x x 2y3
17: 已知正数a, b, c满足a b c1, (1)求
a24b 29c 2的最小值;
(2)求证 :a b c 3 3
a 1
b 1c2
1
18: 已知a, b, c为正实数 , 且1
111 a b c
(1) 求a b c 的最小值;
(2) 求证 :a 2 b 2c227
1a 1 b 1 c4。