7.1达朗贝尔公式
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Wuhan University
u ( x, y ) = ?
答： x
五、小结
1、
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
u xx 1 1 ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + = [ϕ [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2a
Wuhan Uni7.1
达朗贝尔公式
1、适定性： （2）任意性已由初始条件唯一确定。 （3）稳定性：设
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a
的解为
方程（1）的通解为
u ( x , y ) = f 1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
Wuhan University
2能否用行波法求解??????302sin010321xxuxxuuuuyyyxyxx???????????0cos110012222yyyuxxxuyxyxyxu71达朗贝尔公式3yxyx?????????????yxyx3本节作业习题71
Methods of Mathematical Physics 武汉大学 物理科学与技术学院
∂x ∂y ∂x ∂y
⎧uxx + 2uxy − 3u yy = 0 (1) ⎪ (1) ⎨u( x,0) = sin x (2) ⎪u ( x,0) = x (3) ⎩ y
⎧ ∂ 2u = x 2 y , x > 1, y > 0 ⎪ ⎪ ∂x∂y ⎪ ( 2 ) ⎨ u ( x ,0 ) = x 2 , x >1 ⎪ u (1, y ) = cos y , y>0 ⎪ ⎪ ⎩
ϕ ( x + at ) : 以速度 a 沿 x 轴反向传播的波－反波 1 x （2）设ϕ = 0，Ψ ( x) = ∫ ψ (α )dα : a x0 1 则Mu ( x, t ) = [Ψ ( x + at ) − Ψ ( x − at )] : 2 结论： 达朗贝尔解表示正行 波和反波的叠加。
Wuhan University
问题的引入：
*数理方法研究问题的步骤
⎧ 写出定解问题 √ ⎪ 求解 ? ⎨ ⎪ 分析解答 ? ⎩
1、抖动的绳子－ 一维进行波； 2、投石入水－ 二维进行波； 3、灯塔上发出的灯光－ 三维进行波； 进行波－一往无前向前传播的波。 行波法－ 研究行进行波的方法。
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⎧ϕ1 ( x) ⎧ψ 1 ( x) u |t =0 = ⎨ ϕ1 − ϕ2 ≤ δ , ψ 1 −ψ 2 ≤ δ ; ut |t =0 = ⎨ ; ⎩ϕ2 ( x) ⎩ψ 2 ( x) 1 u 1 − u 2 ≤ ϕ 1 ( x + at ) − ϕ 2 ( x + at ) + ϕ 1 ( x − at ) − ϕ 2 ( x − at ) 2 1 x + at + ∫x − at [ψ 1 (α ) − ψ 2 (α ) d α 2a 1 1 1 ≤ δ + δ + δ [ x + at + x − at ] = δ [1 + t ] 2 2 2a
三、分析解答：
1、适定性： （1）达朗贝尔公式存在。
§7.1
达朗贝尔公式
a u t = [ϕ ′( x + at ) − ϕ ′( x − at )] 2 x + at ∂ ψ 1 + [∫ d α + a ⋅ψ ( x + at ) + a ψ ( x − at )] x − at ∂ t 2a a2 a u tt = [ϕ ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2 1 1 u x = [ϕ ′( x + at ) + ϕ ′( x − at )] + [ψ ( x + at ) − ψ ( x − at )] 2 2a
. .
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四、例题
⎧u tt − a 2 u xx = 0 ⎪ ⎨u ( x,0) = sin x ⎪u ( x,0) = x 2 ⎩ t
t sin x cos at + (3x 2 + a 2t 2 ) 答： 3
§7.1
达朗贝尔公式
⎧u xx − u yy = 0 ⎪ ⎨u ( x,0) = x ⎪u ( x,0) = 0 ⎩ y
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二、求解
选择 ⎧ξ = ( x + at ) ⎨ ⎩η = ( x − at )
§7.1
达朗贝尔公式
2、引入坐标变换求（1）的通解： 即：⎧ x = (1 / 2 )(ξ + η ) ⎨ ⎩t = (1 / 2 a )(ξ − η )
∂2 则方程（1）化为： u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
第七章 行波法 travelling wave method
Wuhan University
第七章 行波法 travelling wave method §7.1 达朗贝尔公式 D’Alembert formula
物理模型： 无界弦的自由振动
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一、定解问题：
§7.1
五、小结
2、行波法：
§7.1
达朗贝尔公式
（1）它基于波动特点为背景； （2）其要领是引入坐标变换简化方程；先求 通解再求特解； （3）优点：求解方式易于理解，求波动 方程十分方便； （4）缺点：通解不易求，使之有局限性。
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§7.1
达朗贝尔公式
思考： 1、行波法是否仅限于用来 ∂ ∂ ∂ ∂ 求波动问题？ ( − )( + 3 ) 2、能否用行波法求解
结论： 达朗贝尔公式存在、唯一、稳定。即，适定.
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三、分析解答：
§7.1
达朗贝尔公式
2、物理意义： 1 （ ）设ψ = 0，即 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] : 1 2 ϕ ( x − at ) : 以速度 a 沿 x 轴正向传播的波－正波
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
二、求解：
1、思路：仿照求解常微分方程的先求通解，再 用初始条件求特解的方法。
(1) ′
u (ξ ,η ) = f1 (ξ ) + f 2 (η ) ( 4 )
通解： u ( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) (5)
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二、求解
3、用初始条件定特解：
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2u xx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
第七章 行波法 travelling wave method
中心： 用行波法求解无界空间波动问题。
1、掌握行波法解题要领及全过程； 目的： 2、熟练地运用达朗贝尔公式求解 一维无界波动问题； 3、掌握三维问题化为一维问题的平均值法。 4、掌握三维波动方程的解－泊松公式及 推迟势的应用。
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u ( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
(5)
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a －D’Alembert公式
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⎧ξ = 3x − y ⎨ ⎩η = x + y
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本节作业
习题 7.1：1（3）； 4； 7（2）;
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Good-by!
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u ( x, y ) = ?
答： x
五、小结
1、
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
u xx 1 1 ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + = [ϕ [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2a
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达朗贝尔公式
1、适定性： （2）任意性已由初始条件唯一确定。 （3）稳定性：设
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a
的解为
方程（1）的通解为
u ( x , y ) = f 1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
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2能否用行波法求解??????302sin010321xxuxxuuuuyyyxyxx???????????0cos110012222yyyuxxxuyxyxyxu71达朗贝尔公式3yxyx?????????????yxyx3本节作业习题71
Methods of Mathematical Physics 武汉大学 物理科学与技术学院
∂x ∂y ∂x ∂y
⎧uxx + 2uxy − 3u yy = 0 (1) ⎪ (1) ⎨u( x,0) = sin x (2) ⎪u ( x,0) = x (3) ⎩ y
⎧ ∂ 2u = x 2 y , x > 1, y > 0 ⎪ ⎪ ∂x∂y ⎪ ( 2 ) ⎨ u ( x ,0 ) = x 2 , x >1 ⎪ u (1, y ) = cos y , y>0 ⎪ ⎪ ⎩
ϕ ( x + at ) : 以速度 a 沿 x 轴反向传播的波－反波 1 x （2）设ϕ = 0，Ψ ( x) = ∫ ψ (α )dα : a x0 1 则Mu ( x, t ) = [Ψ ( x + at ) − Ψ ( x − at )] : 2 结论： 达朗贝尔解表示正行 波和反波的叠加。
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问题的引入：
*数理方法研究问题的步骤
⎧ 写出定解问题 √ ⎪ 求解 ? ⎨ ⎪ 分析解答 ? ⎩
1、抖动的绳子－ 一维进行波； 2、投石入水－ 二维进行波； 3、灯塔上发出的灯光－ 三维进行波； 进行波－一往无前向前传播的波。 行波法－ 研究行进行波的方法。
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⎧ϕ1 ( x) ⎧ψ 1 ( x) u |t =0 = ⎨ ϕ1 − ϕ2 ≤ δ , ψ 1 −ψ 2 ≤ δ ; ut |t =0 = ⎨ ; ⎩ϕ2 ( x) ⎩ψ 2 ( x) 1 u 1 − u 2 ≤ ϕ 1 ( x + at ) − ϕ 2 ( x + at ) + ϕ 1 ( x − at ) − ϕ 2 ( x − at ) 2 1 x + at + ∫x − at [ψ 1 (α ) − ψ 2 (α ) d α 2a 1 1 1 ≤ δ + δ + δ [ x + at + x − at ] = δ [1 + t ] 2 2 2a
三、分析解答：
1、适定性： （1）达朗贝尔公式存在。
§7.1
达朗贝尔公式
a u t = [ϕ ′( x + at ) − ϕ ′( x − at )] 2 x + at ∂ ψ 1 + [∫ d α + a ⋅ψ ( x + at ) + a ψ ( x − at )] x − at ∂ t 2a a2 a u tt = [ϕ ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2 1 1 u x = [ϕ ′( x + at ) + ϕ ′( x − at )] + [ψ ( x + at ) − ψ ( x − at )] 2 2a
. .
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四、例题
⎧u tt − a 2 u xx = 0 ⎪ ⎨u ( x,0) = sin x ⎪u ( x,0) = x 2 ⎩ t
t sin x cos at + (3x 2 + a 2t 2 ) 答： 3
§7.1
达朗贝尔公式
⎧u xx − u yy = 0 ⎪ ⎨u ( x,0) = x ⎪u ( x,0) = 0 ⎩ y
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二、求解
选择 ⎧ξ = ( x + at ) ⎨ ⎩η = ( x − at )
§7.1
达朗贝尔公式
2、引入坐标变换求（1）的通解： 即：⎧ x = (1 / 2 )(ξ + η ) ⎨ ⎩t = (1 / 2 a )(ξ − η )
∂2 则方程（1）化为： u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
第七章 行波法 travelling wave method
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第七章 行波法 travelling wave method §7.1 达朗贝尔公式 D’Alembert formula
物理模型： 无界弦的自由振动
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一、定解问题：
§7.1
五、小结
2、行波法：
§7.1
达朗贝尔公式
（1）它基于波动特点为背景； （2）其要领是引入坐标变换简化方程；先求 通解再求特解； （3）优点：求解方式易于理解，求波动 方程十分方便； （4）缺点：通解不易求，使之有局限性。
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§7.1
达朗贝尔公式
思考： 1、行波法是否仅限于用来 ∂ ∂ ∂ ∂ 求波动问题？ ( − )( + 3 ) 2、能否用行波法求解
结论： 达朗贝尔公式存在、唯一、稳定。即，适定.
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三、分析解答：
§7.1
达朗贝尔公式
2、物理意义： 1 （ ）设ψ = 0，即 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] : 1 2 ϕ ( x − at ) : 以速度 a 沿 x 轴正向传播的波－正波
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
二、求解：
1、思路：仿照求解常微分方程的先求通解，再 用初始条件求特解的方法。
(1) ′
u (ξ ,η ) = f1 (ξ ) + f 2 (η ) ( 4 )
通解： u ( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) (5)
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二、求解
3、用初始条件定特解：
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2u xx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
第七章 行波法 travelling wave method
中心： 用行波法求解无界空间波动问题。
1、掌握行波法解题要领及全过程； 目的： 2、熟练地运用达朗贝尔公式求解 一维无界波动问题； 3、掌握三维问题化为一维问题的平均值法。 4、掌握三维波动方程的解－泊松公式及 推迟势的应用。
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u ( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
(5)
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a －D’Alembert公式
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⎧ξ = 3x − y ⎨ ⎩η = x + y
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本节作业
习题 7.1：1（3）； 4； 7（2）;
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Good-by!
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