专题1.2.2 同角三角函数的基本关系重难点题型(举一反三)(解析版)

专题1.2.2同角三角函数的基本关系重难点题型【举一反三系列】

【知识点1 同角三角函数的基本关系式】 (1)平方关系：22

sin cos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos α

αα

= 要点诠释：

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；

(2)2

sin α是2

(sin )α的简写；

(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。 【知识点2 同角三角函数基本关系式的变形】 1．平方关系式的变形：

2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±

2．商数关系式的变形

sin sin cos tan cos tan α

ααααα

=⋅=

，。

【考点1 利用同角三角函数的基本关系求三角函数值】

【方法点拨】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。

【例1】（2019秋•启东市校级月考）已知角α的终边经过点(P )y ，且sin (0)y y α≠，判断角α所在的象限，并求cos α，tan α的值． 【分析】求出r ＝|OP |＝

，由sin α＝

＝

y ，得y ＝±

，从而角α在第二或第三象

限，r ＝，由此能求出cos α，tan α的值．

【答案】解：∵角α的终边经过点P （﹣，y ），且sin α＝

y （y ≠0），

∴r ＝|OP |＝

，

∴sin α＝＝y ．

∵y ≠0，∴9+3y 2

＝16，解得y ＝±，…（6分） ∴角α在第二或第三象限，r ＝＝

，

当角α在第二象限时， y ＝

，cos α＝＝

＝﹣，

tan α＝＝＝﹣；…（10分）

当角α在第三象限时， y ＝﹣

，cos α＝＝

＝﹣，

tan α＝＝＝．…（14分）

【点睛】本题考查余弦函数、正切函数的求法，考查任意角三角函数的定义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．

【变式1-1】（2019秋•西区校级期中）已知

5

sin

13

α=，求cosα，tanα的值．

【分析】由已知可得α是第一或第二象限角，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【答案】解∵sinα＞0，sinα≠1，

∴α是第一或第二象限角，由sin2α+cos2α＝1，得：

（1）如果α是第一象限角，那么cosα＞0，于是，从而，（2）如果α是第二象限角，那么cosα＜0，于是，从而．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．

【变式1-2】（2019春•凉州区校级月考）已知

3

tan

4

α=-，且α是第四象限角．求sin cos

αα

+的值．

【分析】根据同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα和cosα的值，可得sinα+cosα的值．

【答案】解：∵＝，sin2α+cos2α＝1，α是第四象限角，

∴sinα＝﹣，cosα＝，

∴sinα+cosα＝．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．

【变式1-3】（2019春•集宁区校级期末）已知

4

cos

5

α=-，求sin tan

αα

+的值．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，分类讨论，求得sinα和tanα的值，可得sinα+tanα的值．【答案】解：∵cosα＝﹣，∴α是第二或第三象限角．

若α是第二象限角，则sinα＝＝，tanα＝＝﹣，

∴sinα+tanα＝﹣＝﹣．

若α是第三象限角，则sinα＝﹣＝﹣，tanα＝＝，

∴sin α+tan α＝﹣+＝．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 【考点2 三角函数式的化简】

【方法点拨】解答此类题目的关键在于逆用公式sin 2α+cos 2α=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin 2α+cos 2α”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。 【例2】化简

（1

（2

【分析】（1）利用平方关系把根式内部的代数式转化为余弦，开方后得答案；

（2）把分式分子化为完全平方式的形式，然后开方，分母利用平方关系化为余弦开方，则答案可求． 【答案】解：（1）

＝

＝|cos440°|＝|cos （360°+80°）|＝cos80°；

（2）＝

＝．

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，训练了同角三角函数基本关系的应用，是基础题． 【变式2-1】（2019秋•蜀山区校级月考）化简：

（1

（2）222222sin sin sin sin cos cos αβαβαβ+-+．

【分析】运用同角三角函数基本关系，同角的平方关系：sin 2

α＝1﹣cos 2

α，即可化简求得． 【答案】解：（1）

＝

＝cos40°﹣sin40°

（2）sin 2

α+sin 2

β﹣sin 2

αsin 2

β+cos 2

αcos 2

β＝sin 2

α+1﹣cos 2

β﹣sin 2

αsin 2

β+cos 2

αcos 2

β＝sin 2

α（1﹣sin 2

β）+1﹣cos 2

β（1﹣cos 2

α）＝sin 2

αcos 2

β+1﹣cos 2

βsin 2

α＝1

【点睛】本题考查三角函数的化简，考查同角的平方关系，属于基本知识的考查．

【变式2-2】（2019秋•江岸区校级月考）已知(,)2

π

θπ∈． 【分析】原式被开方数变形后，利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形，计算即可得到结果．