点、直线、平面之间的位置关系(知识点汇总)大全

必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．四个公理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（此公理可以用来判断直线是否在平面内）。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面； （它们给出了确定一个平面的依据）。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线（这条公共直线即为两个平面的交线）。

符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且。

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

2．空间中直线与直线之间的位置关系
（1）位置关系：两条直线⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪
⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;
共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

（3）两条异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）
（4）等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

3．空间中直线与平面之间的位置关系
直线l 与平面α//l l A l ααα⊂⎧⎪
=⎧⎨⎨⎪⎩⎩
直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点
4．空间中平面与平面之间的位置关系
平面α与平面β//l αβαβ⎧⎨=⎩
两个平面平行（）没有公共点
两个平面相交（）有一条公共直线
5．直线与平面平行的判定及其性质定理
定理 定理内容 符号表示
直线与平面 平行的判定
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
ααα////a b a b a ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊄ 平面与平面
平行的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
βαααββ
//////⇒⎪⎪
⎪
⎭⎪
⎪⎪⎬⎫=⊂⊂P b a b a b a 直线与平面
平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的
任一平面与此平面的交线与该直线平行
b a b a a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⊂βαβα
平面与平面
平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行
b a b a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
==βγαγβα
（1）线面平行的其它判定方法 ①定义：直线与平面无公共点；
②若两个平面平行，则在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面； 符号语言：
αββα////a a ⇒⎭
⎬⎫
⊂； （2）面面平行的其它判定方法 ①定义：两个平面无公共点；
②垂直于同一条直线的两个平面平行；符号语言：βαβα//⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥a a ； ③平行于同一个平面的两个平面平行；符号语言：
βαγβγα//////⇒⎭
⎬⎫
； ④如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这
两个平面互相平行；符号语言：βαβα//,,////⇒⎪⎪
⎪
⎪⎭⎪
⎪⎪
⎪⎬⎫
==⊂⊂B d b A c a d b c a d
c b a ;
6．直线与平面所成的角
（1）直线与平面垂直：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作l α⊥。

直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。

直线与平面的公共点P 叫做垂足。

（2）直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

①一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角。

②一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是00的角。

③直线和平面所成角的范围是]90,0[00。

7．平面与平面所成的角
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

①二面角的记法：二面角βα--l ；二面角βα--AB ;二面角D AB C --; ②二面角的取值范围：]180,0[00 ；
③两个平面垂直：直二面角。

（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. （3）二面角的平面角的作法： ①定义法：
②垂线法：
;,,αβα∈∈⊥B A AB ;l BO B ⊥作过;,l AO OA ⊥则连接;为二面角的平面角AOB ∠ A B O αβl α l
β A B O
③作棱的垂面法：一个平面垂直于二面角 α-l -β 的棱 l ，且与两半平面的交线分别是射线 OA 、OB ，O 为垂足，则∠AOB 为二面角 α-l -β 的平面角．
8．直线与平面垂直的判定及其性质定理 定理 定理内容 符号表示
直线与平面 垂直的判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，
则该直线与此平面垂直。

ααα⊥⇒⎪⎪
⎪
⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
⊂⊂=⊥⊥a c b A c b c a b a
平面与平面
垂直的判定 一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫
⊥⊂a a 直线与平面 垂直的性质
同垂直于一个平面的两条直线平行。

b a b a //⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥αα 平面与平面 垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。

βαβαβα⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
⊥⊂=⊥a l
a a l
（1）线面垂直的其它判定方法：
①定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面； 符号语言：
αα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥b b a a //； ③如果一条直线垂直于两个平行平面中的其中一个平面，那么它也垂直于另一个平面；符号语言：
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥a a //； （2）线面垂直的其它性质：
①如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任意一条直
α
o
βl B A
线；符号语言：
b a b a ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα； ②垂直于同一条直线的两个平面平行；符号语言：βαβα//⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥a a ； （3）面面垂直的其它判定方法
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；。