2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷及答案

2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2019•山西三模）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）
A．（1，0）B．（2，0）C．（0，）D．（0，）2．（2020秋•张家界期末）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∈∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉Q
C．∀x∈∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
3．（2020秋•武昌区校级期末）已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m，n在γ内的射影互相平行，则m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α
4．（2021春•杨陵区期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）
A．是对立事件
B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
5．（2020秋•武汉期末）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是（）
A．B．12πC．8πD．10π6．（2019秋•武汉期末）在新高考改革中，一名高一学生在确定选修物理的情况下，想从政治，地理，生物，化学中再选两科学习，则所选两科中一定有地理的概率是（）A．B．C．D．
7．（2019秋•武汉期末）方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣1＜m＜3C．﹣3＜m＜4D．﹣2＜m＜3
8．（2019秋•武昌区校级期末）已知椭圆的左右焦点分别为F1、
F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为，则椭圆离心率为（）
A．B．C．D．
二．多选题（共4小题）
9．（2020秋•武汉期末）以下对概率的判断正确的是（）
A．在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值
B．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
C．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是10．（2019秋•苏州期末）已知方程mx2+ny2＝mn和mx+ny+p＝0（其中mn≠0且m，n∈R，p＞0），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（）
A．B．
C．D．
11．（2020秋•武昌区校级期末）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（）
A．r是q的充要条件
B．p是q的充分条件而不是必要条件
C．r是q的必要条件而不是充分条件
D．r是s的充分条件而不是必要条件．
12．（2020秋•武汉期末）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱AD、
CC1、C1D1的中点，则下列结论正确的是（）
A．直线FG与A1D所成的角为60°
B．平面EFG截正方体所得的截面为六边形
C．EF⊥B1C
D．三棱锥B1﹣EFG的体积为
三．填空题（共4小题）
13．（2019秋•武汉期末）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为．
14．（2011•江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝．
15．（2019秋•武汉期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且，则GB与EF所成的角的正弦值为．16．（2020秋•武汉期末）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A为C上一点，线段FA的延长线交x轴于B点，若点A到l：y＝﹣1的距离d等于A到B的距离，则|FB|＝．四．解答题（共6小题）
17．（2020秋•武汉期末）某校期中考试高二化学学科采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：A等级7%；B等级33%；C等级40%；D等级15%；E等级5%．现随机抽取100名学生原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）以样本估计总体，估计本次化学成绩原始平均分及C等级最低原始分（结果保留整数）．
18．（2019秋•武汉期末）已知抛物线C的顶点在原点，准线是，一条过点M（0，﹣1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．若OA与OB的斜率之和为2，求直线l的方程．
19．（2019秋•武昌区校级期末）近期流感来袭，各个医院的就诊量暴增，患者就诊困难．某医院为了以后患者能尽快就诊，决定组织调查小组来调查昼夜温差与就诊量的关系，以便以后遇到类似情况提前做好应对措施，经调查，12月21日到26日的昼夜温差x与流感就诊的人数y有如下数据：
昼夜温差（x℃）91011121314
就座人数（y人）202426313336
调查小组通过散点图发现昼夜温差与就诊人数存在线性相关关系，决定先从这6组数据中选取5组数据求线性回归方程，再用剩下的1组数据进行检验．检验方法如下：先用
求得的线性回归方程估计昼夜温差所对应的就诊人数，再求与实际就诊人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．
（1）若选取的是前面5组数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；
（3）为了使就诊等待的时间缩短，医院决定在就诊人数达到30人时增开诊室．那么利用回归方程估计昼夜温差为多少时医院会增开诊室．（温差精确到1℃）
附：参考公式，．
20．（2019秋•武汉期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝CD，点E为PC的中点，作EF⊥PC，交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PC⊥DF；
（3）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
21．（2010•宣武区二模）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5．甲先摸出一个球，记下编号为a，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b．
（Ⅰ）求“a+b＝6”的事件发生的概率；
（Ⅱ）若点（a，b）落在圆x2+y2＝21内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？
试说明理由．
22．（2019秋•武汉期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的上焦点F为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x+y﹣4＝0截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点作两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆于M，N两点（M，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN是否过定点，若过定点时求出定点坐标，否则说明理由．
2022-2023学年武汉市高二上期末考试数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2019•山西三模）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）
A．（1，0）B．（2，0）C．（0，）D．（0，）
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由抛物线的方程分析可得该抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝，由坐标公式计算可得答案．
【解答】解：抛物线的方程为：y＝x2，变形可得x2＝y，
其焦点在y轴正半轴上，且2p＝，
则其焦点坐标为（0，），
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，要注意所给的抛物线方程是不是标准方程．2．（2020秋•张家界期末）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）
A．∃x0∈∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉Q
C．∀x∈∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
【考点】命题的否定．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出该命题的否定命题即可．
【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
则命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是：
“∀x∈∁R Q，x3∉Q”．
故选：D．
【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的应用问题，是基础题．3．（2020秋•武昌区校级期末）已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不
同的平面，下列命题正确的是（）
A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m，n在γ内的射影互相平行，则m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】对应思想；分析法；空间位置关系与距离．
【分析】根据空间线面位置关系的定义及性质判断或举反例说明．
【解答】解：对于A，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，
又m⊂β，∴m∥α，故A正确；
对于B，若m⊂β，显然结论错误；故B错误；
对于C，设α⊥γ，β⊥γ，且α∥β，
设m为α内任意一条不与γ垂直的直线，n为β内任意一条不与γ垂直的直线，
则若m，n在γ内的射影互相平行，显然m与n不一定平行，故C错误；
对于D，若m⊂α，显然结论错误；故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，考查空间思维与想象能力，属于中档题．4．（2021春•杨陵区期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）
A．是对立事件
B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件
D．不是互斥事件
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．
【解答】解：事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，
即两名学生正好一名男生，一名女生，
故两事件既不是对立事件也不是互斥事件，
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2020秋•武汉期末）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是（）
A．B．12πC．8πD．10π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】方程思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】根据圆柱的轴截面积求出圆柱的底面半径和母线长，再计算圆柱侧面积．【解答】解：设圆柱的轴截面边长为x，
则由x2＝8，解得x＝2，
所以圆柱的底面半径为，母线长为2，
所以圆柱的侧面积为：
S圆柱侧＝2×π××2＝8π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的轴截面与侧面积计算问题，是基础题．
6．（2019秋•武汉期末）在新高考改革中，一名高一学生在确定选修物理的情况下，想从政治，地理，生物，化学中再选两科学习，则所选两科中一定有地理的概率是（）A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用列举法求出四科中间选两科，一共有6种选择，其中有地理的是3种，由此能求出所选两科中一定有地理的概率．
【解答】解：四科中间选两科，一共有：政地，政生，政化，地生，地化，生化6种选择，
其中有地理的是3种，
所以所选两科中一定有地理的概率是p＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2019秋•武汉期末）方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜0B．﹣1＜m＜3C．﹣3＜m＜4D．﹣2＜m＜3
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；双曲线的性质．
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的性质进行判断即可．
【解答】解：方程表示双曲线⇔（m+2）（m﹣3）＜0⇔﹣2＜m＜3，
∵选项是﹣2＜m＜3的充分不必要条件，∴选项范围是﹣2＜m＜3的真子集
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的性质是解决本题的关键．
8．（2019秋•武昌区校级期末）已知椭圆的左右焦点分别为F1、
F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为，则椭圆离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，通过椭圆的定义m+n＝2a，以及三角形的解法求出直角三角形的边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，
由题意可得|ON|＝a，|F2M|＝a，∠F1PF2＝60°，
即有|PM|＝a，|PF2|＝，由m+n＝2a，
可得|MF1|＝a，a2+（）2＝4c2，
可得e＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的解法，考查化简运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2020秋•武汉期末）以下对概率的判断正确的是（）
A．在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值
B．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
C．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】对于A，由概率的古典定义知随机事件的概率是频率的稳定值；对于B，甲被选中的概率为P＝＝；对于C，玩一局甲不输的概率是P＝1﹣＝；对于D，
取出的产品全是正品的概率是P＝＝．
【解答】解：对于A，在大量重复实验中，由概率的古典定义知随机事件的概率是频率的稳定值，故A正确；
对于B，从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为P＝＝，故B正确；
对于C，甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，
则玩一局甲不输的概率是P＝1﹣＝，故C错误；
对于D，从三件正品、一件次品中随机取出两件，
则取出的产品全是正品的概率是P＝＝，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查概率的概念、古典概型、对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2019秋•苏州期末）已知方程mx2+ny2＝mn和mx+ny+p＝0（其中mn≠0且m，n∈R，p＞0），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】先将方程转化为标准方程，结合直线截距，斜率以及椭圆双曲线中m，n的符号，判断是否对应即可．
【解答】解：方程mx2+ny2＝mn等价为+＝1，mx+ny+p＝0的斜截式方程为y＝﹣
x﹣，
A中椭圆满足n＞m＞0，则直线斜率k＝﹣＜0．截距﹣＜0，满足条件
B．中椭圆满足m＞n＞0，则直线斜率k＝﹣＜0．截距﹣＜0，截距不满足条件
C．中双曲线满足n＞0，m＜0，则直线斜率k＝﹣＞0．截距﹣＜0，满足条件D．中双曲线满足m＞0，n＜0，则直线斜率k＝﹣＞0．直线斜率不满足条件．
故选：AC．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合圆锥曲线中，m，n的符号以及直线斜率和截距的关系是否对应是解决本题的关键．难度不大．
11．（2020秋•武昌区校级期末）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（）
A．r是q的充要条件
B．p是q的充分条件而不是必要条件
C．r是q的必要条件而不是充分条件
D．r是s的充分条件而不是必要条件．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【分析】先弄清楚p，q，r，s之间相互关系，再逐个查看选项．
【解答】解：由已知有p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，
由此得r⇒q且q⇒r，
A正确，C不正确，
p⇒q，B正确，
r⇒s且s⇒r，D不正确，
故选：AB．
【点评】本题主要掌握必要条件、充分条件与充要条件的判断，高考中的常考内容，要引起注意．
12．（2020秋•武汉期末）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱AD、CC1、C1D1的中点，则下列结论正确的是（）
A．直线FG与A1D所成的角为60°
B．平面EFG截正方体所得的截面为六边形
C．EF⊥B1C
D．三棱锥B1﹣EFG的体积为
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；逻辑推理．
【分析】A平移直线判断；B展开延展平面判断；C画对角线判断；D求三棱锥积极判断．【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示：
对于A，因为GF∥D1C∥A1B，
所以∠DA1B为直线FG与A1D所成的角，
又△A1BD是正三角形，
所以FG与A1D所成的角为60°，则A对；
对于B，将平面EFG延展如图所示，
与正方体截面为五边形GFMEK，则B错；
对于C，B1（2，2，2），C（0，2，0），E（1，0，0），F（0，2，1），＝（﹣1，2，1），＝（﹣2，0，﹣2），
•＝（﹣1）（﹣2）+2×0+1×（﹣2）＝0，
所以EF⊥B1C，则C对；
对于D，G（0，1，2），＝（﹣2，﹣1，0），
＝（﹣1，﹣2，﹣2），＝（﹣2，0，﹣1），
三棱锥B1﹣EFG底面△GFB1为等腰三角形，其面积为：
S＝＝，
设平面GFB1法向量为＝（x，y，z），则有：
•＝0，•＝0，所以，解之得：＝λ（1，﹣2，﹣2），
取单位法向量所法向量＝（1，﹣2，﹣2），
E点到平面GFB 1的距离h＝|•|＝|（﹣1﹣2，﹣2）（﹣1，﹣2，﹣2，）|＝，
所以三棱锥B1﹣EFG的体积为V＝Sh＝，则D对；
故选：ACD．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查异面直线成角及体积计算，属于中档题．三．填空题（共4小题）
13．（2019秋•武汉期末）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为8．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由题意得：x1+x2+x3+x4+x5＝25，[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣5）2]＝4，由此能求出样本据中的最大值
【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数＝（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝5；
方差s2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣752]÷5＝4．
从而有x1+x2+x3+x4+x5＝2，①
（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣5）2＝20②
若样本数据中的最大值为9不妨设x5＝9
则②式变为：
（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2＝4，
由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为2，4，5，6，8，
代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为8
故答案为：8．
【点评】本题考查样本据中的最大值的求法，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是基础题
14．（2011•江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝ 3.2．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】概率与统计．
【分析】首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．
【解答】解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，
∴收到信件数的平均数是＝7，
∴该组数据的方差是，
故答案为：3.2
【点评】本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．
15．（2019秋•武汉期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且，则GB与EF所成的角的正弦值为1．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】数形结合；空间角；空间向量及应用；数学运算．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，利用向量夹角公式即可得出．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则G（0，0，1），B（2，2，0），E（2，2，1），，∴，
，
设GB与EF所成的角为θ，
则，∴θ＝90°．∴GB与EF所成的角为90°．
故GB与EF所成的角的正弦值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了空间角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（2020秋•武汉期末）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A为C上一点，线段FA的延长线交x轴于B点，若点A到l：y＝﹣1的距离d等于A到B的距离，则|FB|＝3．【考点】抛物线的性质．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由已知可得点A是BF的中点，设出B的坐标，即可求出点A的坐标，代入抛物线方程，进而可以求解．
【解答】解：由抛物线的方程可得F（0，1），
由抛物线的定义可得|AF|＝|AB|，所以点A为BF的中点，
设B（m，0），所以点A的坐标为（），
代入抛物线方程可得：m＝，
所以|BF|＝，
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，涉及到两点间的距离的公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
17．（2020秋•武汉期末）某校期中考试高二化学学科采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：A等级7%；B等级33%；C等级40%；D等级15%；E等级5%．现
随机抽取100名学生原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）以样本估计总体，估计本次化学成绩原始平均分及C等级最低原始分（结果保留整数）．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）先频数分布直方图及频率之和为1可得a的答案；
（2）结合频数分布直方图及样本估计平均值定义可得答案．
【解答】解：（1）由频率分布直方图及频率之和为1可得：
，
（2）原始平均分
，设C等级最低分为x，由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%＝80%，
则有：（0.005+0.025+0.03+0.015）×10+（60﹣x）×0.015＝0.8，
解得x≈57，
则C等级的最低原始分约为57．
【点评】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，考查样本估计平均值定义，属于基础题．
18．（2019秋•武汉期末）已知抛物线C的顶点在原点，准线是，一条过点M（0，﹣1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．若OA与OB的斜率之和为2，求直线l的方程．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】由抛物线的准线方程求出抛物线的方程，联立直线l与抛物线的方程求出两根之和及两根之积，再求直线OA，OB的斜率之和，由题意可得直线l的方程．
【解答】解：由题意知抛物线方程为x2＝﹣2y，设l斜率为k，则l方程：y＝kx﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：x2+2kx﹣2＝0，
由书达定理：x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝﹣2，
∵＝＝
所以直线l的方程为：y＝2x﹣1，即2x﹣y﹣1＝0．
【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
19．（2019秋•武昌区校级期末）近期流感来袭，各个医院的就诊量暴增，患者就诊困难．某医院为了以后患者能尽快就诊，决定组织调查小组来调查昼夜温差与就诊量的关系，以便以后遇到类似情况提前做好应对措施，经调查，12月21日到26日的昼夜温差x与流感就诊的人数y有如下数据：
昼夜温差（x℃）91011121314
就座人数（y人）202426313336调查小组通过散点图发现昼夜温差与就诊人数存在线性相关关系，决定先从这6组数据中选取5组数据求线性回归方程，再用剩下的1组数据进行检验．检验方法如下：先用
求得的线性回归方程估计昼夜温差所对应的就诊人数，再求与实际就诊人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．
（1）若选取的是前面5组数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；
（3）为了使就诊等待的时间缩短，医院决定在就诊人数达到30人时增开诊室．那么利用回归方程估计昼夜温差为多少时医院会增开诊室．（温差精确到1℃）
附：参考公式，．
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1）中求得的回归方程中取x＝14求得y值，作差与1比较得结论；
（3）利用y＝30求得x值即可．
【解答】解：（1）由题知，前五组数据为：
x910111213
y2024263133则，，
，，∴线性回归方程为．
（2）令x＝14，则，，
∴（1）中方程为“恰当回归方程”．
（3）令，则x≈12，∴当温差为12℃时增开诊室．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，是基础的计算题．
20．（2019秋•武汉期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝CD，点E为PC的中点，作EF⊥PC，交PB于点F．（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PC⊥DF；
（3）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直；二面角的平面角及求法．
【专题】转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）连接AC交BD于O，连接EO．可得EO∥PA，即可得PA∥平面BDE．（2）只需证明PC⊥平面EFD．即可得PC⊥DF．
（3）取AB中点H，连接DH．建立以D为坐标原点，如图所示坐标系，则有：求得平面PBC的法向量和平面PCD的一条法向量，即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接EO．
因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO为△PCA的中位线
∴EO∥PA，又EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．
（2）在△PBC中，PD＝CD，点E为PC的中点，
∴PC⊥DE，又EF⊥PC，EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD，则PC⊥平面EFD．
又∵DF⊂平面EFD，则PC⊥DF．
（3）取AB中点H，连接DH．
依题意可得△ABD为等边三角形，∴DH⊥AB，DH⊥CD，
又因为PD⊥底面ABCD，DH，CD⊂平面ABCD，
则DH⊥PD，CD⊥PD．
建立以D为坐标原点，如图所示坐标系，则有：
D（0，0，0），A（2，0，0），H（，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
＝（0，2，﹣2），＝（，1，0），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），
则⇒，∴＝（1，，）．
∵DH⊥平面PCD，所以为平面PCD的一条法向量，且＝（，0，0），
∴cosθ＝||＝．
【点评】本题考查了空间线面位置关系、二面角的求解，属于中档题．21．（2010•宣武区二模）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5．甲先摸出一个球，记下编号为a，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b．
（Ⅰ）求“a+b＝6”的事件发生的概率；
（Ⅱ）若点（a，b）落在圆x2+y2＝21内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？
试说明理由．
【考点】等可能事件和等可能事件的概率．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有基本事件可以通过分步原理得到，满足条件的事件包含的基本事件可以列举出来，根据古典概型公式得到结果．
（2）本题是一个实际问题，要求游戏是否公平，首先要求出甲赢得概率，把甲赢得概率同0.5作比较，判断这个规则是否公平．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有基本事件有5×5＝25个
满足条件的事件包含的基本事件为：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个设“a+b＝6”为事件A，根据古典概型公式得到
∴．
（Ⅱ）这个游戏规则不公平
设甲胜为事件B，
试验包含的所有事件数25，
而满足条件的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），
（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）共13种．∴，
∴对乙不公平．
【点评】这是一个实际应用，是生活中常见的一种现象，问题的生活化可激发学生的兴趣和求知欲望，同样这样的问题也影响学生的思维方式，学会用数学的视野关注身边的数学．
22．（2019秋•武汉期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的上焦点F为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x+y﹣4＝0截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点作两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆于M，N两点（M，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN是否过定点，若过定点时求出定点坐标，否则说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）根据椭圆的离心率及点到直线的距离公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线方程，分别代入椭圆方程，求得M和N点坐标，求得直线MN的方程，化简，即可求得直线MN横过定点，同理当MN斜率不存在时，求得MN的方程，也可以证明MN横过定点．
【解答】解：（1）因为，所以，
设圆F的方程为x2+（y﹣c）2＝c2，圆心为（0，c），半径为c
设，则
所以c2+8c﹣20＝0，即（c﹣2）（c+10）＝0，则c＝2。