七年级数学下册9.4平行线的判定两条平行线与一组折线构造的角的一类探析素材新版青岛版8

两条平行线与一组折线构造的角的一类探析
例题：如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、
ECD ∠的角平分线，F 是两条角平分线的交点； 求证：1
2
F AEC ∠=∠.
分析：作辅助线，可以探究：AEC ∠与BAE ∠及
DCE ∠之间的关系来，结合角的平分线的性质，可以探究出
F ∠与AEC ∠之间的关系来：
证明：过,E F 分别作AB 的平行线，可证明下面的结论：
AEC BAE DCE ∠=∠+∠, 11
22AFC BAE DCE ∠=∠+∠,
所以1
2
F AEC ∠=∠
评注：两条平行线之间一组折线构造出的三个角，两条折线构造的角等于两条折线分别与平行线构造的角的和；其实还可以得出结论：两平行线,AB CD 之间有一组折线：,AE CE (E 为交点)，,AF CF 分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F 是两条角平分线的交点；则有
结论：1
()2
F BAE DCE ∠=
∠+∠； 一般地：如图所示：AB ∥CD .一组折线,BE DE 交于点
,E 如果有条件：m ABN ABE n ∠=
∠，m
CDN CDE n
∠=∠ （,m n 都是正整数，且n ＞m ＞0）;,BN DN 交于点N ,那么N ∠（即BND ∠）与E ∠（即BED ∠）的比值是
m n ，即有：BND ∠m
BED n
=∠; 练习：1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、 ECD ∠的角平分线，F 是两条角平分线的交点；
80BAE ∠=︒，70DCE ∠=︒，计算：（1）AEC ∠的度数； （2）AFC ∠的度数； 答案（1）150°；（2）75°；
2、 如图已知，AB ∥CD .一组折线,BE DE 交于点：
D
B C A
F
E
F
N B A C D
E
M
N
D
B
C
A F
E
M
N
D
B
C A
F
E
,E （1）当 34ABF ABE ∠=∠, 3
4
CDF CDE ∠=∠,
,BF DF 交于点F 那么F ∠与E ∠（即BED ∠）
的比值是多少？验证你的结论； （2）当2008
2009
ABF ABE ∠=
∠， 2008
2009
CDF CDE ∠=
∠，,BF DF 交于点F 那么 F ∠与E ∠（即BED ∠）的比值是多少？请直接写出答案；
答案（1）
34；（2）20082009
； 3、如图已知，AB ∥CD .一组折线,BE DE 交于点：
,E 且：(1)1ABM ABE n ∠=
∠，1
CDM CDE n
∠=∠ （其中n 是正整数），,BM DM 交于点,M 那么M ∠与E ∠（即BED ∠）的比值是多少？ (2)1n ABN ABE n ∠=
∠+,1
n CDN CDE n ∠=∠+（其中n 是正整数）,,BN DN 交于点N ,那么N ∠与E ∠（即BED ∠）的比值是多少？
答案（1）
1n ；（2）1
n n +； F
E
A
C
D
B
E
M
N
A
C
D
B
C
D
F
E
A
B。